关于矩阵的逆有很多性质和定理,例如,可逆矩阵一定是方阵、满秩矩阵、非奇异矩阵,可逆矩阵的行列式的值不为零等等。在证明一个矩阵是不可逆矩阵时,Strang教授讲了一种几何的思路:
矩阵不可逆的证明
根据可逆矩阵的定义,如果方阵A∗B=I,则A和B互称逆矩阵。下面是一个二维不可逆矩阵的例子,有矩阵A=[1224],如果A可逆,则有[1224]∗B=[1001],对矩阵[1224]中的两个列向量作某种线性组合会得到列向量[10]。从图上可以很明显看出来,不管是什么线性组合都无法得到列向量[10],所以,矩阵A不是可逆矩阵。
Strang教授把大部分抽象的矩阵运算用几何的思维呈现,非常有利于理解矩阵。
求逆
我们可以用高斯消元法(Gauss Elimination)求解方程组的解,在求矩阵的逆时则可以用高斯-若尔当消元法(Gauss-Jordan Elimination)。
方程组可以用A∗x=b来表示,通过对增广矩阵[A|b]进行初等变换,然后再用“回代”法即可求得方程组的解。在求矩阵的逆时(A∗B=I),可以把矩阵B看成多个列向量(x)的组合,那么求解矩阵A的逆就可以看成是同时求解多个方程组,即通过初等变换将增广矩阵[A|I]变换成[I|B],得到的矩阵B即为A的逆矩阵。