线性代数:矩阵的逆

倖福魔咒の 提交于 2020-03-07 22:17:45

关于矩阵的逆有很多性质和定理,例如,可逆矩阵一定是方阵、满秩矩阵、非奇异矩阵,可逆矩阵的行列式的值不为零等等。在证明一个矩阵是不可逆矩阵时,Strang教授讲了一种几何的思路:

矩阵不可逆的证明

根据可逆矩阵的定义,如果方阵AB=I\mathbf{A} * \mathbf{B}=\mathbf{I},则A\mathbf{A}B\mathbf{B}互称逆矩阵。下面是一个二维不可逆矩阵的例子,有矩阵A=[1224]\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix},如果A\mathbf{A}可逆,则有[1224]B=[1001]\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix} * \mathbf{B}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix},对矩阵[1224]\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix}中的两个列向量作某种线性组合会得到列向量[10]\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}。从图上可以很明显看出来,不管是什么线性组合都无法得到列向量[10]\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},所以,矩阵A\mathbf{A}不是可逆矩阵。
几何表示
Strang教授把大部分抽象的矩阵运算用几何的思维呈现,非常有利于理解矩阵。

求逆

我们可以用高斯消元法(Gauss Elimination)求解方程组的解,在求矩阵的逆时则可以用高斯-若尔当消元法(Gauss-Jordan Elimination)。
方程组可以用Ax=b\mathbf{A} * \mathbf{x} = \mathbf{b}来表示,通过对增广矩阵[A|b]\begin{bmatrix}\mathbf{A}\text{\textbar}\mathbf{b}\end{bmatrix}进行初等变换,然后再用“回代”法即可求得方程组的解。在求矩阵的逆时(AB=I\mathbf{A} * \mathbf{B}=\mathbf{I}),可以把矩阵B\mathbf{B}看成多个列向量(x\mathbf{x})的组合,那么求解矩阵A\mathbf{A}的逆就可以看成是同时求解多个方程组,即通过初等变换将增广矩阵[A|I]\begin{bmatrix}\mathbf{A}\text{\textbar}\mathbf{I}\end{bmatrix}变换成[I|B]\begin{bmatrix}\mathbf{I}\text{\textbar}\mathbf{B}\end{bmatrix},得到的矩阵B\mathbf{B}即为A\mathbf{A}的逆矩阵。

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