命题逻辑

前言   此文是在本人学习完离散数学中的数理逻辑部分后，对标题中各部分之间的联系存在很大的疑惑。特此进行总结，水平有限，如有错误，欢迎指正。 从逻辑代数开始   逻辑代数是一种用于描述客观事物逻辑关系的数学方法，由英国科学家乔治·布尔 (George·Boole) 于19世纪中叶提出，因而又称 布尔代数 。   所谓逻辑代数，就是把逻辑推理过程代数化，即把逻辑推理过程符号化。 从逻辑代数到命题逻辑   同样的，命题逻辑是将那些具有真假意义的陈述句接着进行符号化，产生原子命题。与此同时，当我们把逻辑代数中的运算符：与( · )、或( + )、非( - )，替换成命题逻辑中的联结词集：合取( ∧ )、析取( ∨ )、非( ¬ )、蕴涵( → ) 和等价( ↔ ) 之后，我们就进入了命题逻辑的研究领域。   需要指出的是，通常也将命题逻辑称作命题演算，后者的出现就是用来讨论前者的，这里不再区分。它与下面出现的一阶逻辑（谓词逻辑）都是数理逻辑的子集（或称之为分支），是数理逻辑的两个最基本的也是最重要的组成部分。   有人可能会问，为什么不从数理逻辑开始，其实意义不大。要谈数理逻辑，不可避免的下一个主题就是逻辑代数。为什么这样说呢？因为数理逻辑一开始的诞生是没有意义的，它的创始人正是我们熟知的莱布尼茨（没错，就是高数中的那个牛顿-莱布尼茨公式）。莱布尼茨一开始是想要建立一套普遍的符号语言

范式 什么是范式？ 范式， 通俗地来讲就是一般的公式， 规范的名称， 是科学研究中最基本的概念。 科学研究通常建立在统一的基础上。比如二次方程的一般形式： a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 ) ax^{2} + bx + c = 0 \ (a \not= 0) a x 2 + b x + c = 0 ( a  ​ = 0 ) 对于同一个二次方程来讲， 有无数种变形方式， 为了便于研究， 规定其中一种形式为一般形式， 这就是范式。当然范式不是随便选取的， 要以方便为基础， 不过这就是另一个话题了。 离散数学中的范式 关于什么的范式？ 这篇文章主要讨论离散数学中的命题表达式， 即用连接词将各种命题连接起来， 形成复合命题。因为命题具有等值变化运算， 所以同一个命题有无数种表达方式， 而要对命题进行研究， 首要就是要将命题用一种标准的形式表达出来。这就引入了命题逻辑里的范式概念。 离散数学中范式的关系？ 在离散数学中， 命题的范式并不是唯一的， 由于逻辑运算的特殊性， 几个形式的命题都可以看做是最基本的形式， 而且都有各自的用处。关系并不复杂: 范式 合取范式 析取范式 主合取范式 主析取范式 析取范式 什么是析取范式？ 定义： 设A是一个命题公式， A 中出现的命题变元为 p 1 , p 2 , . . . , p n p_1, p_2, ..., p_n p

一、知识框架图 二、数理逻辑 1.命题符号化 命题：能判断真假的陈述句 命题包含两个要素：陈述句，能判断真假 命题题符号化的步骤： 1 )对于不太好理解的联结词或表达方式，如有必要,做适当的文字翻译。 2 )找出其中所有的原子命题并符号化。 3 )用适当的联结词将原子命题连接起来，如有必要，在适当位置配上括号。 2.真值表 设A是一命题公式, P1,P2.... Pn,为出现在A中的所有命题变元,对P1.P2....Pn，各指定-一个真值,称为对A的一种指派或赋值。 若指定的一种指派使A的值为真,则称这组值为A的成真指派（成真赋值） 若指定的一种指派使A的值为真，则称这组值为A的成假指派（成假赋值） 3.命题公式的等值演算 设A和B是两个命题公式，设P1，P2....Pn为所有出现于A和B中的原子变元，若给定P1,P2....Pn,任一 组真值指派A和B的真值都相同，则称A和B是等值的或等价的，记为A<=>B。 证明两个命题公式等价的方法: 方法1:真值表法。 方法2:等值演算法。 4.命题公式类型 设A是任一命题公式。 若对A的任意赋值，其真值永为真，则称命题公式A为重言式或永真式。 若对A的任意赋值，其真值永为假，则称命题公式A为矛盾式或永假式。 若A不是矛盾式，则称命题公式A为可满足的。 由定义可以看出，任何重言式都是可满足的。 5.极小项与极大项 极小项：在简单合取式中

文章目录 第一章: 第二章: 第四章: 第五章: 第六章: 第七章: 第八章: 第九章: 第十一章: 第一章: 基础: 命题 命题的真值 真值的取值 真命题 假命题 简单命题(原子命题) 复合命题 5个联结词的定义 5个联结词的运算方向 5个联结词的优先级顺序 [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-Rhvqc5c7-1579571843362)(C:\Users\Janus II\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20200103105543232.png)] 基础: 命题常项 命题变项 合式公式 (命题公式, 公式) 赋值(解释) 成真赋值 成假赋值 真值表 公式的类型: 重言式(永真式) 矛盾式(永假式) 可满足式 等值演算: 等值与等值式 24个基本等值式 等值演算 置换规则 证明两个公式等值: 判断公式的类型: 复合联结词: n元真值函数 8个联结词的全功能集 范式: 对偶式 & 对偶原理 文字 简单析取式 简单合取式 析取范式 合取范式 范式 公式A的析取范式 & 公式A的合取范式 求析取范式 & 合取范式: 主要就是将其中的蕴含和等值全部化掉就好! 而后找到其中的析取范式 & 合取范式的组合! 极小项 & 极大项 主析取范式 主合取范式 以及这两个的求法: 先求析取范式

联言命题及其推理 复合命题是由简单命题通过逻辑联结词组合而成的，它由支命题和联结词两部分构成， 联结词决定复合命题的逻辑性质。根据联结项的不同性质，复合命题分为联言、选言、假、负命题。 一、联言命题概述（且） 联言命题是断定多种事物情况同时存在的一种复合命题，由 联言支、联言联结词 两部分构成。 例1、油哥是学生，并且是兼职作家。 分析：是联言命题。断定了“油哥是学生”和“油哥是兼职作家”两种情况同时存在，联结词是“并且”。 联言命题的结构是：“p且q”。合取词常用“且”、“同时”、“也是”等。汉语中的并列复合句、递进复合句、转折复句一般表达联言命题。 例2、峣峣（yao,直）者易折，皎皎者易污。（并列复句） 例3、悠悠不仅医术好，而且是名医。（递进复合句） 例4、成功需要努力，但仅仅努力是不够的（转折复合句） 例5、逻辑学是基础课和选修课（单句） 联言命题（且）命题中，所有联言支为真，命题为真，否则假。改变联言支的顺序不会导致联言命题真值变化（有效性），但联言命题的意义可能改变（实际意义）。 二、联言推理 1、分解式 指由联言命题的真，推出其部分支命题为真的推理。 例1、良言一句三冬暖，良药苦口利于疾，所以，良言一句三冬暖。 分析：其形式为：“若p且q真，所以，p真”。分解式有助于人们在认识事物全面情况的基础上，重点或强调某一方面的情况。 2、组合式 指由前提中全部命题为真

兰贝特构造的一个有关属种推理的幻想式演算1—逻辑与算法之二十 双20的新年把世界带入了21世纪的20年代，新年伊始，逻辑与算法的思考还在心中萦绕。岁月前行，思绪回归，莱布尼兹的那两个片断19和20之后，继续阅读《符号逻辑概览》，自然就轮到了瑞士出生的数学家兰贝特Johann Heinrich Lambert。 自莱布尼兹之后，欧洲出现各种各样发展逻辑演算的意图。萨格尔segner，贝努里Bernoulli1716-1790，普罗凯Ploucquet，Tonnies，兰贝特Lambert（1728-1777），Holland，Castillon，还有一些其它人，他们似乎不约而同地在朝这个方向进行研究。其中最重要的是普罗凯，兰贝特和Castillon。但仅有贝努里Bernoulli给兰贝特留下的文献，给我们提供了讨论其演算的机会，我们也就能够在莱布尼兹之后，来领略兰贝特的逻辑演算，这个演算被刘易斯在他的《符号逻辑概览》中称作幻想式的逻辑演算。 兰贝特照片 兰贝特出身瑞士，是德国物理学家，数学家和天文学家，一个和布尔一样靠自学成才的天才学者，可惜寿命太短。可他对逻辑演算这个主题却有一些长篇大论，在一本有关逻辑的随笔中，他写下不少有关符号推演的文字。本篇依据刘易斯《符号逻辑概览》一书，对兰贝特的工作给出一些理解与记载。 兰贝特的符号列表： 一、符号列表 等号= 加法┼ 减法─ 对立× 全称

大家好！又到了期末时间，各位国科大的师弟师妹们，师兄帮你们总结了高级人工智能的考点，如果你好好复习了，那么这篇博文能帮你上90；如果没有也不要怕，认真看了这篇博文，也能保你70。下面我们开始吧，更多考试知识点请关注公众号“算法岗从零到无穷”。转载请注明出处。 目录 往届考试知识点 知识点罗列 概念 搜索 深度学习 命题逻辑与一阶谓词逻辑 命题逻辑 一阶谓词逻辑 群体智能 强化学习 博弈论 老师上课讲的考点 行为主义 符号主义 必复习的知识点 有时间可复习的知识点 关注我 例题讲解 大胆押题 选择题 计算题 参考博客 往届考试知识点 BP GAN 搜索 田忌赛马 Transaction Database 感知机 玻尔兹曼机 A*搜索 语义网络：一阶谓词逻辑，模糊逻辑 蚁群优化算法和粒子群算法 网络交互博弈 遗传算法 信息熵 deep belief networks 人工智能三大分支 野人与传教士 多臂赌博机 每年的大题都是强化学习 知识点罗列 概念 人工智能概念性定义：机器智能，类脑智能，群体智能 人工智能三大学派：符号主义学派，联结主义学派，行为主义学派 搜索 深搜一般来说时间复杂度大但空间复杂度小，广搜空间相反。深度优先适合深度大的树，不适合广度大的树，广度优先正相反 图A*算法是最优的条件是一致性；树A*算法是最优的条件是可采纳性 传教士和野人问题的A* 搜索 爬山法搜索

关系命题及其结构 一、关系命题的定义 关系命题是断定至少两个思维对象之间关系的简单命题。 例1、特朗普与希拉里是竞选总统的对手。 例2、廊坊位于北京与天津的交界处。 例3、工业界很看好人工智能未来。 分析：以上3个命题都断定了某些思维对象之间的关系，都是 关系命题 ，都是简单命题。性质命题所描述的性质可以为某一对象所具有，关系命题所描述的关系只能存在至少两个对象之间。其检验标准为：看命题是否能分解为单个对象的不同命题，不能分解的为关系命题，能分解的则非关系命题。 例4、库里和曾经杜兰特是队友。 分析：是关系命题，它断定“库里”和“杜兰特”之间具有“队友”关系，不能分解为“库里是队友”或“杜兰特是队友”两个命题。 例5、詹姆斯和科比是篮球运动员。 分析：非关系命题。可分解为“詹姆斯是篮球运动员”和“科比是篮球运动员”两个命题。 二、关系命题的结构 关系命题在逻。辑上由关系者项、关系项、量项三部分构成。 关系者项： 是承担一定关系的载体，关系命题的主项。 关系项： 指关系者项所承载的某种关系，是关系命题的谓项，用大写字母R表示。存在于n个关系者之间的关系称为n元关系。 量项：指关系者项被断定的范围。 若不考虑量项，根据关系命题的结构，肯定的二元关系命题形式为： aRb或者R(a,b)，读作：a与b有R关系 。也可以把量词加在关系者项的前面。 例6

性质命题的直接推理 指前提和结论都是性质命题的推理，是依照性质命题的内部结构（量项）进行推理。据前提的数目，可分为直接推理（一个命题推出另一新命题；可再细分为对当关系直推、变形直推）和三段论（两个命题推出一个新命题）。 一、对当关系直接推理 1、反对关系直接推理 据A、E不能同真，但可同假的性质： （1）若A真，则并非E真。 （2）若E真，则并非A真。 例1、所有酒后驾驶都是违法的，所以，并非所有酒后驾驶都不是违法的。（A真，E真） 例2、所有领导讲话都不（是）能信口开河（的），所以，并非所有领导讲话都（是）能信口开河（的）。（E真，并非A真） 2、矛盾关系直推 据A与O、E与I的真假对立关系的性质： （1）若A真，则并非O真；若并非A真，则O真。 （2）若O真，则并非A真；若并非O真，则A真。 例1、所有男人都爱女人，所以，并非有的男人不爱女人。（A真，则并非O真） 例2、并非所有男人都爱女人，所以，有的男人不爱女人。（并非A真，则O真） 例3、有的男人不爱女人，所以，并非所有男人都爱女人。（O真，则并非A真） 例4、并非有的男人不爱女人，所以，所有男人都爱女人。（并非O真，则A真） （3）若E真，则并非I真；若并非E真，则I真。 （4）若I真，则并非E真；若并非I真，则E真。 例5、所有女人都不爱男人，所以，并非有的女人爱男人。（E真，则并非I真） 例6、并非所有女人不爱男人

书名：《离散数学（上）》 清华大学计算机系的教材 离散数学（discrete mathematics)是计算机科学基础理论的核心课程。它包括数理逻辑、集合论、代数结构、图论、形式语言、自动机和计算集合等。 第一章 命题逻辑的基本概念 第一节 命题 一、什么是命题 命题是一个非真即假的陈述句。 1）命题是一个陈述句。 2）该陈述句表达的内容非真即假。 我们把这样的命题逻辑成为二值逻辑，把以这样命题作为研究对象的逻辑成为古典逻辑。 二、命题变量 我们约定用大写字母表示命题，用小写字母表示命题变量。命题是指具体的陈述句，是有确定的真值；而命题变量的真值不定，只当将某个具体命题代入命题变量时，命题变量化为命题，方可确定其真值。 三、简单命题和复合命题 不能分解成更简单的命题的组合的命题称为简单命题。它又称原子命题，它是不包含任何的与、或、非一类联结词的命题。 把一个或者几个简单命题用联结词（如与、或、非联结所构成的命题称为复合命题，也称为分子命题。 第二节 命题联结词及真值表 联结词分为两类： 1）真值联结词，由此联结词构成的复合命题的真假完全由构成它的简单命题的真假决定。 2）非真值联结词，由此联结词构成的复合命题的真假不完全由构成它的简单命题的真假来确定。 一、否定词 ┑ 否定词“┑”是个一元联结词。一个命题P加上否定词就构成了一个新的命题。记作 ┑P,这个新命题是命题P的否定，读作