约瑟夫环

问题描述： n个人 （ 编号0~(n-1) )，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。 最直白的方法就是用链表去模拟整个过程就好了，但是这个的复杂度有点高，算不上一个非常优秀的做法。 下面进行推导，看是否能够推出一个通用的公式这样就可以直接得出答案： 初始情况： 0, 1, 2 ......n-2, n-1 (共n个人) 第一个人(编号一定是(m-1)%n,设之为(k-1) ,读者可以分m<n和m>=n的情况分别试下，就可以得出结论) 出列之后， 剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k==m%n的人开始）: k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ...,k-3, k-2 现在我们把他们的编号做一下转换： k --> 0 k+1 --> 1 k+2 --> 2 ... ... k-2 --> n-2 k-1 --> n-1 变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗！ x ->ｘ' (这正是从n-1时的结果反过来推n个人时的编号！) 0 -> k 1 -> k+1 2 -> k+2 ... ... n-2 -> k-2 变回去的公式　 x'=(x+k)%n 递推公式 f [1] = 0; f

约瑟夫问题的来历 据说著名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从，Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。 17世纪的法国数学家加斯帕在《数目的游戏问题》中讲了这样一个故事：15个教徒和15 个非教徒在深海上遇险，必须将一半的人投入海中，其余的人才能幸免于难，于是想了一个办法：30个人围成一圆圈，从第一个人开始依次报数，每数到第九个人就将他扔入大海，如此循环进行直到仅余15个人为止。问怎样排法，才能使每次投入大海的都是非教徒。 问题分析与算法设计 约瑟夫问题并不难，但求解的方法很多；题目的变化形式也很多。这里给出一种实现方法。 题目中30个人围成一圈，因而启发我们用一个循环链表来表示。可以使用结构数组来构成一个循环链。结构中有两个成员，其一为指向下一个人的指针，以构成环形的链；其二为该人是否被扔下海的标记，为1表示还在船上。从第一个人开始对还未扔下海的人进行计数，每数到9时，将结构中的标记改为0

题目链接 : http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3089 题目大意 ：一共n人。从1号开始，每k个人T掉。问最后的人。n超大。 解题思路 ： 除去超大的n之外。就是个约瑟夫环的裸题。 约瑟夫环递推公式，n为人数，k为步长。 f(1)=0 f(n)=[f(n-1)+k]%i i∈[2,n] f(n)还要经过起始位置修正，设起始位置为s，即ans=[f(n)+s]%n。 基本约瑟夫环优化就是当k=1的时候，每次递推就是在+1，可以直接算出来快速跳过，f(n)=f(1)+n-1 当n超大的时候，可以照着这种思路快速简化递推过程。在递推后期，f(x)+k在很长的周期内<i，假设有m个周期， 那么这些周期合并后的结果相当于f(x)+m*k。可以快速跳过。条件限制是: f(x)+m*k<i+(m-1) 可以推出来： 当m=1时，条件限制: f(x)+k<i 当m=2是，条件限制: f(x+1)+k<i+1=f(x)+2*k<i+1 当m=m时，条件限制：f(x)+m*k<i+(m-1) 化简有m<(i-f(x)-1)/(k-1)，若能整除，就是(i-f(x)-1)/(k-1)-1，否则就是(i-f(x)-1)/(k-1)直接取整。 这样，i+=m，f(x)+=m*k，快速跳过了中间过程。 若i+m>n，说明快速跳越界了，这时候可以直接算出f(n

公式法： F(N,M) = (F(N-1,M) + M) % N F(1,M) = 0 (索引从0开始) F是每一轮中存活的人对应的编号。 递推过程如下： 已知F(1,M) = 0，即只有一个人的队伍中，存活的肯定是编号0 从最后一轮F(1,M)求解倒数第二轮F(2,M): 倒数第二轮有两个人，杀掉一个人后剩余一人； 那对应的报号顺序为： 0 1 2 0 ，（最后一个0对应的存活的人，也就是最后一轮的编号） 实际报号顺序对应的编号是：0 1/ 0 1 （上下对应，最后剩的人对应编号为1.） 故倒数第二轮（0，1），剩余的是编号为1 倒数第三轮同理 报号顺序： 0 1 2 0 1 （最后的0，1表示这轮之后存活的人，也就是倒数第二轮中人的编号） 实际编号： 0 1 2/ 0 1 （这一轮实际有三个人，对应实际编号，最后剩余的人也是编号1） 故倒数第三轮（0，1，2），剩余的是编号为1 倒数第四轮 报号顺序： 0 1 2 0 1 2（最后的0，1，2表示这轮之后存活的人，也就是倒数第三轮轮中人的编号） 实际编号： 0 1 2 3/ 0 1（这一轮实际有4个人，对应实际编号，最后剩余的人也是编号1） 故倒数第三轮（0，1，2，3），剩余的是编号为0 倒数第五轮 报号顺序：0 1 2 0 1 2 实际顺序：0 1 2 3 4/ 0 故下一轮中这一轮中对应的是编号3 归纳可以得到结论

约瑟夫问题升级版 编号为1~N的N个人按顺时针方向围坐一圈，每人持有一个密码（正整数，可以自由输入），开始人选一个正整数作为报数上限值M，从第一个人按顺时针方向自1开始顺序报数，报道M时停止报数。报M的人出列，将他的密码作为新的M值，从他顺时针方向上的下一个人开始从1报数，如此下去，直至所有人全部出列为止。 分析： 升级版的约瑟夫问题，就是在每个人的手中拿了一个密码，当这个人死了之后，拿着这个手中的密码，进行下一次剔除。 如上图所示，p 第一个拿到的是 3 ，则从头开始第 3 个人剔除，依次这样进行下去，直到所有人被剔除。 代码实现： class JosephusLoopUpper { private Node head ; //头指针 private Node rear ; //尾指针 private int size ; private int M ; //每个人手中所拿的密码数字 public JosephusLoopUpper ( ArrayList < Integer > list , int M ) { //创建一个给定人个数的环 head = new Node ( list . get ( 0 ) , 0 , null ) ; //创建第一个点 并将尾指向头形成一个环 rear = head ; rear . next = head ; for ( int i = 1

问题：设编号1,2，·····n的n个人围成一圈，约定编号为k(1<=k<=n)的人从1开始报数，数到m的那个人出列，它的下一位又从1开始报数，数到m的人继续出列，以此类推，直到所有人出列为止，由此产生一个出队编号的序列。 主函数测试代码： public static void main(String[] args){ Scanner scanner=new Scanner(System.in); //创建要给链表 CirSingleLinkedList cirSingleLinkedList=new CirSingleLinkedList(); //1.添加数据 cirSingleLinkedList.addBoy(5); //2.显示数据 System.out.println("环形单链表内的数据为："); cirSingleLinkedList.list(); //3.出圈顺序(2->4->1->5->3) cirSingleLinkedList.countBoy(1,2,5); } 单链表类： class CirSingleLinkedList{ //先初始化一个头节点，头节点不能动，不存放具体的数据 private Boy first=new Boy(-1); public void countBoy(int startNo,int countNum,int nums){

今天写循环链表里的约瑟夫环（严蔚敏版数据结构题集） 问题描述： 约瑟夫问题的一种描述是：编号为1,2,3,4……，n的n个人按顺时针方向围坐一圈，每个人持有一个密码（正整数）。一开始任选一个正整数作为报数的上限值m，从第一个人开始按顺时针方向自1开始顺序报数，报到m时停止报数，报m的人出列，将他的密码作为新的m值，从他在顺时针方向上的下一个人开始重新从1开始报数，如此下去，直至所有人的全部出列为止。试设计一个程序求出出列顺序。 基本要求 利用简单的单向循环列表存储结构模拟此过程，按照出列的顺序印出各人的编号。 测试数据 m的初值为20；n=7,7个人的密码分别为：3，1,7,2,4,8,4，首先m的值为6（正确的出列顺序为6,1,4,7,2,3,5）。 代码如下: #include<iostream> using namespace std; typedef struct Lnode {//定义结构体 int data; struct Lnode *next; }*Linklist; void joseph(int n,int k,int *m) { Linklist p,r,list=NULL; int i; for(i=0;i<n;i++) { p=(Linklist)malloc(sizeof(Lnode)); p->data=i+1; if(list==NULL) { r

约瑟夫问题的传说： 著名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从，Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。 抽象出来问题分析与算法设计： 已知n个人（以编号1、2、3~~n分别表示）围坐在一张圆桌周围，从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出列，他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人出列，依次规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列。 　　例如：n = 9, k = 1, m = 5 　　【解答】 　　出局人的顺序为5, 1, 7, 4, 3, 6, 9, 2, 8。 程序代码： 很明显这个问题用循环连接即可解决。 1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 4 //定义节点结构体 5 struct node{ 6 int data; 7 struct node *link; 8 }; 9 10 void Josephus(int n, int k, int

约瑟夫环问题，是经典的算法题。百度百科解释如下 约瑟夫环（约瑟夫问题）是一个数学的应用问题：已知n个人（以编号1，2，3...n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依次规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列。通常解决这类问题时我们把编号从0~n-1，最后结果+1即为原问题的解。 解决方案很多种，不过我都看不太懂（原谅我实在太愚笨了） 这里我先举个例子 假如 有5个人 数到3的要出列，那么过程是这样的 开始是 1 2 3 4 5 毫无疑问 从1开始数，3号肯定要离开 得到 1 2 4 5 然后该4开始数了，那么数到5 再轮回头数 1要离开 得到 2 4 5 然后该2开始数，数到5 5离开 得到 2 4 然后发现5离开了后面轮回来还是2 那就还是2开始数 数回自己 自己离开 得到 4 整个过程就是 3离开 1离开 5离开 2离开 4留了下来 如果转换为代码怎么实现呢？ 代码如下： <?php function joseph_problem($total=1,$number=1) { $array=range(1, $total);//把这些人都存入数组 $start=0;//开始数数的第一个人的位置 while (count($array)>1) { //说明里面还有人 $need_del = (

已知n个人（以编号1，2，3...n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列。 例如：n = 9, k = 1, m = 5 【解答】 出局人的顺序为5, 1, 7, 4, 3, 6, 9, 2, 8。 以上摘录自 百度百科 /// <summary> /// 约瑟夫环 /// </summary> /// <param name="n">总数</param> /// <param name="m">开始位置</param> /// <param name="k">符合条件的数</param> /// <returns></returns> public void Josehp(int n, int m, int k) { //参数判断 是否异常 int[] array = new int[n]; for (int i = 0; i < n; i++) { array[i] = i + 1; } int count = 0; int number = n; while (number > 1) { for (int i = 0; i < n; i++) { if (m != 1) { i = m - 1; m = 1; } if (array[i] == 0