bzoj2987 Earthquake 类欧几里得

Description

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给定a,b,c,求满足方程Ax+By<=C的非负整数解

A,B<=10^9.C<=Min(A,B)*10^9

Solution

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考虑枚举x得到y≤CAxB$y\le \frac{CAx}{B}$
类欧几里得的经典应用，时间太紧了我就先去吃个饭回来再写
回来辣
类欧的几何意义可以看成是求一个梯形内的整点数，不包括纵坐标为0的点，包括边界上的点
先设f(n,a,b,c)=∑ni=0ai+bc$f(n,a,b,c)=\sum _{i=0}^n\frac{ai+b}{c}$
若a≥c$a\ge c$或b≥c$b\ge c$，那么有
f(n,a,b,c)=(n+1)n2ac+(n+1)bc+f(n,a%c,b%c,c)$f(n,a,b,c)=\frac{(n+1)n}{2}\frac{a}{c}+(n+1)\frac{b}{c}+f(n,a\mathrm{\%}c,b\mathrm{\%}c,c)$
至于怎么推的可以考虑把前面两项再塞回∑里面看看

若两个都不满足，那么令m=na+bc$m=\frac{na+b}{c}$，有
f(n,a,b,c)=∑ni=0∑mj=1[j≤ai+bc]$f(n,a,b,c)=\sum _{i=0}^n\sum _{j=1}^m\left[j\le \frac{ai+b}{c}\right]$，这个可以看成是枚举可行的整点
我们把表达式单独拉出来j≤ai+bc$j\le \frac{ai+b}{c}$
化一下把i单独弄出来得到i≥cj+cb1a$i\ge \frac{cj+cb1}{a}$，套进原本的柿子里面，这个就等同于一行一行枚举了
然后有f(n,a,b,c)=nmf(m1,c,cb1,a)$f(n,a,b,c)=nmf(m1,c,cb1,a)$

复杂度分析到处都有我就不贴了

Code

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#include <stdio.h> #include <string.h> #define rep(i,st,ed) for (int i=st;i<=ed;++i)  typedef long long LL;  LL solve(LL n,LL a,LL b,LL c) {     if (!c) return 0;     if (a>=c||b>=c) {         return solve(n,a%c,b%c,c)+(a/c)*n*(n+1)/2+(b/c)*(n+1);     } else {         LL m=(n*a+b)/c;         return n*m-solve(m-1,c,c-b-1,a);     } }  int main(void) {     LL a,b,c; scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);     printf("%lld\n", solve(c/a,a,c%a,b)+c/a+1);     return 0; }

文章来源: bzoj2987 Earthquake 类欧几里得