数论

数论llllllllllll ╮(╯▽╰)╭ 最蛋疼的东西 组合数公式： C(n,m)=n!/((n-m)!*m!) 来源： https://www.cnblogs.com/Lamboofhome/p/11795007.html

传送门 •题意 $\left\{\begin{matrix} x & + & y & = & a\\ LCM &(x &* &y) &=b \end{matrix}\right.$ 求$x,y$ 来源： https://www.cnblogs.com/MMMinoz/p/11785359.html

数论 \(gcd\) & \(exgcd\) gcd \[\gcd(a,b)=\gcd(b,a mod b)\] 这个结论还是比较显然的 给出代码: struct node { int l,r;LL v;//这里官方写法加了一个mutable，看个人写法 node(int L,int R,LL V):l(L),r(R),v(V){} bool operator < (const node& o) const { return l<o.l; } }; exgcd 什么是 exgcd 呢---- 就是解 \[ ax+by=\gcd(a,b)\] 这样的方程 那么怎么解呢? 首先有一个非常显然的结论 \[ax+by=\gcd(a,b)\] \[bx+(a \bmod b)y=\gcd(b,a \bmod b)\] 是同解的 那么可以递归求到解集 我们给出边界条件 \[ax+by=\gcd(a,b) (a=1,b=0)\] 时有 \(x=1,y=0\) 为其边界解 来源： https://www.cnblogs.com/shes/p/11778442.html

威尔逊定理：对任意质数p，有(p-1)!≡-1(mod p)； 　　　　　　若有(p-1)!≡-1(mod p)，则必有p是素数。 来源： https://www.cnblogs.com/St-Lovaer/p/11767105.html

做个备忘录把…… 二项式反演： 令 \(f_i\) 表示至少选择 \(i\) 个， \(g_i\) 表示敲好选择 \(i\) 个 \(f_i=\sum_{j=0}^i \dbinom{n}{j}*g_j\) \(g_i=\sum_{j=0}^{i}(-1)^{i-j}\dbinom {n}{j}f_j\) 范德蒙德卷积: \(\dbinom{n}{k}=\sum_{i=0}^k\dbinom{m}{i}*\dbinom{k-i}{n-m}\) 组合数无名公式： \(\dbinom{m}{i}*\dbinom{i}{j}=\dbinom{m}{i}*\dbinom{m-j}{i-j}\) 中国剩余定理： \(M_i=lcm/m_i, x_i=M_i^{-1}(mod\ m_i)\) \(Ans=\sum_{i=1}^n x_i*a_i*M_i(mod\ lcm)\) 第二类斯特林数： \(S(n, m)=\dfrac{1}{m!}*\sum_{k=0}^m(-1)^k*\dbinom{m}{l}*(m-k)^n\) \(n^k=\sum_{i=0}^kS(k, i) * i! *\dbinom{n}{i}\) 康拓展开： \(\sum_{i=1}^n(s_i-\sum_{j=1}^{i-1}[s_j<s_i])*(n-i+1)!\) 拉格朗日插值： \(f(k)=\sum_{i=0}

基本！ 整除：传递，同乘。 同余：自反，对称，同加，同乘，同幂。 来源： https://www.cnblogs.com/ehznehc/p/11774302.html

做个备忘录把…… 令 \(f_i\) 表示至少选择 \(i\) 个， \(g_i\) 表示敲好选择 \(i\) 个 \(f_i=\sum_{j=0}^i \dbinom{n}{j}*g_j\) \(g_i=\sum_{j=0}^{i}(-1)^{i-j}\dbinom {n}{j}f_j\) \(\dbinom{n}{k}=\sum_{i=0}^k\dbinom{m}{i}*\dbinom{k-i}{n-m}\) \(\dbinom{m}{i}*\dbinom{i}{j}=\dbinom{m}{i}*\dbinom{m-j}{i-j}\) \(M_i=lcm/m_i, x_i=M_i^{-1}(mod\ m_i)\) \(Ans=\sum_{i=1}^n x_i*a_i*M_i(mod\ lcm)\) \(S(n, m)=\dfrac{1}{m!}*\sum_{k=0}^m(-1)^k*\dbinom{m}{l}*(m-k)^n\) \(n^k=\sum_{i=0}^kS(k, i) * i! *\dbinom{n}{i}\) \(\sum_{i=1}^n(s_i-\sum_{j=1}^{i-1}[s_j<s_i])*(n-i+1)!\) \(f(k)=\sum_{i=0}^ny_i* \prod_{i!=j}\dfrac{k-x_j}{x_i-x_j}\) 来源：博客园 作者：

人家的码风才不毒瘤 ） 欧几里得 求gcd。 来源：博客园 作者： haruka酱 链接：https://www.cnblogs.com/valentino/p/11641953.html

数论函数及其运算 数论函数 是指定义域是正整数，值域是一个数集的函数。 加法，逐项相加，即 ； 数乘，这个数和每一项都相乘，即 狄利克雷卷积 定义两个数论函数的狄利克雷卷积 若 ，则 ，又或者写成 。 卷积性质 交换律 ： \(f*g=g*f\) 结合律 ： \((f*g)*h=f*(g*h)\) 分配律 ： \((f+g)*h=f*h+g*h\) 单位元 ： ,其中 逆 元 ： 对于每个 \(f(1)\not=0\) 的 \(f\) ，都存在一个 \(g\) ，使得 \(f*g=\epsilon\) ， \(g\) Ϊ \(f\) 的逆。 定义不再重复。 常见的积性函数 ： 1. \(\phi(n)=n\prod_{i=1}^{k}{\frac{p_i-1}{p_i}}\) 2. ,特别的记 3. 4. 积性函数性质 1.积性函数的狄利克雷卷积还是积性函数。 2.积性函数的逆还是积性函数。 由积性函数的性质可知，通过计算出它在质因子幂处的取值，就可以得到它本身的值。 例如： 另外，容易发现 ，由性质1可得 。 运用上述知识，从卷积的角度来认识莫比乌斯反演。 首先重新认识一下 ，定义 Ϊ 的逆。 由于 \(I\) 是积性的，而 \(\mu\) 是 \(I\) 的逆，所以 也是积性的。 利用 ，可以得出： \[ \mu(p^k)=\cases{1\ \ \ \ \ k=0\\-1\

https://codeforces.com/contest/1152/problem/C a和b,找到k,使得lcm(a+k,b+k)最小(a,b:1e9) 设gcd=gcd(a+k,b+k)且 \(a<b\) ,即(a+k)%gcd=0,(b+k)%gcd=0,(a+k)%gcd=(b+k)%gcd,a%gcd=b%gcd 移项得b%gcd-a%gcd=0,(b-a)%gcd=0 枚举b-a的因数即gcd,维护最小值 #include<bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std; ll a,b,ans,ansk,k,tp,x; int main(){ scanf("%lld%lld",&a,&b); if(a>b)swap(a,b); ans=a/__gcd(a,b)*b; ansk=0; for(ll i=1;i*i<=(b-a);i++){ //cout<<i<<endl; if((b-a)%i)continue; x=i; if(a%x!=b%x)continue; if(a%x){ k=x-a%x; tp=(a+k)/__gcd(a+k,b+k)*(b+k); if(tp<ans){ ans=tp;ansk=k; }else if(tp==ans&&k<ansk){ ansk=k; } } x=(b-a