树状数组
题目 树状数组模板1 题目大意：给定一个序列，要求支持两种操作：1.将某个数加上 \(x\) ，2.查询区间某部分的和。 题目 树状数组模板2 题目大意：给定一个序列，要求支持两种操作：1.将区间内的每个数加上 \(x\) ，2.查询某个数。 分析 由于第一题与第二题实际上是等价的（稍后会说明），我们以下仅讨论第一题。我们先以最简单的数组来考虑，显然操作1是 \(O(1)\) ，操作2是 \(O(n)\) 的，总体复杂度 \(O(nm)\) ，很明显会超时。这时我们就会想到用前缀和来优化操作2，这样的话操作2是 \(O(1)\) 的，但是操作1是 \(O(n)\) 的，总体复杂度仍为 \(O(nm)\) ，会超时。有没有一种数据结构，可以使操作1和操作2都是 \(O(1)\) 的呢？仅目前来看是不存在的。于是我们退而求其次寻找一种数据结构，使操作1和操作2都是 \(O(\log n)\) 的。 树状数组（又称二叉索引树，Fenwick树）是一类最基础的树形数据结构。它支持 \(O(\log n)\) 进行区间修改单点查询或区间查询单点修改，亦即上述两道题的操作。具体来说，树状数组自身本质上仍是一个数组。我们令 \(a\) 为原数组， \(c\) 为树状数组，假定 \(i\) 二进制最后有 \(j\) 个0，则有 \(c_i=\sum_{k=0}^{2^j}a_{i-k}\) 。