矩阵的秩

Matlab R2016a完全自学一本通 记在前面： （1）函数中：dim=1 按列；dim=2 按行 （2）这本书很垃圾，不建议买。 （3）在数据库连接中，用两个单引号表示字符串，千万不能用双引号 第2章 Matlab基础知识 2.1 数据类型 数值，逻辑，字符串，函数句柄，结构体，单元数组 2.1.1 数值类型 int8，uint8；int16，uint16；int32，uint32；int64，uint64　　整数型 single 单精度 double 双精度 （默认） 示例：int32(820) 查看数值类型 class() 函数 向下取整 floor(x) 向上取整 ceil(x) 四舍五入 round(x) 向0取整 fix(x) 以数轴的思想去思考。正整数时同floor 负整数时同ceil whos列出当前spacework的所有变量 eps函数 默认是1 eps(1)表示离1最近的浮点数值；因为精度只有这么多，算出的结果会去匹配到系统的精度。一般不影响计算结果，除非对数值有非常苛刻的要求。 复数部分： complex(a,b) : 构建复数 a+bi real(z) z的实部；image(z) z的虚部；abs(z) 复数z的模；angle(z) 复数的辐角；conj(z) 复数的共轭复数 无穷量(Inf) 和 非数值量(NaN) Inf -Inf NaN 2.1

概述 讨论矩阵的四个基本子空间，通过维数和基来深入了解四个子空间。 列空间 列空间我们都熟悉了，就是矩阵列线性组合组成的空间。 位于: \(R^m\) 空间 维数：r 一组基：主元列 零空间 零空间也并不陌生，使 \(Ax=0\) 的所有x组成的空间 位于: \(R^n\) 空间 维数: n-r 一组基: 特解 行空间 行空间可以看作 \(A^T\) 的列空间 一个有趣的性质是一个矩阵的秩如果是r，那么它的转置的秩也是R，所以行空间的维数得到了。是m-r 从基的定义我们知道，对于行空间的一组基，其实就是那些线性无关行组成的集合，那不正是简化行阶梯型(rref)中的非零行嘛，也就是前r行。 位于: \(R^n\) 空间 维数: r 一组基: rref中的前r行 左零空间 左零空间是行空间的零空间，也可以看作 \(A^T\) 的零空间，也就是使得 \(A^Ty=0\) 的所有y组成的空间 为啥叫左零空间？？因为 \(A^Ty=0\) 可以看作 \((A^Ty)^T=0^T\) ，也就是 \(y^TA=0\) 。 再重复一遍这个公式： \(y^TA=0\) 嘶根据矩阵的乘法规则，那 \(y^T\) 不就是简化行阶梯中的零行所对应消元矩阵嘛的行嘛。 所以用高斯若尔当法求出消元矩阵，再取后m-r行就可以了嘛。。。 位于: \(R^m\) 空间 维数: m-r 一组基：A消元矩阵的后m-r行

基 基是生成一个向量空间的最小向量组。 它们： 线性无关 个数不多不少，刚好生成向量空间 如一个 \(R^3\) 的基： \[ \left[ \begin{matrix} 1\\0\\0\\ \end{matrix} \right], \left[ \begin{matrix} 0\\1\\0 \end{matrix} \right], \left[ \begin{matrix} 0\\0\\1 \end{matrix} \right] \] 当然这不是唯一的，任意满足上面两点的都可以是一组基。 所以 \(R^n\) 的基一定是 \(n\times n\) 的，并且这个矩阵必须可逆。（可逆的条件不正是零空间中只有零向量嘛，这不又正是线性无关嘛，这下可以串联起来了） 维数 维数就是基中的向量个数 所以我们把知识串联起来： 矩阵列的线性组合的空间的基的个数 = 该矩阵列空间的维数 = 该矩阵的秩的个数 = 矩阵中线性无关列（主列）的个数 其实同样等于行的，这是个特性，只不过Gilbert Strang老爷子还没讲到 那零空间的维数是啥？？ \(n-r\) ，矩阵列数减去秩数 这很显而易见 参考资料 MIT线性代数公开课 p9 - bilibili 来源： https://www.cnblogs.com/lilpig/p/12490983.html

一、矩阵的表示 在MATLAB中创建矩阵有以下规则： a、矩阵元素必须在”[ ]”内； b、矩阵的同行元素之间用空格（或”,”）隔开； c、矩阵的行与行之间用”;”（或回车符）隔开； A=[1 2 3 4 5; 12 12 14 56 657; 23 46 34 67 56 ]; d、矩阵的元素可以是数值、变量、表达式或函数； e、矩阵的尺寸不必预先定义。 二，矩阵的创建： 1、直接输入法 最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接输入矩阵的元素，输入的方法按照上面的规则。建立向量的时候可以利用冒号表达式，冒号表达式可以产生一个行向量，一般格式是： e1:e2:e3，其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值。还可以用linspace函数产生行向量，其调用格式为：linspace(a,b,n) ，其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元素总数。 linspace(1,5,8) ans = 1 至 5 列 1.0000 1.5714 2.1429 2.7143 3.2857 6 至 8 列 3.8571 4.4286 5.0000 2、利用MATLAB函数创建矩阵 基本矩阵函数如下： (1) ones()函数：产生全为1的矩阵，ones(n)：产生n*n维的全1矩阵，ones(m,n)：产生m*n维的全1矩阵； (2) zeros()函数：产生全为0的矩阵； (3) rand(

关于矩阵的逆有很多性质和定理，例如，可逆矩阵一定是方阵、满秩矩阵、非奇异矩阵，可逆矩阵的行列式的值不为零等等。在证明一个矩阵是不可逆矩阵时，Strang教授讲了一种几何的思路： 矩阵不可逆的证明 根据可逆矩阵的定义，如果方阵 A ∗ B = I \mathbf{A} * \mathbf{B}=\mathbf{I} A ∗ B = I ，则 A \mathbf{A} A 和 B \mathbf{B} B 互称逆矩阵。下面是一个二维不可逆矩阵的例子，有矩阵 A = [ 1 2 2 4 ] \mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix} A = [ 1 2 ​ 2 4 ​ ] ，如果 A \mathbf{A} A 可逆，则有 [ 1 2 2 4 ] ∗ B = [ 1 0 0 1 ] \begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix} * \mathbf{B}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix} [ 1 2 ​ 2 4 ​ ] ∗ B = [ 1 0 ​ 0 1 ​ ] ，对矩阵 [ 1 2 2 4 ] \begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix} [ 1 2 ​ 2 4 ​ ] 中的两个列向量作某种线性组合会得到列向量 [ 1 0 ] \begin

直观理解线性代数的本质 如何理解矩阵特征值以及特征向量？ 一篇很好的文章 A x = λ x Ax = \lambda x A x = λ x 可以把A看成是一个线性变换,那么这个定义可以看成对于向量x而言,在A的作用下保持方向不变(可能反向)，进行大小为 λ \lambda λ 的缩放。 特征向量所在的直线包含了所有特征向量. 矩阵乘以特征向量可以看成是矩阵在每个特征向量方向上的投影。通过求特征值和特征向量把矩阵数据投影在一个正交的空间,而且在各个方向的投影大小就是特征值。 最大特征值并不是说数据在所有方向的投影的最大值，而仅限于正交空间的某一方向。最大特征值的特征向量所对应的方向就是速度最大的方向。 其实是一种数据的处理方法，可以简化数据。 特征值特征向量的重要例子 ：数据挖掘中PCA(主成分分析)用于数据降维 详情点击 什么是相似矩阵?有什么用?  线性变换 例如: y ⃗ = A x ⃗ \vec{y} = A\vec{x} y ​ = A x （类似于一次函数 y = x） 线性变换通过指定基下的矩阵A来表示 同一个线性变换,不同基下的矩阵称为相似矩阵.（任意向量在不同的基中有不同的表示）

文章目录 1.矩阵的一些基础知识 1.1 矩阵只有乘法 1.2 向量有点乘(也是内积)和叉乘： 1.3 单位向量 1.4 正交矩阵 1.5 线性无关和线性相关的向量 1.6 矩阵的逆 1.7 对称矩阵 1.7 矩阵的秩（rank） 1.8 伴随矩阵 1.9 矩阵的零空间 1.10 矩阵的扩展基定理 1.矩阵的一些基础知识 1.1 矩阵只有乘法 1.2 向量有点乘(也是内积)和叉乘： （1）点乘就是两个对应向量值相乘 ：得到的是一个数值 高中知道两个向量的长度解法： a ⋅ b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ c o s < a , b > a · b = |a||b|cos<a,b> a ⋅ b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ c o s < a , b > 如果给出两个向量的值： a = [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] b = [ b 1 , b 2 , . . . , b n ] a=[a_1,a_2,...,a_n] \\ b=[b_1,b_2,...,b_n] a = [ a 1 ​ , a 2 ​ , . . . , a n ​ ] b = [ b 1 ​ , b 2 ​ , . . . , b n ​ ] 则两个向量的内积： a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n ab=a_1b_1+a_2b_2+...+a

在研究NLP的过程中，遇到了word embedding， 经过一系列学习，发现它最初的原理之一来自奇异值分解。于是对奇异值分解做一个简单的记录。 资料中比较好的资料： https://www.cnblogs.com/endlesscoding/p/10033527.html 原理讲解简单，demo做的十分好！ https://www.cnblogs.com/litaotao-doctor/p/5320521.html 这篇把特征值和奇异值放在一起讲，十分到位。 看完上面的资料后，我觉得自己没必要记录公式原理了，自惭形秽。好，下面开始： SVD: Sigular Value Decomposition 个人认为奇异值和特征值应该可以有相同的理解，这里我们先谈特征值： 特征值的定义为对矩阵A存在特征值 λ，特征向量x，使下式成立： 而对A的所有特征值，我们称为A的谱，记为λ(A)。 那么我们该如何理解这个式子？ 有几个相关的关系可以给我们参考：矩阵A的秩不小于A的非零特征值数；如果矩阵A不满秩，则一定存在0特征值；若矩阵A可对角化，则rankA = A的非零特征值数。 也就是说 矩阵的特征值与矩阵的线性相关性是有关系的。 则我们对特征值的理解可以为： 任意矩阵A对向量x的矩阵乘法，可以理解为对x向量的表换（旋转、平移、缩放），那么Ax可以理解为一次表换，而特征值λ与x的相乘

1、matlab允许向量（和矩阵）合并，且matlab提供了两种合并方式，[a,b]和[a;b]，两者的结果是不一样的。 a=rand(2,3)； b=rand(2,3)； c=[a;b]； d=[a,b]； c的结果是将b整体合并到a 的下边，而d的结果是整体将b合并到a 的右边。 2、创建等差向量组 a=[1:2:11] 注意涉及到向量内部对应数据之间的运算时一定要用点运算符号，（.）例如，求表达式b=a^2时应该写作 b=a.^2 也可以利用linspace来创建等差向量，linspace（a，b，n）创建从a到b长度为n的等差数列。当n省略时，默认是100. 3、向量的点乘和叉乘：点乘调用dot命令，dot（a，b），含义是两向量对应元素相乘并求和； 叉乘cross（a,b）,值得注意的是a,b应该是同维的，且行数或列数中至少有一个是3 4、引用向量元素： a(i)取矩阵a中的第i个元素，a（：）将a的所有元素列出来，a（n:m）列出矩阵a中从第n个到第m个元素。 5、复数的转置 如果矩阵包含有复数元素，那么转置操作会自动计算复数的共轭值，即a’实际上是将a反转并求共轭。 如果希望只是求转置而不用共轭则应当用(a.’)。 6、矩阵中数组相乘，a.*b。作用是ab的对应元素相乘，求得一个与ab同维的矩阵 7、对矩阵的元素进行操作。 a(:,2)取第二列元素 a(2,:)=[

目录 第一章 行列式 1 二阶与三阶行列式 2 全排列及其逆序数 3 n阶行列式的定义 4 对换 5 行列式的性质 6 行列式按行(列)展开 7 克拉默法则 习题 第二章 矩阵及其运算 1 矩阵 2 矩阵的运算 3 逆矩阵 4 矩阵分块法 习题二 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 1 矩阵的初等变换 2 矩阵的秩 3 线性方程组的解 习题三 第四章 向量组的线性相关性 1 向量组及其线性组合 2 向量组的线性相关性 3 向量组的秩^ 4 线性方程组的解的结构 5 向量空间 习题四 第五章 相似矩阵及二次型 1 向量的内积、长度及正交性 2 方阵的特征值与特征向量 3 相似矩阵 4 对称矩阵的对角化 5 二次型及其标准形 6 用配方法化二次型成标准形 7 正定二次型 习题五 第六章 线性空间与线性变换 1 线性空间的定义与性质 2 维数、基与坐标 3 基变换与坐标变换 4 线性变换 5 线性变换的矩阵表示式 习题六 来源： https://www.cnblogs.com/end/archive/2011/11/13/2247563.html