命题逻辑

程序语言编年史 概述 这次咱们聊下程序语言的发展史，除了程序语言，还会着重讲下程序语言密切相关的计算机的发展史，顺带讲下同时期与程序语言和计算机相关领域的发展,为什么要把程序语言和计算机相关领域放到一块讲, 因为这些领域和计算机的关系太密切了, 程序语言是 程序员 和计算机沟通交流唯一方式, 计算机的计算模型的发展, 还有计算机的应用领域的发展都对程序语言有着深刻的影响. 通过计算机相关领域的发展, 我们能从中可以找到一些影响程序语言关键因素, 看看 这些因素是如何推动程序语言一步步发展成今天这个样子的. 计算机发展史 计算机的发展可以分为两条线进行追溯, 一条是计算理论的发展, 一条是计算机实体的发展, 下面我们看看计算理论和计算机的发展轨迹. 理论模型的演变 计算理论是近现代才出现的一个数学分支,主要研究可计算性,计算的复杂度,计算模型(计算理论中两大计算模型:图灵机,lambda演算),形式语言(编程语言也是一种形式语言).我们可以看到计算理论主要研究的对象的名字中有三个带了 计算 ; 计算 这个词很常见,好像和这些词汇所表达的意思挺相近:四则运算,数值计算,逻辑运算.本节就以 计算 为主线介绍下计算是什么,以及其演变历史,还有它和计算理论的关系. 史前数学：数值计算 公元前2500年,在美索不达米亚的一块泥板上记录着谷仓里面有1152000,每个人分7分,可以分给多少人

前言 恒成立和能成立命题是高中数学中一个非常重要的知识点，考查频次很高，由于借助这个命题能很好的考查学生的知识理解掌握能力，还能考查学生遇到新问题时的转化化归能力，考查学生思维的灵活性，所以是高考命题人的最爱之一，需要引起学生的广泛关注。而且其涵盖的数学素材很广，一定要认真学习和掌握。 恒成立模型 \(A\leq f(x)\) 在区间 \([m，n]\) 上恒成立，等价于 \(A\leq f(x)_{min}\) ； \(A\ge f(x)\) 在区间 \([m，n]\) 上恒成立，等价于 \(A\ge f(x)_{max}\) ； //--> 说明：上述模型是最精简的模型，具体题目中一般不是这样的，需要我们做相应的转化化归。比如 \(ln(x+1)+\cfrac{a}{x+2}>1\) 对任意 \(x>0\) 成立，则可以转化为 \(a>(x+2)[1-ln(x+1)]\) 恒成立，比如 \(x^2+e^x+a\ge 0\) 对任意实数恒成立，可以化归为 \(a\ge -x^2-e^x\) ，这样就都属于上述类型。 转化为恒成立 哪些问题或素材都能转化为恒成立命题 ⒈明确以恒成立命题形式给出的 1 ⒉以集合、子集形式或定义域的形式给出的，比如解集为 \(R\) ； 2 ⒊以简单逻辑用语给出的，比如真命题，假命题，或充要条件，全称命题 3 ⒋以不等式无解的形式给出的， 4

什么是证明 Definition(证明的定义) A mathmatical proof of a proposition is a chain of logical deduetions leading to the proposition from a base of axioms. 译：命题的数学证明是从公理得出命题的一系列的逻辑推论。 命题的定义 命题是真假客观存在的陈述句。 可以 客观准确给出真假 的语句才是命题。 比如：“有外星人”，“给我这本书”，“php是世界上最好的语言”都不是命题。 真假性 随时间环境变化的语句 也不是命题。 比如：“现在是五点钟”，“明天股票会涨”，“今天天气不错”都不是命题。 ###历史上著名的命题 欧拉猜想(Euler's Conjecture) ： 若a,b,c,d都是正整数，等式 \[a^4+b^4+c^4=d^4\] 无解。 四色定理(Four Color Theorem) ：用四种颜色给地图着色，可以使每张地图相邻区域的颜色各不相同。 费马大定理(Fermat's Last Theorem) ： 当整数n>2时， \(x^n+y^n=z^n\) 没有正整数解。 哥德巴赫猜想(Goldbach's Conjecture) ：任意大于2的偶数都是两个质数的和。 谓词语句 definition:真假性取决于一个或多个变量的语句。如：

命题连接词 最常见的连接词： 　　“如果” “并且” “不” “如果……则……” “当且仅当” 否定连接词：非 “﹁” 合取连接词：P并且Q >>> “P^Q” P^Q为真当且仅当P\Q同时为真 　　　　　　 注意：P但Q 也是合取，例如：今天天气很冷，但我还是要出门 析取连接词：P或Q >>> “P∨Q” P∨Q为真当且仅当P，Q至少有一个为真 　　　　　　注意：自然语言中的“或”有“可兼或”（同或）和“不可兼或”（异或）两种。 析取连接词代表的是可兼或 。 异或有时候会用“⊕”来表示。 蕴含连接词：如果P则Q >>> “P→Q” P称为蕴含式的前件，Q称为蕴含式的后件。 P→Q为假当且仅当P为真且Q为假。 　　　　　　注意：自然语言中，当前件为假，不管结论真假，整个句子的语义往往无法判断。对于数理逻辑中的蕴含逻辑词来说，当前件P为假时，不管Q的真假如何，P→Q都为真。此时称为“ 善意推定 ” 　　　　　　例如命题：如果∠A和∠B为对顶角，则∠A等于∠B。　　这个命题是真命题。当前件为假时（∠A和∠B实际不是对顶角，但命题叙述中∠A和∠B是对顶角），这个定理依然成立。 等价连接词：P当且仅当Q >>> “P↔Q” P↔Q为真当且仅当P、Q 同时为真假 。 来源： https://www.cnblogs.com/Joey777210/p/11776411.html

欧几里得算法中的归谬法和反证法 逻辑与算法之七 思索《几何原本》第七卷命题1的证明，是一件十分有趣的事情。 回忆我的小学和中学，好像没有学过反证法似的，归谬法更没有印象。不过，这也许是儿时的记忆有误。数学当中，如果一个命题直接不大好证，我们可以绕个弯，先证明它反面不成立，然后就可以推出，那个待证的原命题是成立的。老师说这样证明有效，你还能反驳什么呢？不过，我们的水平难以反驳，后来真有人反驳这一点。 凭什么？一个和原命题相反的命题它不成立，就证明原命题成立了呢？ 这一篇小文，先给出我对原本七卷那个命题1证明的理解。原本证明过程的叙述太为简洁，我加上了一些自己的理解，给出该命题1的证明。这个证明过程，几乎就是在使用归谬法（Reductio ad absurdum），也可以说使用了反证法（proof by contradiction）。读《几何原本》，可以让我们对这两个证明方法有更精准的认知。 第七卷命题1：（《几何原本》第215页，天津科技出版社2019年版） 设有两不等自然数，依次从较大数减去较小数，若所得余数总是无法量尽它前面一数，直至最后余数为1，则该两数为互质数。 证明： 设较大数为AB，较小数为CD，如果该两数满足命题1条件，结果却不是互质数。 1）若AB和CD不是互质数，则依据几何原本命题12互质数定义，至少存在一个数，可被这两个数整除，也就是这两个数一定至少有一个公约数

定义： 对于一种事物的本质特征或一个概念的内涵和外延所作的简要说明。相当于数学上的对未知数的设定赋值，比如“设某未知数为已知字母x以便于简化计算，”对某个命名的词汇赋与一定的意义或形象，则有利于交流中的识别及认同。 公理： 在数学中，公理这一词被用于两种相关但相异的意思之下——逻辑公理和非逻辑公理。在这两种意义之下，公理都是用来推导其他命题的起点。和 定理 不同，一个公理（除非有冗余的）不能被其他公理推导出来，否则它就不是起点本身，而是能够从起点得出的某种结果—可以干脆被归为定理了。 定理： 经过受逻辑限制的证明为真的陈述。一般来说，在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理。证明定理是数学的中心活动。 推论： 从一个或者一些已知的命题得出新命题的思维过程或思维形式。其中已知的命题是前提，得出的命题为结论。 命题： 在现代哲学、数学、逻辑学、语言学中，命题是指一个判断（陈述）的语义（实际表达的概念），这个概念是可以被定义并观察的现象。命题不是指判断（陈述）本身，而是指所表达的语义。当相异判断（陈述）具有相同语义的时候，他们表达相同的命题。在数学中，一般把判断某一件事情的陈述句叫做命题。 引理： 引理是为证明某个定理或解某个问题所要用到的命题。引理和定理没有严格的区分，如果论证某个命题时，还没有直接根据，需要某些还没有被证明的结论，把它提出来加以证明，就是所谓的构造引理。 来源：

目录 集合和逻辑运算 集合 定义 性质 表示 集合间的关系 集合的运算 集合运算在位运算中的表示 逻辑运算 逻辑连结词 量词 集合和逻辑运算 集合 定义 我们把具象和抽象的事物，符号叫做 对象 ，由一定对象构成的一个整体叫做 集合 ，构成集合的每个对象叫做 元素 。 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做 空集 ，记作 \(\emptyset\) 。 含有有限个元素的集合叫做 有限集 ，含有无限个元素的集合叫做 无限集 。 性质 1. 互异性 ：对于一个给定的集合，其中的元素一定各不相同。 2. 确定性 ：集合中的元素必须确定。 ——例如，“中国的直辖市”构成一个集合，“我国较小的河流”不构成一个集合。 常用数集 非负整数集(自然数集)： \(\N\) 正整数集： \(\N^*\) 或 \(\N_+\) 整数集： \(\Z\) 有理数集： \(\Q\) 实数集： \(\R\) 表示 我们一般用大写英语字母 \(A,B,C,\cdots\) 表示集合，用小写英语字母 \(a,b,c,\cdots\) 表示集合中的元素。 如果 \(a\) 是集合 \(A\) 的元素，就说 \(a\) 属于 集合 \(A\) ，记作 \(a\in A\) ；相应地，如果如果 \(a\) b不是集合 \(A\) 的元素，就说 \(a\) 不属于 集合 \(A\) ，记作 \(a\notin A\) 。

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上节讨论了简单命题(原子命题)和复合命题以及它们的符号化形式简单命题是命题逻辑中最基本的研究单位,其真值是确定的,又称 作命题常项或命题常元 ,命题常项相当于初中的常数。初等数学中还有变量,对应地这里有命题变项。取值1(真)或0(假)的变元称作 命题变项或命题变元 可以用命题变项表示真值可以变化的陈述句.命题变项不是命题,命题变项与命题常项的关系如同初等数学中变量与常量的关系今后也用p,q,r,…表示命题变项这样来,P,q,r,…既可以表示命题常项,又可以表示命题变项,通常可以由上下文确定。 将命题变项用联结词和圆括号按一定的逻辑关系联结起来的符号串称为 合式公式 ,当使用联结词集{┓,A,V,→,<->}时,合式公式定义如下. 定义1 . 6 (1)单个命题变项和命题常项是合式公式,并称为原子命题公式. 若A是合式公式,则(┓A)是合式公式 若A,B是合式公式,则(A∧B),(AVB),(A→B),(A<->B)是合式公式 有限次地应用(1)~(3)形成的符号串是合式公式 合式公式也称为 命题公式 或 命题形式 ,简称为公式. 设A为合式公式,B为A中一部分,若B也是合式公式,则称B为A的子公式. 对于定义1.6,要做以下说明: 定义1.6给出的合式公式的定义方式称为归纳定义或递归定义方式,下文中还将多次出现这种定义方式 定义中引进了A,B等符号,用它们表示任意的合式公式

逻辑学导论版本二尔雅满分答案 文章转载至公众号【多特资料】，已经获得了作者授权 上面的有完整版的，为了省事，我只复制了题目发了上来 以下是题目，希望大家可以点赞 原标题：逻辑学导论版本二尔雅满分答案 逻辑学是什么 1 逻辑系统的四大定理不包括（D）。 A、一致性定理 B、有效性定理 C、可靠性定理 D、不完全性定理 2 四大数学流派不包括（C）。 A、柏拉图主义 B、逻辑主义 C、理性主义 D、直觉主义 3 逻辑主义的代表人物是（A）。 A、罗素 B、希尔伯特 C、哥德尔 D、布劳威尔 4 逻辑学跟计算机科学没有关系。（错误） 正确答案：× 5 从一般意义上讲，逻辑学是关于推理或论证的学问。（） 正确答案：√ 逻辑与法律：普罗泰戈拉悖论 1 古代逻辑的发源地包括（）。 A、古希腊 B、中国 C、古印度 D、以上都对 正确答案：D 2 （）是一个从已确定断言产生出新断言的过程。 A、辩论 B、结论 C、推论 D、论断 正确答案：C 3 概率推理不是逻辑学研究的主题。（） 正确答案：× 4 “人是万物的尺度”，这句话的提出者是柏拉图。（） 正确答案：× 逻辑学的功能和研究范围 1 斯多葛学派的代表人物不包括（）。 A、芝诺 B、塞内卡 C、奥勒留 D、泰勒斯 正确答案：D 2 （）被马克思称之为古代最伟大的思想家。 A、柏拉图 B、奥古斯丁 C、亚里士多德 D、马丁·路德 正确答案：C