积性函数(前置知识)
积性函数定义：
函数 \(f(x)\) 满足 \(gcd(a, b) = 1\)时，\(f(ab) = f(a)f(b)\) 则 \(f(x)\)为积性函数
常见积性函数 (具体证明可以百度=w=)
- 欧拉函数 \(ϕ(n)\)
\(ϕ(n) = n ∗∏(pi − 1)/pi\) - 莫比乌斯函数 \(µ(n)\)
- 当 \(n\) 有平方因子
如 \(n=∏_{i=1}^{t}pi^{ci}(表示n有t个互不相同质因子pi，每个pi的次数是ci)\)
当某 \(ci>=2(即有平方因子)\)，则 \(µ(n) = 0\) - 否则，若 \(n\) 为 \(k\) 个不同质数的乘积，\(µ(n) = (−1)^k\)
除数函数
\(σ_k(n)\) 表示所有正因子的 \(k\) 次幂和
\(σ_0(n) = d(n)\) 表示正因子的个数
\(σ_1(n) = σ(n)\) 表示正因子的和完全积性函数
- 幂函数
\(id_k(n) = n^k\)
\(id_0(n) = 1(n) =1\)
\(id_1(n) = id(n) = n\) 单位函数
\(ϵ(n) = [n = 1]\) ：\(即ϵ(n)仅当n=1时值为1，其它都为0\)狄利克雷卷积
Dirichlet 卷积
- 对两个数论函数 \(f, g\)，定义其 Dirichlet 卷积为新函数 \(f∗g\)，满足
\((f∗g)(n) = ∑_{d|n} f(d)g(n/d)\)
满足以下规律 - 交换律 \(f ∗ g = g ∗ f\)
- 结合律 \((f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h)\)
- 分配律 \(f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h\)
- 单位元 \(f ∗ ϵ = f\)
重要性质：若 \(f,g\) 均为积性函数，则 \(f∗g\) 也是积性函数
已知积性函数 \(f, g\) 的 \(1 − n\) 的值，我们可以在 \(O(nlogn)\) 的时间内求
出 \((f ∗ g)\) 的 \(1 − n\) 值
常见的Dirichlet卷积
- \(d(n) = ∑_{d|n}1\), 即 \(d = 1 ∗ 1\)
- \(σ(n) = ∑_{d|n}d\), 即 \(σ = id ∗ 1\)
- \(ϕ(n) = ∑_{d|n} µ(d)*n/d\), 即 \(ϕ = µ ∗ id\) ：由容斥原理可得
\(ϵ(n) = ∑_{d|n} µ(d)\), 即 \(ϵ = µ ∗ 1\) ：二项式定理
莫比乌斯反演
莫比乌斯反演
- \(ϵ = µ ∗ 1\)
若函数 \(f, g\) 满足 \(f(n) = ∑_{d|n}g(d)\)，则\(g(n) = ∑_{d|n}µ(d)f(n/d)\)
证明：\(f = g∗1\) 两边都卷上 \(µ\) 得到： \(f*µ=g*µ*1⇔ f*u = g ∗ ϵ=g\)
例题
YY 的 GCD
[CQOI2007] 余数之和
[POI2007]Zap-Queries
[国家集训队] 2154: Crash 的数字表格