拓展欧几里得 + 线性同余方程

1. 辗转相除法（欧几里得算法）的证明：

1 int gcd(int a,int b){ 2    return b?gcd(b,a%b):a; 3 } 4 // 不用考虑a，b大小，会自己交换的

Ex_gcd用途：求关于 ax + by =gcd(a,b) 的所有整数解

　　　 　思路：令g=gcd(a,b) ，若我们已知该方程一个特解x0，y0，则我们可以用某种方式求出所有整数解。

3.①怎么求出这个特解？

　　已知gcd(a,b) = gcd(b, a%b) 接下来讨论下两式有无关系

　　b * x2 + (a%b) * y2 = g(b,a%b)

可知：a * x1 + b * y1 = b * x2 + (a%b) * y2=b * x2 + (a - (a / b) * b) * y2= a * y2 + b * (x2 - (a / b) * y2)

则知道x2, y2 就可以知道x1, y1了。

因为最终辗转相除法递归出口是b=0，a为GCD，所以对 a*x+b*y=gcd(a,b) 来说，x=1，y=0；得到这个特解，在回溯回去，就可以得出原方程的一个特解

　②如何由该特解推出其他整数解？

　

 1 void e_gcd(int a,int b,int &gcd,int &x,int &y)  2 {  3     if(b==0)  4     {  5         x=1;  6         y=0;  7         gcd=0;  8     }  9     else 10     { 11         e_gcd(b,a%b,gcd,y,x); // x2=y1-(a-b)*y2, y2=x1 12         y-=x*(a/b); 13     } 14 }

4.