1.零向量
加性单位元：满足y+x=y
n维向量集合的加性单位元就是n维零向量
运算法则：例如3d零向量表示为：[0,0,0]
几何解释：没有位移
2.负向量
运算法则：
每个分量都变负
数学表达：
几何解释：
向量变负，将得到一个和原来向量大小相等，方向相反的向量。
3.向量的大小（长度和模）
运算法则：
n维向量大小计算公式为
几何解释：
2d中任意向量v能构造一个以v为斜边的直角三角形如下图所示
4.标量与向量乘法
运算法则：
几何解释：
效果是以因子|k|缩放向量的长度，例如想让向量长度增加倍，应使向量乘以2
标准化向量
运算法则：
向量除以它的大小（模）即可。
几何解释：
向量的加法和减法
运算法则：
加法
减法解释为加负向量
几何解释：
向量a+b解释为：使a的头连接b的尾，接着从a的尾向b的头画一个向量。这就是向量加法的“三角形法则”
三角形法扩展到多个向量
一个点到另一个点的向量
计算一个点到另一个点的位移是一种非常普遍的要示，可以使用三角形法则和向量减法来解释这个问题。
距离公式：
说明：等于一个点到另一个点的向量的长度。
运算法则：
先求两点构成的向量d
再计算d的模
||d||
向量点乘
运算法则：
几何解释：
点乘结果描述了两个向量的“相似”程序，点乘结果越大，两向量越相近。
点乘等于向量大小与向量加角的cos值的积
解得：
如果a,b是单位向量就可能避免上述公式中的余法运算
如果不需要夹角的确切值只需要a和b的夹角类型，可以取用点乘结果的符号，如下图所示
向量投影
我们用点乘计算投影，下图给出和几何解释
当然，如果n是单位向量，除法就不必要了
向量叉乘
运算法则：
几何解释：
叉乘得到的向量垂直与原来两个向量
图中，向量a和b在一个平面中。向量a * b 指向该平面的正上方，垂直于a和b
来源：https://www.cnblogs.com/zhangdongsheng/p/5229525.html