欧几里得

算法原理 对于a = b*q + c 存在(a,b) = (b,c) 证明： 令d = (a,b) 有d|a, d|b 由c = a - b*q 知d|c,即d是b,c的公因数 令e = (b,c) 显然有d<=e 而e|b, e|c 由a = b*q + c 知e|a,即e是a,b的公因数 可得d>=e d=e,即(a,b) = (b,c) Python代码 # encoding:utf-8 def myGCD(a, b): """ a,b顺序无所谓 """ while b != 0: # print(a, b) a, b = b, a % b return a # print(myGCD(12075, 4655)) print(myGCD(172, 46)) 来源： https://www.cnblogs.com/kexve/p/11878136.html

欧几里得算法说明 两个数的最大公约数是指能同时整除它们的最大正整数。 设两数为a、b(a≥b)，求a和b最大公约数(a,b)的步骤如下： (1)用a除以b(a≥b)，得 a/b = p...r1 (r1>=0); (2)若r1 = 0，则(a,b) = r1;若r1 != 0，则再用b除以r1，得b/r1 = q...r2 (r2>=0); (3)若r2 = 0,，则(a,b) = r1；若r2 != 0，则继续用r1除以r2，......，如此下去，直到能整除为止。 其最后一个余数为0的除数即为(a,b)的最大公约数。 代码： int gcd (int a,int b) //默认a>b { if(b == 0) return a; else return gcd(b,a%b); } ———————————————— 原文链接： https://blog.csdn.net/Tong_zhi/article/details/79807115 伪代码： 1.若a<b,则交换a,b 2.求r=a/b的余数 3.1如果r为0(余数为0)，则b为所求，结束。 3.2否则令a=b,b=r，重复步骤2 来源： https://www.cnblogs.com/zja2019/p/11825870.html

最大公约数的欧几里得算法 a,b最大公约数(Greatest Common Divisor)，就等于b,a%b的最大公约数，公式如下 gcd(a,b)=gcd(b,a%b) gcd(a,b) = gcd(b,a % b) gcd(a,b)=gcd(b,a%b) 摘自 欧几里得算法(求解最大公约数的优质方法)以及原理拓展 用伪代码实现此算法 Begin 输入 A，B A对B取余，结果赋值为R 若R=0，则B是最大公约数 若R不等于0，则以B为A，以R为B循环上一步 手动检测运算截图 来源： https://www.cnblogs.com/ruier/p/11794829.html

用较大数除以较小数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。如果是求两个数的最大公约数，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。 https://baike.baidu.com/item/%E6%AC%A7%E5%87%A0%E9%87%8C%E5%BE%97%E7%AE%97%E6%B3%95/1647675?fr=aladdin 来源： https://www.cnblogs.com/20191301lhq/p/11794569.html

Description 给定a,b,c,求满足方程Ax+By<=C的非负整数解 A,B<=10^9.C<=Min(A,B)*10^9 Solution 考虑枚举x得到 y ≤ C A x B y ≤ C A x B 类欧几里得的经典应用，时间太紧了我就先去吃个饭回来再写 回来辣 类欧的几何意义可以看成是求一个梯形内的整点数，不包括纵坐标为0的点，包括边界上的点 先设 f ( n , a , b , c ) = ∑ n i = 0 a i + b c f ( n , a , b , c ) = ∑ i = 0 n a i + b c 若 a ≥ c a ≥ c 或 b ≥ c b ≥ c ，那么有 f ( n , a , b , c ) = ( n + 1 ) n 2 a c + ( n + 1 ) b c + f ( n , a % c , b % c , c ) f ( n , a , b , c ) = ( n + 1 ) n 2 a c + ( n + 1 ) b c + f ( n , a % c , b % c , c ) 至于怎么推的可以考虑把前面两项再塞回∑里面看看 若两个都不满足，那么令 m = n a + b c m = n a + b c ，有 f ( n , a , b , c ) = ∑ n i = 0 ∑ m j = 1 [ j ≤ a i + b c ]

解题思路： 考虑当质点移动轨迹的直线斜率为1的时候，有轨迹方程 y = x + c,显然把原先起点x1,y1代入就可以求出c的值. 将质点的反弹等价于直线轨迹(由对称性质可得)。由x - y = -c得,要使得质点可以从顶角出去就等价于质点的直线轨迹会经过一点 （a*n,b*m）,代入方程得a*n - b*m = -c,要使方程有解gcd(n,m) | c, c = k*gcd(n,m),根据扩展欧几里得就可以求出方程得一个解。初始化 x = k就可以得到c的一个解,等价于gcd(n,m)*k,因为k是可以提取的所以没有影响.另t*n%m==0，那么最小正整数t就是m/gcd(n,m),所以最小的a肯定是在t之内所以a要对t求余求最小的那个坐标. 至于其他方向向量不是(1,1)的可以用过对称转化为向量(1,1)去求解. 矩形平铺在坐标轴的坐标位置有明显的规律可循，画图就可以直接看出来了. #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; ll x,y,c; void ex_euclid(ll a,ll b) { if(!b){ x = c; y = 0; }else{ ex_euclid(b,a%b); ll tem =x; x = y; y = tem - a/b*y; } } int main(

A/B 乘法逆元： 对于缩系中的元素，每个数a均有唯一的与之对应的乘法逆元x，使得ax≡1(mod n) 逆元的含义：模n意义下，1个数a如果有逆元x，那么除以a相当于乘以x。 #include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; #define LL long long void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y) { if(!b) { x=1; y=0; return ; } exgcd(b,a%b,x,y); LL t=x; x=y; y=t-a/b*y; return ; } int main() { int t; LL x,y; scanf("%d",&t); while(t--) { LL n,b; cin>>n>>b; exgcd(b,9973,x,y); //cout<<x<<endl; x=(x%9973+9973)%9973; cout<<(n*x)%9973<<endl; } } 文章来源: 拓展欧几里得求逆元

a,b最大公约数(Greatest Common Divisor)，就等于b,a%b的最大公约数，公式如下 gcd(a,b)=gcd(b,a%b) gcd(a,b) = gcd(b,a % b) gcd(a,b)=gcd(b,a%b) 摘自 欧几里得算法(求解最大公约数的优质方法)以及原理拓展 Begin 输入 A，B A对B取余，结果赋值为R 若R=0，则B是最大公约数 若R不等于0，则以B为A，以R为B循环上一步 来源：博客园 作者： 191307 链接：https://www.cnblogs.com/ruier/p/11794829.html

扩展欧几里得算法 已知整数a、b，扩展欧几里得算法可以在求得a、b的最大公约数的同时，能找到整数x、y，使它们满足贝祖等式：ax+by=gcd(a,b) 为什么一定存在贝祖等式呢，裴蜀定理如下： 设存在x，y使ax+by=d，d是ax+by取值中的最小正整数，d≠1。再设am+bn=e，则e≥d .若d不整除e，对e做带余除法.必定存在p，r使e=pd+r.r<d则r=e-pd=（m-px）a+（n-py）b.存在整数m-px，n-py使ax+by=r<d，与d的最小性矛盾。所以d整除e.令m=1，n=0，则d整除a；同理d整除b.所以d=gcd(a,b) 下面给出扩展欧几里得算法的证明 ax + by = gcd ( a , b ) a 'x' + b 'y' = gcd ( a ', b' ) (其中 a '= b, b' = a % b ,) 我们要得到 x , y 与 x ',y' 的关系 将 a '= b, b' = a % b 带入第一个等式 得： bx ' + (a%b)y' = gcd ( a ', b' ) 因为 a % b = a - b [ a / b ] ([ a / b ],ȡ a 除以 b 的整数)所以 ay ' + b(x' - [ a / b ] y ') = gcd(a' , b ') = gcd(a,b)(由辗转相除得) 所以，x,y,x' ,

1. 辗转相除法（欧几里得算法）的证明： 1 int gcd(int a,int b){ 2 return b?gcd(b,a%b):a; 3 } 4 // 不用考虑a，b大小，会自己交换的 Ex_gcd用途：求关于 ax + by =gcd(a,b) 的所有整数解 　　　 　思路：令g=gcd(a,b) ，若我们已知该方程一个特解x0，y0，则我们可以用某种方式求出所有整数解。 3. ①怎么求出这个特解？ 　　 已知 gcd(a,b) = gcd(b, a%b) 接下来讨论下两式有无关系 　　b * x2 + (a%b) * y2 = g(b,a%b) 可知： a * x1 + b * y1 = b * x2 + (a%b) * y2= b * x2 + (a - (a / b) * b) * y2= a * y2 + b * (x2 - (a / b) * y2) 则知道x2, y2 就可以知道x1, y1了。 因为最终辗转相除法递归出口是b=0，a为GCD，所以对 a*x+b*y=gcd(a,b) 来说，x=1，y=0；得到这个特解，在回溯回去，就可以得出原方程的一个特解 　 ②如何由该特解推出其他整数解？ 　 1 void e_gcd(int a,int b,int &gcd,int &x,int &y) 2 { 3 if(b==0) 4 { 5 x=1; 6 y=0; 7