定积分的概念

一、定积分问题举例 1.1、曲面梯形面积 1.2、变速直线运动的路程 二、定积分定义 2.1、插入若干的点，将区间分成n个小区间 2.2、求和 2.3、做极限 另一种定义 与积分变量符号无关 2.4、可积的充分条件 三、定积分的近似计算（计算机） 矩形法 梯形法 抛物线法（辛普森法） 四、定积分性质 4.0、补充 4.1、性质1 4.2、性质2： 积分可加性 4.3、性质3 4.4、性质4 使用定积分定义证明 4.4.1、推论1 4.4.2、推论2 4.5、性质5、积分的估值公式 4.6、性质6（定积分中值定理） 4.6.1、证明 连续函数的介值定理及其推论 注意那个积分项是一个确定的值（假设确定之为Y），Y在[m, M]之间, 在以m,M值域的区间，运用介值定理，则f© = Y, 整理一下，就是 积分中值公式 4.6.2、几何解释 来源： CSDN 作者： chbxw 链接： https://blog.csdn.net/wuxintdrh/article/details/104668384

高等数学二（共26讲）课程大纲及对应的学习笔记 第一讲 导数概念 （ 1 、问题引入 2 、问题求解 3 、导数的定义及几何意义 4 、导数存在的条件 5 、导函数） https://blog.csdn.net/hpdlzu80100/article/details/103340842 第二讲 导数运算法则 （1、问题引入 2.1、求导法则——四则运算法则 2.2、求导法则——反函数与复合函数求导法则 3、基本初等函数求导公式 4、导数综合计算） https://blog.csdn.net/hpdlzu80100/article/details/103359671 第三讲 高阶导数 （1、问题引入 2、高阶导数 3、隐函数的导数 4、参数方程确定函数的导数） https://blog.csdn.net/hpdlzu80100/article/details/103446828 第四讲 局部线性化与微分 （1、问题引入 2、微分的概念 3、微分在近似计算中的应用 4、一阶微分形式的不变性 5、高阶微分） https://blog.csdn.net/hpdlzu80100/article/details/103458893 第五讲 导数在实际问题中的应用 （1、问题引入 2、变化率 3、相关变化率） https://blog.csdn.net/hpdlzu80100/article

不定积分 原函数与不定积分 设函数f(x)定义在某区间I上，若存在可导函数F(x)，对于该区间上任意一点都有F'(x)=f(x)成立，则称F(x)是f(x)在区间I上的一个 原函数 ，其中C为任意常数 原函数（不定积分）存在定理 连续函数f(x)必有原函数F(x) 含有 第一类间断点、无穷间断点 的函数f(x)在 包含该间断点的区间内 必没有原函数F(x) 定积分 若f(x)<0，曲边梯形就在x轴下方， 定积分的绝对值仍等于曲边梯形的面积 ，但积分的值是 负 的 定积分的精确定义（可以计算特殊形式的数列极限） 定积分存在定理（定积分存在，又称一元函数的（常义）可积性） 常义，"区间有限，函数有界"；反常，"区间无穷，函数无界" 定积分存在的 充分条件 定积分存在的 必要条件（有界，从积分曲线上理解，面积不能无穷大） 定积分性质 性质1 求区间长度 性质2 积分的线性性质 性质3 积分的可加性 性质4 积分的保号性 如下图，积分的绝对值为0，但绝对值的积分是图形面积的两倍 保号性 性质5 估值定理 性质6 （积分中值定理） 设f(x)在闭区间[a, b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点 ξ，使得 变限积分 变限积分的性质 变限积分 存在 ，必然 连续 来源： https://www.cnblogs.com/YC-L/p/12170696.html

推导一： 定义一个变上限积分函数 ，让函数 获得增量 ，则对应的函数增量 根据积分中值定理可得， ，（ξ在x与x+Δx之间） ， 所以 ， 因为 ，所以 ，即 所以 即 　　 推导二： 我们用分点 将被积区间 等分成 个小区间，每个小区间长度为 。相应的原函数 的总改变量 可分为 个部分改变量的和。即： 根据微分中值定理，在每个小区间 内，一定存在一点 ，使得 。 从而 。 当 时，根据定积分的定义，我们有 。 上面的公式被认为是微积分中最重要的公式。它的存在，避免了利用定义求定积分时可能会遇到的复杂性与技巧性，使得定积分的计算过程大大简化，同时也把定积分（被定义为积分和的极限）与不定积分（被定义为原函数）两个看起来毫不相干的概念联系起来。这个公式就是大名鼎鼎的「微积分基本定理」。 值得注意的是，微积分基本定理也不是万能的。利用微积分基本定理求定积分，需要求出被积函数的不定积分。但是，求原函数并不都是很容易的，有时甚至原函数根本无法用初等函数表示。况且从工程、技术、科研、经济、金融等实际应用中遇到的大量被积函数，常常是用表格或曲线给出的，这时写不出被积函数的表达式，当然也就无法用式子写出它的原函数。这时，我们通常借助数值计算法求出定积分的近似值。在计算机广泛应用的今天，数值计算在复杂的大数据面前显得更加重要。 来源： CSDN 作者： 研发之道 链接： https://blog