莫比乌斯

　　　　　　转载自----- http://blog.csdn.net/qw4990/article/details/14055183 这个文章主要讲一下ACM中1个常用的莫比乌斯反演公式，看到很多博客上面公式是有，但是都没证明，《组合数学》上的证明又没看懂， 就自己想了种证明方法，觉得比《组合数学》的证明简单些，就写一下，希望对初学莫比乌斯反演的同学有帮助。 PS：下面公式出现的sigma是累加，另外建议大家看的时候 把公式在纸上写出来！ 一：什么是莫比乌斯反演 简单点的说，就是先给出一个函数 F(n) ,然后再由 F(n)定义一个新函数 G(n) 其中 G(n) = sigma(F(d)) (其中d被“包含”于n) 然后 现在我们不知道 F(n)的值 ， 却知道 G(n)， 接着我们就可以通过 反演由G(n)反向得到F(n) 什么叫 (其中d被“包含”于n) ？以及怎么理解反演？ 通过下面的几个例子说明 例1： 我们直接定义 G(n)=sigma(F(i)) (1<=i<=n) {这里的每个F(i)，相对于G(n)实际上就是一种包含关系了！！} 然后我们现在已经知道 G(n)=n*(n+1)/2; 接下来 我们要通过 G(n)反向得到F(n) 的过程，就是反演 当然，这个问题很简单，很容易都可以看出来 F(n)=n ～～ ----------------------------

莫比乌斯反演 （PS：在评论区中众多dalao的催促下，我认真的写了三天三夜写完了这篇 杜教筛 ，保证是精品！） 前言 （这大概是我第一次写学习笔记吧OvO） 可能每一个刚开始接触莫比乌斯反演的OIer，起初都会厌恶这个神奇的东西。 (我也一样233) 每一个人厌恶的原因有许多，可能是这个烦人的式子，也可能仅仅只是因为不理解 \(\mu\) 函数而感到不爽。当然，莫比乌斯反演有一个小小的预备知识： 整除分块 那么我们先从莫比乌斯反演中最基础的莫比乌斯函数 \(\mu\) 开始说起： 莫比乌斯函数 首先，我们可以先明确一点，莫比乌斯函数并不是什么很高大上的东西，它其实只是一个由容斥系数所构成的函数。 \(\mu(d)\) 的定义是: 当 \(d=1\) 时， \(\mu(d)=1\) ； 当 \(d=\Pi_{i=1}^{k}p_i\) 且 \(p_i\) 为互异素数时， \(\mu(d)=(-1)^k\) 。(说直白点，就是 \(d\) 分解质因数后，没有幂次大于平方的质因子，此时函数值根据分解的个数决定)； 只要当 \(d\) 含有任何质因子的幂次大于等于2，则函数值为0. 当然，莫比乌斯函数也有很多有趣的性质： 对于任意正整数 \(n\) ， \(\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\) 。（ \([n=1]\) 表示只有当 \(n=1\) 成立时，返回值为 \(1\)

证：$\displaystyle \sum_{i=1}^n \mu (i)^2 = \sum_{i=1}^{\left \lfloor \sqrt n \right \rfloor}\mu (i)\left \lfloor \frac{n}{i^2} \right \rfloor$，其中 $\mu (x)$ 为莫比乌斯函数. 分析： 在等式的推到中，最重要的是理解一个等式的含义。 上式左边其实是求 $1 \sim n$ 中无平方因子数的个数，右边相当于枚举 $n$ 的平方因子，再乘以容斥系数。 因此，也找到了 严格 证明的方法了。 证： 设 $f(x)$ 为 $x$ 的最大的平方因子。 于是 $\displaystyle \sum_{i=1}^n \mu (i)^2 = \sum_{i=1}^n[f(i)==1]$（最大平方因子为1）。 使用经典套路： $$ \begin{aligned} \sum_{i=1}^n \mu (i)^2 & = \sum_{i=1}^n[f(i)==1]\\ &= \sum_{i=1}^n\varepsilon(f(i))\\ &= \sum_{i=1}^n\sum_{d|f(i)}\mu (d) \end{aligned}$$ 改变枚举顺序： $$ \begin{aligned} \sum_{i=1}^n\sum_{d|f(i)}\mu(d) &

。。。。您点进来我的博客，想必是信任我这个新初一大菜鸡能讲清楚吧！可是我来写这篇博客，完全是因为考试的时候看到数学题推到类似∑∑【gcd(i,j)==1】的式子就推不下去了。其实莫比乌斯反演就是求这样的东西的。 对于这样的式子,我经常说一句话：当年bmh201708普及组的时候提前30分钟出考场吊打提高组，就是冲着数学题去AK的 对于这样的人，我们用3个字形容他：金艺轲! 首先声明一点：我不会markdown 我zbs用莫比乌斯定理不是问题：【n==1】=∑mu(d)(d|n) 如果这个式子带进去，将绝杀。而且可以带 单走一个交换枚举项，不用说，他死定了：∑∑[gcd(i,j)==1] =∑∑∑mu(d)(d|gcd(i,j))=∑mu(d)∑∑(d|i&&d|j) （到这里，有没有发现gcd(i,j)的所有因数都是i和j的因数？） 给莫比乌斯倒一杯卡布奇诺！ 原式=∑mu(d)[n/d]*[m/d] 后面整数分块处理O(sqrt(n))，前面莫比乌斯函数因为是积性函数，所以直接上欧拉筛。 你卡掉我试试！你能把我zbs卡掉？卡掉我当场吃屎！ https://www.luogu.org/record/22884149 来源： https://www.cnblogs.com/zbsakioi/p/11366682.html

[BZOJ 2820] YY的gcd(莫比乌斯反演+数论分块) 题面 给定N, M,求 \(1\leq x\leq N, 1\leq y\leq M\) 且gcd(x, y)为质数的(x, y)有多少对。q组询问 分析 我们要求的是 \[\sum_{p \in P} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m [gcd(i,j)=p]\] (大写P表示质数集合) 根据 \(kgcd(i,j)=gcd(ki,kj)\) , \[原式=\sum_{p \in P} \sum_{i=1}^{\lfloor n/p \rfloor} \sum_{j=1}^{\lfloor m/p \rfloor} [gcd(i,j)=1]\] 又根据莫比乌斯反演里的一个常用结论(证明见 BZOJ 2301 ) \[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m [gcd(i,j)=1]= \sum_{d=1}^{min(n,m)} \mu(d ) \lfloor \frac{n}{d} \rfloor \lfloor \frac{m}{d} \rfloor\] \[原式=\sum_{p \in P} \sum_{d=1}^{min( \lfloor n/p \rfloor, \lfloor m/p \rfloor)} \mu(d) \lfloor \frac{n}{pd} \rfloor

一个经典问题 求 \[ \sum_{k=1}^n\mathbb{lcm}(k,n) \] 一般的做法是使用 \(\varphi(n)\) 函数。 不经典的做法 \[ \begin{align*} \sum_{k=1}^n\mathbb{lcm}(k,n) &=\sum_{k=1}^n\frac{nk}{\gcd(n,k)}\\ &=\sum_{d|n}\sum_{k=1}^{n/d}\frac{ndk}{d}[\gcd(n,dk)=d]\tag{枚举gcd(n,k)}\\ &=\sum_{d|n}\sum_{k=1}^{n/d}nk[\gcd(\frac{n}{d},k)=1]\tag{同消去d}\\ &=n\sum_{d|n}\sum_{k=1}^dk[\gcd(d,k)=1]\tag{用d代替n/d}\\ &=n\sum_{d|n}\sum_{k=1}^dk\sum_{j|gcd(d,k)}\mu(j)\tag{莫比乌斯函数的性质}\\ &=n\sum_{j|n}\mu(j)\sum_{d|n/j}\sum_{k=1}^djk\tag{交换求和次序}\\ &=n\sum_{j|n}\mu(j)j\sum_{d|n/j}\frac{d(d+1)}{2}\tag{等差数列求和公式}\\ &=\frac{n}{2}\left(\sum_{j|n}\mu(j)j\sum_{d|n/j

昨天知道了莫比乌斯函数，今天就来学学莫比乌斯反演： 莫比乌斯反演： 若 \[F(n)=\sum_{x\mid n}f(x)\] 可以得到一个结论： \[f(n)=\sum_{x\mid n}\mu (x)F(\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor)\] 若 \[F(n)=\sum_{n\mid x}f(x)\] 又可以得到一个结论： \[f(n)=\sum_{n\mid x}\mu (\frac{x}{n})F(x)\] 证明我们可以用 狄利克雷乘积 来证明。 算法应用： 此处感谢我们学校的教练——symbol，谢谢您的课件，这给了我很大帮助。 终于可以学习杜教筛了，Yes！ 来源： https://www.cnblogs.com/zhouyifei/p/11329483.html

前言： 继续不务正业…… 莫比乌斯函数： \[\mu (x)\] 算法定义： 1. \[\mu (1)=1\] 2. 当\[x=\prod_{i=1}^{k}p[i]\] 且p[i]为互异素数时 \[\mu (x)=(-1)^{k}\] （就是质因子的幂次小于2） 3.当所有质因子的幂次都大于1 \[\mu (x)=0\] 性质： 1.若 \[n=1\] 则 \[\sum_{x=1}^{n} x\mid n=1\] 否则 \[\sum_{x=1}^{n} x\mid n=0\] 2.\[\sum_{x=1}^{n}x\mid n\frac{\mu(x)}{x}=\frac{\phi(n)}{n}\] 算法实现： 1.筛质数的同时记录幂次 2.然后统计莫比乌斯函数 来源： https://www.cnblogs.com/zhouyifei/p/11323957.html

积性函数(前置知识) 积性函数定义： 函数 \(f(x)\) 满足 \(gcd(a, b) = 1\) 时， \(f(ab) = f(a)f(b)\) 则 \(f(x)\) 为积性函数 常见积性函数 (具体证明可以百度=w=) 欧拉函数 \(ϕ(n)\) \(ϕ(n) = n ∗∏(pi − 1)/pi\) 莫比乌斯函数 \(µ(n)\) 当 \(n\) 有平方因子 如 \(n=∏_{i=1}^{t}pi^{ci}(表示n有t个互不相同质因子pi，每个pi的次数是ci)\) 当某 \(ci>=2(即有平方因子)\) ，则 \(µ(n) = 0\) 否则，若 \(n\) 为 \(k\) 个不同质数的乘积， \(µ(n) = (−1)^k\) 除数函数 \(σ_k(n)\) 表示所有正因子的 \(k\) 次幂和 \(σ_0(n) = d(n)\) 表示正因子的个数 \(σ_1(n) = σ(n)\) 表示正因子的和 完全积性函数 幂函数 \(id_k(n) = n^k\) \(id_0(n) = 1(n) =1\) \(id_1(n) = id(n) = n\) 单位函数 \(ϵ(n) = [n = 1]\) ： \(即ϵ(n)仅当n=1时值为1，其它都为0\) 狄利克雷卷积 Dirichlet 卷积 对两个数论函数 \(f, g\) ，定义其 Dirichlet 卷积为新函数 \(f

## 积性函数 \[\forall p,q \wedge gcd(p,q)=1 , f(pq)=f(p)*f(q)\] \(\mu\) 函数定义 \[ n=a_1^{p_1}*a_2^{p_2}\cdots*a_k^{p_k}\\ \mu(n)=\left\{ \begin{array}{lr} 1,n = 1\\ (-1)^k,a_i=1\\ 0,otherwise \end{array} \right. \] \(\mu\) 函数性质 1. \[ \sum_{d|n}\mu(d)=[n=1] \] ([n=1]表示仅当n=1时返回值为1，其余为0） 2. \[ \sum_{d|n}{\mu(d)\over{d}}={\varphi(n)\over{n}} \] 线性筛莫比乌斯函数 void init() { memset(vis,0,sizeof vis); mu[1]=1; for (int i=2;i<=n;++i) { if (!vis[i]) { mu[i]=-1; prime[++tot]=i; } for (int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;++j) { vis[i*prime[j]]=1; if (i%prime[j]==0) { mu[i*prime[j]]=0; break; } else { mu[i*prime[j]]=-mu[i