数论

高精度GCD https://www.luogu.org/problemnew/show/P2152是一道模板题，因为不会phython，所以・・・只能老老实实写高精度。这里我们用到更相减损法求公约数。 看 首先，根据上面的步骤，分析他们是否是偶数，所以需要检查每个大数的最后一位；直到两个都是奇数，然后用大数减去小数，减去之后再重复之前的操作，然后把最后的数乘上若干个2就可以了； 分析操作过程，我们需要处理 高精度判断奇偶数 ， 高精度乘2 ， 高精度除2 ， 高精度减法 这四个操作。 自己也是看了网上很多代码，然后照猫画虎，能改进的地方有很多。 高精度判断奇偶数 bool judge(const node &a) { return a.num[0]%2==0?//判断最后一位就好 } 高精度乘2 node mul2(node a) { int in=0; for(int i=0;i<a.len;i++) { a.num[i]=a.num[i]*2+in; in=0; if(a.num[i]>=10) { in=a.num[i]/10; a.num[i]%=10; if(i==a.len-1) a.len++; } } return a; } 高精度除2 node div2(node a) { for(int i=a.len-1;i>=1;i--)//这里是1，0的话会出现a

非常可乐 Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 27959 Accepted Submission(s): 10843 Problem Description 大家一定觉的运动以后喝可乐是一件很惬意的事情，但是seeyou却不这么认为。因为每次当seeyou买了可乐以后，阿牛就要求和seeyou一起分享这一瓶可乐，而且一定要喝的和seeyou一样多。但seeyou的手中只有两个杯子，它们的容量分别是N 毫升和M 毫升 可乐的体积为S （S<101）毫升　(正好装满一瓶) ，它们三个之间可以相互倒可乐 (都是没有刻度的，且 S==N+M，101＞S＞0，N＞0，M＞0) 。聪明的ACMER你们说他们能平分吗？如果能请输出倒可乐的最少的次数，如果不能输出"NO"。 Input 三个整数 : S 可乐的体积 , N 和 M是两个杯子的容量，以"0 0 0"结束。 Output 如果能平分的话请输出最少要倒的次数，否则输出"NO"。 Sample Input 7 4 3 4 1 3 0 0 0 Sample Output NO 3 Author seeyou Source “2006校园文化活动月”之“校庆杯

直接暴力解，不会超时 #include<iostream> using namespace std; int m; void solve() { int i,j; cin>>m; for(i=1;i<m;i++) { int sum=0; for(j=i;j<m;j++) { sum+=j; if(sum==m){ cout<<i<<" "<<j<<endl; break; } if(sum>m)break; } } } int main() { solve(); }

1.威尔逊定理： 当且仅当p为素数时：( p -1 )! ≡ p-1 ( mod p ) 即若p为质数，则p能被(p-1)!+1整除 2.欧拉定理： 欧拉定理：也称费马-欧拉定理 若n,a为正整数，且n,a互质，即gcd(a,n) = 1，则a^φ(n) ≡ 1 (mod n) φ(n) 是欧拉函数： 如果n是质数，那么1到n-1所有数都是与n互质的，所以φ(n) = n-1 欧拉公式： e的ix次方 = cosx + isinx 把x用π带进去，变成 e的iπ次方= -1 3.孙子定理（中国剩余定理） 用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组： 中国剩余定理说明：假设整数 m 1, m 2, ... , m n两两互质，则对任意的整数： a 1, a 2, ... , a n，方程组 (S)有解 4.费马小定理： 假如p是质数，若p不能整除a，则 a^(p-1) ≡1（mod p），若p能整除a，则a^(p-1) ≡0（mod p）。 或者说，若p是质数，且a,p互质，那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1 参考自： http://www.cnblogs.com/linyujun/p/5194142.html 文章来源: 数论四大定理

数论GPBH，所以开坑 常见的数论函数 莫比乌斯函数$\mu$ 1.定义： $\mu (1)=1$ 若$d$没有平方因子，$\mu (d) = (-1)^k$，$k$为$d$的质因数个数 否则$\mu (d)=0$ 2. 性质： 对于任意正整数$n$，有$\sum \limits_{d|n}\mu(d)=[n=1]$。 $\mu$为积性函数。 $\sum \limits _{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\phi(n)}{n}$ 欧拉函数$\varphi $ 1.定义： $\varphi (n)= \sum \limits _{i=1}^{n} [gcd(i,n)=1]$ 2.性质： $\sum \limits _{d|n} \varphi (d)=n$ $\varphi(n) = n * \prod (1 - \frac{1}{p_i})$ $a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod {m}$ 对于$n=p^k$，有$\varphi(n) = (p - 1) * p^{k - 1}$ 积性函数 约数个数$d()$ 1.定义： RT 2.性质：积性函数 约数和$\sigma ()$ 1.定义： RT 2.性质：积性函数 元函数$\epsilon$ 1.定义： $\epsilon(n)=[n=1]$ 2.性质： 对于任意积性函数$f$，有$f

一些函数的一些性质 取整函数 \(\lfloor x \rfloor\) （一） \(\lfloor x \rfloor <= x < \lfloor x \rfloor +1\) （二）对任意x与正整数a，b \(\lfloor \lfloor \frac{x}{a} \rfloor /b\rfloor=\lfloor \frac{x}{ab}\rfloor\) （三）对于正整数n，1 -- n中d的倍数个数为 \(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor\) （四）若n为正整数， \(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor\) 不同取值个数不超过 \(2\times\sqrt{n}种\) 证明： \(（1）若d \leq{\sqrt{n}},\lfloor \frac{n}{d}\rfloor只有不超过\sqrt{n}种\) \(（2）若d>\sqrt{n}，\lfloor \frac{n}{d} \rfloor \leq \frac{n}{d} \leq \sqrt{n},\lfloor \frac{n}{d}\rfloor 不超过\sqrt{n}种\) \(综上,\lfloor \frac{n}{d}\rfloor 不超过2\times{\sqrt{n}}种\) 调和数 定义 \[Hn=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}

在算法竞赛中经常会用到各式各样的取模运算，下面将常用的总结下来以便自己复习 什么是取模运算 在java和c/c++中 对于整型数a,b来说,取模运算： 1.求整数商: c = a/b; 2.计算模: a % b = a - c * b; 例子 ： 9 % 4 = 9 - (9 / 4) * 4 = 1 9 %-4 = 9 - (9 /-4) -4 = 1 -9 % 4 = -9 - (-9 / 4) 4 =-1 -9 %-4 = -9 - (-9 /-4) *-4 =-1 在python中 a % b = a - n b,其中n为不超过a / b的最大整数 1.求商：c = a / b 2.取 n：n为不超过c的最大整数即[c] 3.计算模:a % b = a - n b 取模运算的性质 模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下： (a + b) % p = (a % p + b % p) % p (a - b) % p = (a % p - b % p) % p (a * b) % p = (a % p * b % p) % p a ^ b % p = ((a % p)^b) % p 结合律： ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p ((a b) % p c)% p = (a * (b c) % p) % p 交换律：

1.欧几里得求gcd int gcd(int a,int b) { if(b==0) return a; return gcd(b,a%b); } 2.扩展欧几里得求解线性方程 首先根据Bezout定理，对于任意的a,b:ax+by=gcd(a,b); 然后根据欧几里得求gcd的方法构成等价方程，在递归的同时求出x，y； void exgcd(int a,int b,int &x,int &y) { if(b==0){ x=1;y=0; return; } gcd(b,a%b,y,x); y-=a/b*x; } 另外一种写法：(不只是long long 的事情) void exgcd(long long a,long long b,long long& x,long long& y) { if(!b){ x=1;y=0; return; } exgcd(b,a%b,x,y); long long tmp=x; x=y; y=tmp-a/b*y; } 　　 来源： https://www.cnblogs.com/kamimxr/p/11734489.html

题目： http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5974 已知：X+Y=a，lcm（X，Y）=b，给出a，b取值求解X，Y #include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define ll long long ll gcd(ll n,ll m) { return m==0?n:gcd(m,n%m); } int main() { int i,j,t,n,m,a,b; while(~scanf("%d%d",&a,&b)) { ll g=gcd(a,b); ll A=a/g; ll B=b/g; ll deita=A*A-4*B; if(deita<0)cout<<"No Solution\n"; else { ll z1=(-A+sqrt(deita)); ll z2=(-A-sqrt(deita)); ll de=sqrt(deita); if(z1%-2==1||z2%-2==1||de*de!=deita)cout<<"No Solution\n";//非整数情况 else cout<<min(z1/(-2),z2/(-2))*g<<" "<<max(z1/(-2),z2/(-2))*g<<endl; }//因为都是整数解，不可能有负数解；所以两个解一个是p一个是q，再*g就是x，y了

本人水平有限，题解不到为处，请多多谅解 本蒟蒻谢谢大家观看 题目： 数论简单题 (simple.cpp/in/out 1s 256M) 由于最终结果可能超过 int 的范围，因此请将运算结果对 1000000007 取模。 Input 第 1 行，一个整数 T （ T <= 200000 ），表示数据组数。 第 2 行至第 T+1 行，每行两个整数 m, n 。 0 < m <= n <= 2000 Output 共 T 行，每行输出一个整数，代表求和结果。 Sample Input 3 1 1 2 3 3 3 Sample Output 1 3 1 前一个数由后一个数累加而来 可以通过样例分析，是求组合数 组合意义： 循环变量构成一个递增的序列，因此只要在 n 个数中选出 m 个数，按从小到大的顺序依次分配给 m 个循环变量即可，组合数可用 DP 求杨辉三角 得。 由于 T 很大，需要进行预处理。 时间复杂度 O(nm) 。 code: 1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define N 2020 4 #define ll long long 5 #define mod 1000000007 6 ll t,n,m; 7 ll c[N][N]; 8 int main() 9 { 10 c[1][0]=c[1][1