范式

范式

什么是范式？

范式， 通俗地来讲就是一般的公式， 规范的名称， 是科学研究中最基本的概念。

科学研究通常建立在统一的基础上。比如二次方程的一般形式：

$ax^{2} + bx + c = 0 \ (a \not= 0)$

对于同一个二次方程来讲， 有无数种变形方式， 为了便于研究， 规定其中一种形式为一般形式， 这就是范式。当然范式不是随便选取的，
要以方便为基础， 不过这就是另一个话题了。

离散数学中的范式

关于什么的范式？

这篇文章主要讨论离散数学中的命题表达式， 即用连接词将各种命题连接起来， 形成复合命题。因为命题具有等值变化运算， 所以同一个命题有无数种表达方式，
而要对命题进行研究， 首要就是要将命题用一种标准的形式表达出来。这就引入了命题逻辑里的范式概念。

离散数学中范式的关系？

在离散数学中， 命题的范式并不是唯一的， 由于逻辑运算的特殊性， 几个形式的命题都可以看做是最基本的形式， 而且都有各自的用处。关系并不复杂:

析取范式

什么是析取范式？

定义：

设A是一个命题公式， A 中出现的命题变元为$p_1, p_2, ..., p_n$ 以 $Q_i$表示$p_i或\neg p_i, i = 1, ..., n$.称$Q_1\wedge... \wedge Q_n$是$p_n$ 的一个合取项，
若干个互不相同的合取项的析取称为一个析取范式， 与命题公式A逻辑等价的析取范式称为 A 的析取范式。

比如：

$(p\wedge q \wedge \neg r) \vee (p \wedge \neg q \wedge r)$

各部分之间用析取连接， 每个部分中只有合取连接词。

什么是主析取范式？

定义：

对于给定的命题公式A$（P_1，P_2，P_3，……，P_n）$，一个仅由最小项的析取构成的等值式称为原命题公式的主析取范式。

那么最小项又是什么呢？

最小项是一个简单合取式， 且必须包含每个原子命题或原子命题的否定, 且只能出现一次。

比如：

$p \wedge q \wedge \neg r \wedge s$

是一个最小项， 其中的任何一个原子命题不能出现两次， 因为两个相同的原子命题可以简单地变成一个， 所以定义化简后的为最小项。

而主析取范式就是若干个最小项的析取。

如何化为主析取范式？

举个例子， 现在有原子命题$p, q, r$组成复合命题:

$(p\wedge \neg q)\vee (\neg p \wedge r)$

一般使用补项法， 源于逻辑运算
$A = A \wedge T\\ T = B \wedge \neg B$

$T$为永真式。

对于左边的子命题

$p \wedge \neg q$

观察发现少了$r$, 于是上式

$\begin{aligned} &= p \wedge \neg q\\ &= p \wedge \neg q \wedge (r \vee \neg r)\\ &= [( p \wedge \neg q) \wedge r] \vee [(p \wedge \neg q)\wedge \neg r ]\\ &=(p \wedge \neg q \wedge r) \vee (p \wedge \neg q \wedge \neg r) \end{aligned}$

右边也同理可以化为:

$(\neg p \wedge r \wedge q) \vee (\neg p \wedge r \wedge \neg q)$

因此最原始命题的主析取范式为

$(p \wedge \neg q \wedge r) \vee (p \wedge \neg q \wedge \neg r) \vee (\neg p \wedge r \wedge q) \vee (\neg p \wedge r \wedge \neg q)$

看起来似乎变得更麻烦了, 但就像因式分解一样， 在将代数式变得复杂的同时，
也提供了某些特别的功能。

主析取范式的作用

观察发现主析取范式中的每一最小项都含有每一原子命题， 于是可以将其与真值表结合在一起分析， 先画出真值表:

$p$	$q$	r	$(p\wedge \neg q)$	$(\neg p\wedge r)$	$(p\wedge \neg q)\vee (\neg p \wedge r)$
0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	1	1
0	1	0	0	0	0
0	1	1	0	1	1
1	0	0	1	0	1
1	0	1	1	0	1
1	1	0	0	0	0
1	1	1	0	0	0

以上真值表使用二进制顺序排列， 要是最终的命题的值为$T$, 有多组解，
对于这个讨论的命题一共有四组解。比如(1, 0, 0)可表示为

$p \wedge \neg q \wedge \neg r = T$

也就是说当原子命题的每一组真值对应一个最小项， 而主析取范式具有多组解， 可以表示成多个最小项的析取。与代数式中的因式分解有异曲同工之妙。而且使用这个性质也可以反向来检验主范式分解是否正确。根据解的数量也能够判断命题是否是永真式等等, 就不再多说。

主合取范式

因为前文已经探讨了主析取范式的一些内容， 而主合取范式与主析取范式的性质是类似的, 就不再详细分析，
直接上结果。

主合取范式中的每一个最大项表示命题为$F$的一组解， 且(1, 0, 0)被表示成

$\neg p \vee q \vee r = F$

来源：CSDN

作者：微末.

链接：https://blog.csdn.net/wm_green_hand/article/details/104618517