区间估计

参数估计 就是 根据样本统计量的数值对总体参数进行估计 的过程。根据参数估计的性质不同，可以分成两种类型：点估计和区间估计。 点估计 点估计就是 用样本统计量的某一具体数值直接推断未知的总体参数 。例如，在进行有关小学生身高的研究中，随机抽取1000名小学生并计算出他们的平均身高为1.46米。如果直接用这个1.46米代表所有小学生的平均身高，那么这种估计方法就是点估计。 对总体参数 进行点估计常用的方法有两种：矩估计与最大似然估计 ，其中最大似然估计就是我们实际中使用非常广泛的一种方法。 按这两种方法对总体参数进行点估计，能够得到相对准确的结果。如 用样本均值X估计总体均值 ，或者 用样本标准差S估计总体标准差σ 。 点估计有一个不足之处，即这种估计方法不能提供估计参数的估计误差大小。对于一个总体来说，它的总体参数是一个常数值，而它的样本统计量却是随机变量。当用随机变量去估计常数值时，误差是不可避免的， 只用一个样本数值去估计总体参数是要冒很大风险的。因为这种误差风险的存在，并且风险的大小还未知 ，所以，点估计主要为许多定性研究提供一定的参考数据，或在对总体参数要求不精确时使用，而在需要用精确总体参数的数据进行决策时则很少使用。 区间估计 区间估计就是在推断总体参数时，还要根据统计量的抽样分布特征， 估计出总体参数的一个区间，而不是一个数值 ，

求谁 σ 是 否 已 知 \sigma是否已知 σ 是 否 已 知 置信区间 置信区间 求 μ \mu μ σ 未 知 \sigma未知 σ 未 知 1 − α 1-\alpha 1 − α ( X ‾ − σ ( n ) Z α 2 , X ‾ + σ ( n ) Z α 2 ) (\overline X- \frac{\sigma}{\sqrt(n)}Z_{\frac{\alpha}{2}},\overline X+\frac{\sigma}{\sqrt(n)}Z_{\frac{\alpha}{2}}) ( X − ( ​ n ) σ ​ Z 2 α ​ ​ , X + ( ​ n ) σ ​ Z 2 α ​ ​ ) 求 μ \mu μ σ 已 知 \sigma已知 σ 已 知 1 − α 1-\alpha 1 − α ( X ‾ − σ ( n ) t α 2 ( n − 1 ) , X ‾ + σ ( n ) t α 2 ( n − 1 ) ) (\overline X- \frac{\sigma}{\sqrt(n)}t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1),\overline X+\frac{\sigma}{\sqrt(n)}t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)) ( X − ( ​ n ) σ ​ t 2 α ​ ​ ( n − 1 ) , X

中心极限定理是指随着样本容量n的增加，样本的均值抽样分布的形态也随之发生变化，将越来越 接近于正态分布。通常将样本容量n大于30的样本称为大样本，大样本组成的均值抽样分布可以被 认为是服从正态分布的。 参数估计有两种方法：点估计和区间估计，区间估计包含了点估计。二者的相同点都是基于一个样本作出；不同点是点估计只提供 单一 的估计值，而区间估计在点估计的基础上还提供了一个 误差界限 ，给出了取值范围——这个取值范围又叫置信区间（confidence interval），受置信度（一个概率值，即进行估计前必须事先确定的估计的把握度）影响，根据中心极限定理推导得来。 我们可以通过中心极限定理来 倒推 参数估计方法，整个倒推的思路是这样的： 区间估计实际上是抽一个样本，然后用这个样本的统计量来估计总体参数。比如想知道全校同学的每天平均学习时间（参数），就通过随机抽样找了100个同学作为样本，然后用这100个同学的平均学习时间（统计量），比如说2小时，并加减一个误差比如说半小时（关于这个误差的大小怎么定有空再说）来得到一个估计的范围。 但从一个总体可以抽许许多多样本，从全校10000名学生可以抽取到许许多多100位同学的组合，凭啥只相信一次抽样的结果？光凭一次抽样、并且只有100个同学来估计10000个同学到底靠不靠谱？ 所以，在最终只用一个样本来估计总体前

梳理大纲： 参数估计 1 点估计：矩估计法 2 区间估计：总体均值的区间估计、总体比例的区间估计、总体方差的区间估计、两个总体均值之差的区间估计、两个总体比例之差的区间估计、两个总体方差比的区间估计 3 样本量的确定：估计总体均值时样本量的确定、估计总体比例时样本量的确定 参考资料: 【木东居士】【数据科学家学习小组】公众号 From 统计学Statistics 学习小组：由【木东居士】公众号 定期发起 对数据感兴趣的伙伴们 可一同在此交流学习 参数估计：用样本统计量去估计总体的参数 参数估计是推断统计的重要内容之一，它是在抽样及抽样分布的基础上，根据样本统计量来推断所关心的总体参数 参股估计的方法有： 点估计 和 区间估计 两种 1 点估计 点估计：用样本统计量θ的某个取值直接作为总体参数的θ的估计值 矩估计法 ：即矩估计，也称“矩法估计”，就是利用样本矩来估计总体中相应的参数 如：用样本平均值估计总体的平均值，用样本的方差来估计总体的方差 2 区间估计 区间估计： 在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该范围通常由样本统计量加减估计误差得到。 置信区间： 在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间，其中区间的最小值称为置信下限，最大值称为置信上线。 置信水平/置信度/置信系数： 如果将构造置信区间的步骤重复多次

1、点估计：矩估计法 2、区间估计：总体均值的区间估计、总体比例的区间估计、总体方差的区间估计、两个总体均值之差的区间估计、两个总体比例之差的区间估计、两个总体方差比的区间估计 3、样本量的确定：估计总体均值时样本量的确定、估计总体比例时样本量的确定 点估计和区间估计属于总体参数估计问题。 ##一、点估计 ####定义： 是用样本统计量来估计总体参数，因为样本统计量为数轴上某一点值，估计的结果也以一个点的数值表示，所以称为点估计。 ####估计量：统计量的样本的（不含未知总体参数的）函数，用于估计的统计量 ####估计值：若得到一组观察值，代入估计量得到具体的数值 例如，若总体分布服从正态分布： ，其中μ是总体均值， 是总体方差，未知参数可记为θ=(μ，σ)。σ/μ（μ≠0）称为变异系数，它是总体的一阶原点矩（即均值）μ与二阶中心矩（即方差） 的函数。设有样本X=(X1、X2…Xi)，其一阶样本原点矩为，二阶样本中心矩为，而用估计 σ/μ，就是一个典型的矩估计方法。 ###（1）最大似然估计法 此法作为一种重要而普遍的点估计法，由英国统计学家R.A.费希尔在1912年提出。后来在他1921年和1925年的工作中又加以发展。设样本X=(X1,X2,…,Xn)的分布密度为L(X，θ)，若固定X而将L视为θ的函数，则称为似然函数，当X是简单随机样本时，它等于ƒ(X1，θ）ƒ(X2，θ）

区间估计 设x=(x1,x2,…,xn)是取自总体Fθ(x)的一个样本，假如θ^ L (x)与θ^U (x)是在参数空间θ上取值的两个统计量，且θ^ L (x)＜θ^U (x)，则称随机区间[θ^ L (x), θ^U (x)]为参数θ的一个区间估计。该区间覆盖参数θ的概率Pθ （θ^ L ≤θ≤θ^U）称为置信度。 设θ是总体的一个参数，其他参数空间为θ。设x1,x2,…,xn是取自总体的一个样本，对给定α（0＜α＜1），确定两个统计量θ^ L (x)与θ^U (x)是在参数空间θ上取值的两个统计量，且θ^ L=θ^ L （x1,x2,…xn）与θ^U =θ^U（x1,x2,…xn），若有： Pθ （θ^ L ≤θ≤θ^U）≥1-α 则称随机区间[θ^ L, θ^U ]是θ置信水平为1-α的置信区间。 枢轴量法 （1）从θ的一个点估计θ 出发，构造θ 与θ的一个函数G（θ^,θ）是已知的，而且与θ物管。通常称这种函数 G（θ^,θ）为枢轴量。 （2）适当选取两个常数c与d，使对给定的α有 P(c≤G(θ^,θ）≤d）≥1-α 这里概率的大于等于号是专门为离散分布而设置的，当G（θ^,θ）的分布是连续分布时，应选c与d使上述不等式成立，这样就能充足地使用置信水平1-α，并获得同等置信区间。 （3）利用不等式运算，将不等式c≤G(θ ,θ）≤d进行等价变换，使得最后能得到形如θ L

第三章 假设检验 区间估计与假设检验的基本区别 ？ 上一章中讨论了置信区间的估计方法。它是利用 样本数据，以抽样总体的分布为理论基础，用一定的概率保证来计算出原总体中未知参数的区间范围。特别值得注意的是： 在作区间估计之前，我们对所要估计的参数是一无所知的。 § 而在这一章中，我们所要做的工作是， 先对要研究的参数作一个假设，然后去检验这个假设是否正确。因此假设检验对于所研究的参数总是先有一个假设的值 。 § 这也是这两种方法最基本的区别。 显著水平（ significance level) 或概率水平 (probability level) 是什么？ 置信度 如何解释 “显著性”？ 具有显著性：假设值与真实值之间有随机误差，也有真实误差。 不具有显著性：假设值与真实值之间只有随机误差，没有真实误差。 第一类错误是何含义？ 理解一：真实情况是表面误差是随机误差的概率至少是（ 1- α）。真实情况是表面误差是真实误差和随机误差的概率不会超过α。真实情况是表面误差是真实误差和随机误差，而估计情况是表面误差是随机误差，所以估计错误，所以事件“真实情况是表面误差是真实误差和随机误差，而估计情况是表面误差是随机误差，所以估计错误”的概率不会超过α。即第一类错误。 理解二：假设检验已结束，其结果（显著或者不显著）可能出错的概率不会超过是 α，不会出错的概率至少是（ 1- α）。 理解三：假阴性