欧几里得

这个算法还是有点意思的，需要一些思考量和理解。 欧几里得算法没扩展之前，计算的两个数的最大公约数，比如计算144和24的最大公约数，计算的过程如下： 最开始：144 24 第一次：24 144 % 24 即 24 0 发现直接整数了， 说明24就是144的公约数 ，所以计算结果就是：24 如果用a，b来表示，变为一般形式的话： 给定两个数（a, b），现在想计算两者的最大公约数，那么可以那b来模a， 如果结果为0，那说明b就是两者的最大公约数 ，如果有余数，比如： 最开始：14 6 第一次：6 14 % 6 即6 2 第二次：2 6 % 2 即2 0 反过来看：2是2、6的最大公约数，而6不是6、14的最大公约数，但是K * 6 + 2能够得到14，且6能被2整除，说明2是14的公约数。 如果将欧几里得算法进行扩展，就是这样，比如： 144 24，我们知道两者的最大公约数是24，那么144x + 24y = 24，这个x、y分别是什么呢？显然是x = 0，y = 1；但如果是14x + 6y = 2呢？通过上面求最大公约数的过程，我们能够知道，最后一步的2x1 + 6y1 = 2是很容易的得到结果的， 但是怎么样从这个结果推回来，得到一开始的y呢？ ――这个就是扩展欧几里得算法。 这样来理解： 14x + 6y 6x2 + (14 % 6)y2 2x1 + (6 % 2)y1

所以，这个公式我们写作ax+by = d，(gcd(a, b) | d) 上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。 这样我们就可以给出我们的代码了： void ex_gcd(int a, int b, int &x, int &y, int &d) { d = a; if (b == 0) { x = 1; y = 0; } else { ex_gcd(b, (a%b), y, x, d); y -= (a/b)*x; } } 上面的代码只是求出了方程 ax+by=gcd(a,b) 的解，但是对于解的形式没有限制 扩展：扩展欧几里得求解 ax + by = c 的最小正整数解(x,y) 当c%gcd != 0 则说明这个方程无解！ 根据这个式子我们不难看出： 这里以求解最小正整数x为例： 于是我们就可以得到最小正整数的解 运用ex_gcd的时候，因为a,b,c可能为负值，即我们的t可能会为负数 这个时候我们就要让 同理如果求最小正整数的解y 就让t = a/gcd(a,b) 　　y = (y1 % t + t) % t #include<iostream> using namespace std; long long int exgcd(long long int a,long long int b,long long int

int exgcd ( int a , int b , int & x , int & y ) { int d = a ; if ( b != 0 ) { d = exgcd ( b , a % b , y , x ) ; y - = a / b * x ; } else { x = 1 ; y = 0 ; } return d ; } int inverse ( int a , int m ) { int x , y ; exgcd ( a , m , x , y ) ; return ( x % m + m ) % m ; } 文章来源: https://blog.csdn.net/w1304636468/article/details/90182303

1，贪心算法 　　贪心算法（又称贪婪算法）是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，他所做出的的时在某种意义上的局部最优解。 　　贪心算法并不保证会得到最优解，但是在某些问题上贪心算法的解就是最优解。要会判断一个问题能否用贪心算法来计算。贪心算法和其他算法比较有明显的区别，动态规划每次都是综合所有问题的子问题的解得到当前的最优解（全局最优解），而不是贪心地选择；回溯法是尝试选择一条路，如果选择错了的话可以“反悔”，也就是回过头来重新选择其他的试试。 1.1 找零问题 　　假设商店老板需要找零 n 元钱，钱币的面额有100元，50元，20元，5元，1元，如何找零使得所需钱币的数量最少？（注意：没有10元的面额） 　　那要是找376元零钱呢？ 100*3+50*1+20*1+5*1+1*1=375 　　代码如下： # t表示商店有的零钱的面额 t = [100, 50, 20, 5, 1] # n 表示n元钱 def change(t, n): m = [0 for _ in range(len(t))] for i, money in enumerate(t): m[i] = n // money # 除法向下取整 n = n % money # 除法取余 return m, n print(change(t, 376)) # ([3,

首先需要明确的一点是：这是一种算法，而非一个证明题。 算法的需求与数学证明题是不一样的，数学证明题要求严谨完整，而算法只需要证明我用到的某个的性质成立即可，相当于是“恰好发现了这一点”。 于是对于拓展欧几里得，我们是从欧几里得算法中发现了一个递推的性质，从而受到启发，产生猜想：可不可以利用递推求出二元一次方程的解？ 我们把猜想建立在欧几里得算法之上，利用该算法的递推过程，贯穿该过程来得到想要解决问题的答案。 也就是说，我们仅仅需要证明我们得到的答案是正确的，而并非深刻挖掘欧几里得算法的过程。 拓展欧几里得算法及证明如下： ax+by=gcd(a,b) bx`+{a/b}by`=gcd(b,{a/b}b) 由于gcd(a,b)=gcd(b,{a/b}b)， 得到ax+by=bx`+{a/b}by` ∵{a/b}=a/b-[a/b] ∴ax+by=bx`+(a/b-[a/b])by` ∴ax+by=bx`+(a-[a/b]b)y` ∴a(x-y`)=b(x`-y-[a/b]y`) 由于当x=y`,y=[a/b]y`-x`时该等式一定成立 //注意这里并不代表x=y`,y=[a/b]y`-x`是该等式的唯一解，而是我们取出了在实际情况中所需要的解 所以我们主观上取这一组解做我们的递归项 //因为这样可以解决我们的问题,可以求解方程 于是我们得到了这个递归公式

欧几里得（gcd） 欧几里得算法通过辗转相除法求得x，y的最小公约数 /* 迭代法（递推法）：欧几里得算法，计算最大公约数 */ int gcd(int n, int m) { while(m>0)//余数大于零 { int c = n % m; n = m; m = c; } return n;//输出最后一个整除的数 } 扩展欧几里得 扩展欧几里得算法是欧几里得算法(又叫辗转相除法)的扩展。除了计算a、b两个整数的最大公约数，此算法还能找到整数x、y(其中一个很可能是负数)。通常谈到最大公因子时, 我们都会提到一个非常基本的事实: 给予二整数 a 与 b, 必存在有整数 x 与 y 使得ax + by = gcd(a,b)。有两个数a,b，对它们进行辗转相除法，可得它们的最大公约数–这是众所周知的。然后，收集辗转相除法中产生的式子，倒回去，可以得到ax+by=gcd(a,b)的整数解。 long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y) { if (b==0) { x=1,y=0; return a; } long long d=exgcd(b,a%b,x,y); long long tmp=x; x=y; y=tmp-a/b*y; return d; } 通过扩展欧几里得求逆元 (A*X)

一、辗转相除法 　　gcd（a，b）=gcd（b，a%b） 二、二进制算法优化 　　若x=y，则gcd（x，y）=x，否则： 　　①若x，y均为偶数，则gcd（x，y）=2*gcd（x/2，y/2）； 　　②若x为奇数，y为偶数，则gcd（x，y）=2*gcd（x，y/2）； 　　③若x为偶数，y为奇数，则gcd（x，y）=2*gcd（x/2，y）； 　　④若x，y均为奇数，则gcd（x，y）=gcd（x-y，y）； 　　代码实现 int gcd(int x,int y) { int i,j; if(x==0)return y; if(y==0)return x; for(i=0;!(x&1);i++)x>>=1; for(j=0;!(y&1);j++)y>>=1; if(j<i)i=j; while(1) { if(x<y)x^=y,y^=x,x^=y; x-=y; if(x==0)return y<<i; while(!(x&1))x>>=1; } } 三、最小公倍数 　　LCM（a，b）×GCD（a，b）=a×b 四、扩展欧几里得算法 　　首先我们有结论：ax+by=c的充分必要条件是gcd（a，b）|c 　　所以我们可以用扩展欧几里得定理来求解一组ax+by=gcd（a，b）的解 　　∵gcd（a，b）=gcd（b，a%b） 　　∴ax+by=gcd（a，b）=gcd（b

题目 给定两个整数 \(a,c,m\) 请求出模方程 \[ax\equiv c\mod m\tag{(1)}\] 的最小正整数解。 分析 我们构造方程 \[ax\equiv 1\mod m\tag{(2)}\] 不难发现，如果我们能求出 \((2)\) 中的一个解，将其乘上 \(c\) 即可得到 \((1)\) 的一个解。那么现在就要求 \((2)\) 的一个解。其等价于不定方程 \[ax+my=1\tag{(3)}\] 我们构造 \[mx+(a%b)y=1\tag{(4)}\] 来源： https://www.cnblogs.com/whx1003/p/11716609.html

hdu-1576 Problem Description 要求(A/B)%9973，但由于A很大，我们只给出n(n=A%9973)(我们给定的A必能被B整除，且gcd(B,9973) = 1)。 Input 数据的第一行是一个T，表示有T组数据。 每组数据有两个数n(0 <= n < 9973)和B(1 <= B <= 10^9)。 Output 对应每组数据输出(A/B)%9973。 Sample Input 2 1000 53 87 123456789 Sample Output 7922 6060 扩展欧几里得模板 扩展欧几里得模板 由题意得 \[ ans=(\frac{A}{B})\%9973\\ n=A\%9973 \\ 得ans*B+9973*x = A = n+9973*y \\ \frac{ans}{n} *B+9973*(x*B-y) = n \\ 因gcd(B, 9973) = 1 \\ 即形如ax+by = gcd(a, b) \] #include <iostream> #include <algorithm> #include <string> #include <cstring> #include <cmath> #include <vector> #include <map> #include <set> #include <queue>

题意 多组询问，每次给出 $a, b, c, d$，求满足 $\frac{a}{b} < \frac{p}{q} < \frac{c}{d}$ 的所有二元组 $(p, q)$ 中 $p$ 为第一关键字，$q$ 为第二关键字排出来的字典序最小的那一对。 分析 设计函数 $f(a,b,p,q,c,d)$. 按照题目中保证 $q$ 最小的要求考虑该函数的几个边界： 1. $\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor-1 \leq \left \lceil \frac{c}{d} \right \rceil-1$，这个时候 $p = \left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor+1, q=1$ 时字典序最小 2. $a=0$ 时，这个时候 $0 < \frac{p}{q} < \frac{c}{d} \Rightarrow q > \frac{dp}{c}$，显然 $p=1, q=\left \lfloor \frac{c}{d} \right \rfloor+1$ 时字典序最小 然后考虑辗转相除缩小问题规模： 1. $a > b\ or \ c > d$：原式等价于：$\frac{a\%b}{b} < \frac{p}{q}-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor <