向量叉乘

转自原创出处：http://blog.csdn.net/dcrmg/article/details/52416832 向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组； 向量的点乘,也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。 点乘公式 对于向量a和向量b： a和b的点积公式为： 要求一维向量a和向量b的行列数相同。 点乘几何意义 点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影，有公式： 推导过程如下，首先看一下向量组成： 定义向量： 根据三角形余弦定理有： 根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有： 即： 向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ： 根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为： a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间 a·b=0 正交，相互垂直 a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间 叉乘公式 两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。 对于向量a和向量b： a和b的叉乘公式为： 其中： 根据i

万丈高楼平地起；勿在浮沙筑高台。 暂时放下其他的东西的学习，还不能称之为学习。潜心研究pbrt，看到第二章绕任意轴的旋转一部分，但是只是给了一个大体的推导，最终的推导并没有给出，所以在此做一下简单的推导。 给定一个规范化的方向向量a作为旋转轴，然后使向量v绕着这个轴旋转 θ度，如图1所示，首先我们计算一个平行于向量a的向量 ，此向量与向量a的起点相同，终点与向量v的终点（此时向量v与向量a起点相同）在以a为法线的平面上。假设向量v与a之间的夹角为 ，那么我们有 图1，绕任意轴旋转示意图 我们首先在这个平面上构造一组向量基 v 1 与 v 2 ，其中 v 1 是v 1 =v - v c ， 另外一个基向量可以通过两个向量的叉乘得到：v2 = (v 1 x a),因为向量 a 是规范化的，所以v 1 与v 2 具有相同的长度，这个长度与v与v c 之间的向量长度相同。在旋转平面（v 1 与v 2 所在的平面）来计算v绕向量v c 旋转θ得到: 再继续下面推导之前先复习一下向量点乘与叉乘的基本规律： 向量点乘符合以下规律： 向量叉乘符合以下规律： 现在可以开始推导上面的公式了，推导过程如下：（手机效果太烂。。。将就着看吧） 最后附上源码： 1: Transform Rotate(float angle, const Vector &axis) { 2: Vector a =

1.零向量 加性单位元 ：满足y+x=y n维向量集合的加性单位元就是n维零向量 运算法则：例如3d零向量表示为：[0,0,0] 几何解释：没有位移 2.负向量 运算法则： 每个分量都变负 数学表达： 几何解释： 向量变负，将得到一个和原来向量大小相等，方向相反的向量。 3.向量的大小（长度和模） 运算法则： n维向量大小计算公式为 几何解释： 2d中任意向量v能构造一个以v为斜边的直角三角形如下图所示 4.标量与向量乘法 运算法则： 几何解释： 效果是以因子|k|缩放向量的长度，例如想让向量长度增加倍，应使向量乘以2 标准化向量 运算法则： 向量除以它的大小（模）即可。 几何解释： 向量的加法和减法 运算法则： 加法 减法解释为加负向量 几何解释： 向量a+b解释为：使a的头连接b的尾，接着从a的尾向b的头画一个向量。这就是向量加法的“三角形法则” 三角形法扩展到多个向量 一个点到另一个点的向量 计算一个点到另一个点的位移是一种非常普遍的要示，可以使用三角形法则和向量减法来解释这个问题。 距离公式： 说明：等于一个点到另一个点的向量的长度。 运算法则： 先求两点构成的向量d 再计算d的模 ||d|| 向量点乘 运算法则： 几何解释： 点乘结果描述了两个向量的“相似”程序，点乘结果越大，两向量越相近。 点乘等于向量大小与向量加角的cos值的积 解得： 如果a

一、向量点乘 向量点积公式 向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而计算a和b间的夹角θ 判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为： a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间 a·b=0 正交，相互垂直 a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间 二、向量叉乘 向量a与向量b叉乘的公式： 叉乘几何意义 在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果为法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示 来源： CSDN 作者： juzi5211314 链接： https://blog.csdn.net/juzi5211314/article/details/103798542

计算机图形学期末总复习 第四章 向量 一、向量 The difference between two points is a vector. 两点之差为向量 The sum of a point and a vector is a point 点和向量之和为一个点 向量的线性组合： w = a1 * v1 + a2 * v2 + …+ am * vm 若a1 + a2 + a3 +…+ am = 1 ，则称为仿射组合 向量大小及向量归一化 二、点积 点积之后得到的结果是一个数 两个向量间的夹角 向量点积符号性 向量正交 正交投影和点到直线距离 两遍同时乘v 最终整理得到 沿v方向c的分量称为向量c投影到向量v上的正交投影 垂直于v方向上的分量称为c到直线的距离 反射 三、向量叉积（三维） 为了方便记忆，可以改写成以下 总结来说 叉乘的集合解释为： 当两向量平行或方向相反时叉乘结果为0 叉乘的性质 平面的法向量 平面内三个点（不在一条直线上）相减得出两个向量。两向量叉乘即得该平面的法向量。 点的仿射组合 点的线性组合（除仿射组合外）没有意义，但仿射组合有意义 点的变换，线性插值 内插 A为变换前坐标，B为变换后坐标，P(t)为t（0<=t<=1)时刻的坐标 推广 两次，三次内插产生的弧形 四、直线 直线方程 当0 <= t <= 1，为线段 当t >= 0，为射线 当－∞ <= t

二、 矩阵运算 1. 什么是矩阵 矩阵就是由多组数据按方形排列的阵列，在 3D 运算中一般为方阵，即 M*N ，且 M=N ，使用矩阵可使计算坐标 3D 坐标变得很方便快捷。下面就是一个矩阵的实例： 看似没什么特殊的，可是后面你可以看到矩阵的魅力，为什么矩阵这么有效，我也不知道，这个由数学家去论述，我们只要可以用就是了。 2. 向量的点乘和叉乘 向量的点乘和叉乘与矩阵一样是数学定义，点乘在矩阵运算中起到很重要的作用，称为内积，叉乘称为外积，通过叉乘运算可以计算出一个向量，该向量垂直于由两个向量构成的平面，该向量也称为该平面的法线。这两个计算方法在 3D 运算中的作用就是向量计算工具。 l 点乘公式 其实就是两个向量的各分量相乘后形成新的向量 l 叉乘公式 Uc=U1* U2 两个向量进行叉乘的矩阵如下： 其中 x1 ， y1 ， z1 以及 x2 ， y2 ， z2 分别为向量 U1 和 U2 的分量，设 UC 为叉乘的向量积，其计算公式如下： 3. 三维几何变换矩阵 几何绘图中，常常需要将一个模型从一个位置移动到另一个位置，或者将模型进行缩放旋转，称为几何变换。每个模型都存在一个局部的坐标系，在制作模型的时候是不考虑模型在场景中的具体位置的，模型中的所有顶点的坐标值都相对于局部坐标系，而模型在应用中会发生很多变化，其中大部分情况都是由多种变化复合的结果，这些变化涉及很多复杂的运算

前言 AI（人工智能）现在火的一塌糊涂，其实在AI领域，机器学习已广泛应用在搜索引擎、自然语言处理、计算机视觉、生物特征识别、医学诊断、证券市场分析等领域，并且机器学习已经是各大互联网公司的基础设施，不再是一个新鲜的技术。但当你真的开始学习机器学习的时候，就会发现上手门槛其实还挺高的，这主要是因为机器学习是一门多领域交叉学科，涉及概率论、统计学、逼近论、凸分析、算法复杂度理论等多门学科。 本文主要介绍一下机器学习涉及到的一些最常用的的数学知识，方便大家在学习机器学习的时候，能扫除一些基础障碍。 标量（scalar） 标量是一个单独的数，一般用普通小写字母或希腊字母表示，如 等。 向量（vector）相关 向量的定义 把数排成一列就是向量，比如： 向量一般用粗体小写字母或粗体希腊字母表示，如 等（有时候也会用箭头来标识，如 ），其元素记作 。 向量默认为列向量，行向量需要用列向量的转置表示，例如 等。 物理专业视角：向量是空间中的箭头，决定一个向量的是它的长度和方向 计算机专业视角：向量是有序的数字列表 数学专业视角：向量可以是任何东西，只要保证两个向量相加以及数字与向量相乘是有意义的即可 运算规则 向量的加法和数量乘法定义： 加法 相同维数的向量之间的加法为： 数量乘法 任意的常数 和向量的乘法为： 在给定数 及向量 的情况下 张成空间 张成空间是向量 和

R语言与 数据挖掘：公式；数据；方法 R语言特征 对大小写敏感 通常，数字，字母，. 和 _都是允许的(在一些国家还包括重音字母)。不过，一个命名必须以 . 或者字母开头，并且如果以 . 开头，第二个字符不允许是数字。 基本命令要么是表达式（expressions）要么就是 赋值（assignments）。 命令可以被 (;)隔开，或者另起一行。 基本命令可以通过大括弧({和}) 放在一起构成一个复合表达式（compound expression）。 一行中，从井号(#)开始到句子收尾之间的语句就是是注释。 R是动态类型、强类型的语言。 R的基本数据类型有数值型（numeric）、字符型（character）、复数型（complex）和逻辑型（logical），对象类型有向量、因子、数组、矩阵、数据框、列表、时间序列。 基础指令 程序辅助性操作： 运行 q()——退出R程序 tab——自动补全 ctrl+L——清空console ESC——中断当前计算 调试查错 browser() 和 debug()—— 设置断点进行，运行到此可以进行浏览查看（具体调试看browser（）帮助文档（c,n,Q）） stop('your message here.')——输入参数不正确时，停止程序执行 cat（）——查看变量？ 帮助 help(solve) 和 ?solve 等同 ??solve—

【点乘】 在数学中，数量积（dot product; scalar product，也称为点积）是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是 欧几里得空间 的标准 内积 。 代数定义 设二维空间内有两个向量 和 定义它们的数量积（又叫内积、点积）为以下实数： 更一般地，n维向量的内积定义如下: 几何定义 设二维空间内有两个向量 和 ，它们的夹角为 ，则内积定义为以下实数： 该定义只对二维和三维空间有效。 点积的值 u的大小、v的大小、u,v夹角的余弦。在u,v非零的前提下，点积如果为负，则u,v形成的角大于90度；如果为零，那么u,v垂直；如果为正，那么u,v形成的角为锐角。 两个单位向量的点积得到两个向量的夹角的cos值，通过它可以知道两个向量的相似性，利用点积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机。 向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物理离光照的轴线越近，光照越强。 运算律 交换律： 分配律： 结合律： ，其中m是实数。 【叉乘】 向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。 表示方法 两个向量a和b的叉积写作a×b（有时也被写成a∧b

原文：http://blog.csdn.net/jacke121/article/details/55804353 向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组； 向量的点乘,也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。 点乘公式 对于向量a和向量b： a和b的点积公式为： 要求一维向量a和向量b的行列数相同。 点乘几何意义 点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影，有公式： 推导过程如下，首先看一下向量组成： 定义向量： 根据三角形余弦定理有： 根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有： 即： 向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ： 根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为： a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间 a·b=0 正交，相互垂直 a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间 叉乘公式 两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。 对于向量a和向量b： a和b的叉乘公式为： 其中： 根据i