矩阵乘法

矩阵的基本概念 假设 a i j ∈ R , 其中 i = 1 , 2 , . . . , m ; j = 1 , 2 , . . . , n . 我们定义如下的行列式： A = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ a 11 a 21 ⋮ a m 1 a 12 a 22 ⋮ a m 2 ⋯ ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n ⋮ a m n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 是一个维数为 m × n 的实数矩阵。有时候我们会用如下的表达式来表示一个矩阵： A = [ a i j ] , i = 1 , 2 , . . . , m ; j = 1 , 2 , . . . , n 这表示一个 m 行 n 列的矩阵，下标的第一个数 i 表示行，第二个数 j 表示列。 列向量定义： 一个向量可以看成是只有一列的矩阵，所以，这里讨论的所有向量都默认为列向量。 符号定义： 矩阵用大写的粗体字母表示，比如矩阵 A , B , X , 而向量用小写的粗体字母表示，比如向量 a , b , x . 矩阵的转置： 矩阵 A 的转置为 A T . 矩阵的逆： 如果一个矩阵 A 存在逆矩阵，则该逆矩阵表示为 A − 1 . 矩阵的 determinant: 如果一个矩阵 A 是一个方阵，则它的determinant表示为 | A | 单位矩阵 表示为 I , 零矩阵 或 空矩阵 表示为 0 。 矩阵的迹： 如果一个矩阵是 n ×

参考：https://www.zhihu.com/question/21874816 如何理解矩阵特征值？ 想要理解特征值，首先要理解矩阵相似。什么是矩阵相似呢？从定义角度就是：存在可逆矩阵P满足B＝ 则我们说A和B是相似的。让我们来回顾一下之前得出的重要结论：对于同一个线性空间，可以用两组不同的基 和基 来描述，他们之间的过渡关系是这样的： ，而对应坐标之间的过渡关系是这样的： 。其中P是可逆矩阵，可逆的意义是我们能变换过去也要能变换回来，这一点很重要。 我们知道，对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以用一个矩阵T1来描述这个线性变换。换一组基，就得到另一个不同的矩阵T2（之所以会不同，是因为选定了不同的基，也就是选定了不同的坐标系）。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。具体来说，有一个线性变换 ，我们选择基 来描述，对应矩阵是 ；同样的道理，我们选择基 来描述 ，，对应矩阵是 ；我们知道基 和基 是有联系的，那么他们之间的变换 和 有没有联系呢？ 当然有， 和 就是相似的关系，具体的请看下图： <img src="https://pic1.zhimg.com/6cf43eca0f26cb1752f8fbf2633b699c_b.jpg" data-rawwidth="721" data-rawheight="449" class

基本 一、数据管理 vector：向量 numeric：数值型向量 logical：逻辑型向量 character；字符型向量 list：列表 data.frame：数据框 c：连接为向量或列表 length：求长度 subset：求子集 seq，from:to，sequence：等差序列 rep：重复 NA：缺失值 NULL：空对象 sort，order，unique，rev：排序 unlist：展平列表 attr，attributes：对象属性 mode，typeof：对象存储模式与类型 names：对象的名字属性 二、字符串处理 character：字符型向量 nchar：字符数 substr：取子串 format，formatC：把对象用格式转换为字符串 paste，strsplit：连接或拆分 charmatch，pmatch：字符串匹配 grep，sub，gsub：模式匹配与替换 　 三、复数 complex，Re，Im，Mod，Arg，Conj：复数函数 　 四、因子 factor：因子 codes：因子的编码 levels：因子的各水平的名字 nlevels：因子的水平个数 cut：把数值型对象分区间转换为因子 table：交叉频数表 split：按因子分组 aggregate：计算各数据子集的概括统计量 tapply：对“不规则”数组应用函数 数学 一、计算 +,

数据结构 一、数据管理 vector：向量 numeric：数值型向量 logical：逻辑型向量 character；字符型向量 list：列表 data.frame：数据框 c：连接为向量或列表 length：求长度 subset：求子集 seq，from:to，sequence：等差序列 rep：重复 NA：缺失值 NULL：空对象 sort，order，unique，rev：排序 unlist：展平列表 attr，attributes：对象属性 mode，typeof：对象存储模式与类型 names：对象的名字属性 二、字符串处理 character：字符型向量 nchar：字符数 substr：取子串 format，format C：把对象用格式转换为字符串 paste，strsplit：连接或拆分 charmatch，pmatch：字符串匹配 grep，sub，gsub：模式匹配与替换 三、复数 complex，Re，Im，Mod，Arg，Conj：复数函数 四、因子 factor：因子 codes：因子的编码 levels：因子的各水平的名字 nlevels：因子的水平个数 cut：把数值型对象分区间转换为因子 table：交叉频数表 split：按因子分组 aggregate：计算各数据子集的概括统计量 tapply：对“不规则”数组应用函数 数学相关计算 一、计算

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矩阵是元素布置成二维矩形布局的R对象。 它们包含相同原子类型的元素。尽管我们可以创建只包含字符或只逻辑值的矩阵，但是它们没有多大用处。我们使用的是在数学计算中含有数字元素矩阵。 使用 matrix()函数创建一个矩阵。 语法 R语言中创建矩阵的基本语法是： matrix(data, nrow, ncol, byrow, dimnames) 以下是所使用的参数的说明： data - 是这成为矩阵的数据元素输入向量。 nrow - 是要创建的行数。 ncol - 要被创建的列的数目。 byrow - 是一个合乎逻辑。如果为True，那么输入向量元素在安排的行。 dimname - 是分配给行和列名称。 示例 创建矩阵取向量的数量作为输入 # Elements are arranged sequentially by row. M <- matrix(c(3:14), nrow=4, byrow=TRUE) print(M) # Elements are arranged sequentially by column. N <- matrix(c(3:14), nrow=4, byrow=FALSE) print(N) # Define the column and row names. rownames = c("row1", "row2", "row3", "row4")

PS：以下部分定理没有证明，如果有读者想要了解定理的具体证明，请自行百度，本文限于篇幅 (只是因为笔者自己不会) ，对部分定理的证明不作讨论。 本文讲啥 本文主要讲的是ACM中的数论基础内容 （以后可能会再写一篇ACM的数论进阶内容） ，侧重应用，证明都是瞎证的，严谨的证明请观众姥爷自行百度 线性筛筛素数 埃氏筛 埃氏筛用每个素数来筛掉它的倍数，剩下的就是素数，时间复杂度是 \(O(nloglogn)\) 为啥能正确地筛？ 每一个合数，都可以被质因数分解，且根据 唯一分解定理 ，这个分解是唯一的，所以只要拿每个素数把它的倍数都筛掉，就能所有合数筛掉 板子 bool check[maxn]; std::vector<ll> prime; for (ll i = 2; i <= n; ++i) if (!check[i]) { prime.push_back(i); for (ll j = i * i; j <= n; j += i) check[j] = 1; } 为啥 \(j\) 从 \(i^2\) 开始？ 上面的板子中第二层循环就是用素数筛掉它的倍数的过程， \(j\) 从 \(2i\) 开始循环，那为什么板子里是从 \(i^2\) 开始呢？实际上，这是一个小小的优化，因为在用素数 \(i\) 来筛它的倍数时，区间 \([2, i-1]\) 中的所有素数已经将它的倍数都筛过了

一道上古时代的题 这道题看上去很简单，一个矩阵乘法的板子题 但是 数据范围 N ≤ 6000 N\leq6000 N ≤ 6 0 0 0 ，那么时间复杂度 O ( N 3 ) O(N^3) O ( N 3 ) ，空间复杂度 O ( N 2 ) O(N^2) O ( N 2 ) 都炸了，所以我们要进一步考虑 我们发现 他只询问一个位置的数 所以 我们就可以只存答案那一行，而且，答案只和那一行（或者那一列有关） 切了！said gjm(sto gjm) 别急，这道题读入还极其的恶心，他是一个一个点给出的，考验编程技巧的时刻到了 我们可以 for ( ; ; ) { fgets ( input , 10000 , stdin ) ; if ( ! isdigit ( input [ 0 ] ) ) break ; sscanf ( input , "%d%d%d" , & u , & v , & val ) ; if ( u == x ) Am [ v ] = val ; } for ( ; ; ) { fgets ( input , 10000 , stdin ) ; if ( ! isdigit ( input [ 0 ] ) ) break ; sscanf ( input , "%d%d%d" , & u , & v , & val ) ; Bm [ v ] + = Am [ u

问题描述 矩阵乘法 给定一个N阶矩阵A，输出A的M次幂（M是非负整数） 　　例如： 　　A = 　　1 2 　　3 4 　　A的2次幂 　　7 10 　　15 22 输入格式 　　第一行是一个正整数N、M（1<=N<=30, 0<=M<=5），表示矩阵A的阶数和要求的幂数 　　接下来N行，每行N个绝对值不超过10的非负整数，描述矩阵A的值 输出格式 　　输出共N行，每行N个整数，表示A的M次幂所对应的矩阵。相邻的数之间用一个空格隔开 样例输入 2 2 1 2 3 4 样例输出 7 10 15 22 直接代码呈上：C语言 //注释里面有解释 # include <stdio.h> # include <string.h> # define N 100 int A [ N ] [ N ] , t [ N ] [ N ] , r [ N ] [ N ] ; int main ( ) { int n , m , i , j , k ; scanf ( "%d%d" , & n , & m ) ; //输入矩阵的阶数和幂次数 for ( i = 0 ; i < n ; i ++ ) for ( j = 0 ; j < n ; j ++ ) scanf ( "%d" , & A [ i ] [ j ] ) ; //输入矩阵 for ( i = 0 ; i < n ; i ++ ) r [ i

在一些递推n很大的时候,很可能会超时,这样矩阵快速幂就派上用场了. 下面看一个非常经典的例题,斐波那契数列 已知f[1]=1,f[2]=1;F[n]=f[n-1]+f[n-2],给定n,求f[n]; 一看到这到题很多人就会说这不是到入门题吗?;直接上代码 #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<iostream> using namespace std; int main() { long long n,a,b; scanf("%lld",&n); a=1,b=1; for(int i=3; i<=n; i++) b=a+b,a=b-a; printf("%lld",b); return 0; } 但是这样很明显是初学者的想的.如果n大一点你呢?这样子这个算法就有点显得太垃圾了.所以我们应该另一种更优的算法.那么这个算法是什么呢?这就要用的了矩阵快速幂了.那么什么是矩阵快速幂呢?在介绍快速幂之前,有几个前置技能 学过oi 会打程序 快速幂 矩阵乘法 前面两个默认你已经掌握了,如果没有,请按Alt + F4 即可; 首先讲一讲快速幂: 什么是快速幂呢?快速幂顾名思义就是快速求幂.其时间复杂度为 O(log₂N)， 与朴素的O(N)相比效率有了极大的提高. 如果不想学可以用朴素算法,但是超时就不管了 快速幂算法的详解: 传送门