代数

1、线性方程组概述 线性方程组： 包含未知数x1，x2，x3....xn的线性方程 　　其中b与系数a1，a2，a3...an是实数或复数，通常是已知的；下标n可以为任意数；线程方程组为由一个或几个包含相同变量x1，x2，x3....xn的线性方程组组成； 线性方程组的解分为相容、与不相容两种情况； 　　 相容： 1、唯一解；2、无穷解 　　 不相容： 无解 线性方程组矩阵表示 　　可以使用矩阵来表示线性方程组： 　　 系数矩阵： 只包含方程组系数的矩阵 　　 增广矩阵： 在系数矩阵的基础上加上线性方程组右边的常数组成的矩阵 2、解线性方程组 　　通过使用矩阵表示线性方程组，对矩阵使用行初等变换，把矩阵行化简为：行阶梯形矩阵或简化行阶梯形矩阵； 初等行变换： 　　1、倍加变换——把某行换成它本身与另一行的倍数和 　　2、对换变换——两行对换 　　3、倍乘变换——某一行的所有元素乘以同一个非零数 行阶梯形矩阵： 　　1、每一非零行在每一零行之上 　　2、某一行的最左边非零元素所在列在上面一行非零元素的右边 　　3、某一最左边非零元素所在列下方都是零 　　简化阶梯形为在行阶梯形矩阵的基础上进一步简化： 　　1、每一非零行最左边非零元素为1 　　2、每一最左边非零元素1是该元素所在列的唯一非零元素 同一个矩阵使用不同的方法化简，存在不同的行阶梯形，但简化阶梯形只存在一个；

最近把向量乘法运算搞混了，故而温习一下。 内容主要来自以下两个文档 向量的乘法运算,长于举例丰富,形象生动 向量的乘法,长于公式性质列举完整 0. 综述 常用的, a · b =|| a |||| b ||cos θ, 这个是向量的内积，又叫数量积，又叫点积。 a x b = || a |||| b ||sin θ，这个是向量的外积，又叫向量积，又叫叉积。 [ a b c ] = ( a x b )· c , 这个是向量的混合积。 1. 内积 1.1 定义 1.2 向量内积性质 注意，向量内积不满足结合律，即一般情况下 (a·b)·c != a·(b·c), 因为向量的内积结果是一个标量 。 1.3 向量内积的物理意义 向量内积的物理意义是，力通过位移做功。 1.4 向量内积的用途 1.4.1 求两个非零向量的夹角 1.4.2 判断两个非零向量是否垂直 简单的对应坐标相乘再求和，结果为0就垂直，否则就不垂直。 2. 外积 2.1 向量外积的定义 向量外积的结果是垂直于原向量所定义平面的向量。 通过坐标进行外积的直接计算比较复杂，写成行列式的形式，再展开，方便记忆。 2.2 向量外积的性质 2.3 向量外积的几何意义 再除以2的话，就是以 a，b 为边的三角形的面积。 2.4 向量外积的用途 2.4.1 求与三角形面积相关的问题 3. 混合积 3.1 向量混合积的定义 三个向量

关系代数是一种 过程化查询语言 。它包括一个运算的集合，这些运算以一个或两个关系为输入，产生一个新的关系作为结果。关系代数的 基本运算 有： 名称 英文 符号 选择 select σ 投影 project Π 并 union ∪ 集合差 set-difference - 笛卡儿积 Cartesian-product × 更名 rename ρ 除了上面的6种基本运算之外，还有一些 其他运算 ，其他运算是可以用基本运算来表示的。但是在实际中，我们为了方便使用，单独的建立了一种运算来表示，其他运算有： 名称 英文 符号 集合交 intersection ∩ 自然连接 natural join ⋈ 赋值 assignment ← 选择运算 英文： select 字符： σ 读音： sigma 选择运算在关系中选择出能够满足给定谓词的元组。将那些不满足谓词的元组剔除，组成一个新的关系。在σ后面小写谓词代表查询条件，括号中写要操作的关系。可以使用=，≠，＞，＜，≤，≥来进行谓词的判断。另外，也可以使用and(∧)or(∨)not(﹁)将多个谓词组合成一个较大的谓词。 示例: σ age>18 (User) 在User关系中查找出年龄大于18的所有元组并返回这些元组组成的关系 σ age>20∧salary>10000 (User)

【推荐】2019 Java 开发者跳槽指南.pdf(吐血整理) >>> 学 GIS 空间数据库的时候，拓扑方面内容笔记 拓扑的定义 拓扑是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的一个学科。 它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小 。 “拓扑”就是把实体抽象成与其大小、形状无关的“点”，而把连接实体的线路抽象成“线”，进而以图的形式来表示这些点与线之间关系的方法，其目的在于研究这些点、线之间的相连关系。表示点和线之间关系的图被称为拓扑结构图。拓扑结构与几何结构属于两个不同的数学概念。在几何结构中， 我们要考察的是点、线、面之间的位置关系，或者说几何结构强调的是点与线所构成的形状及大小。如梯形、正方形、平行四边形及圆都属于不同的几何结构，但从拓扑结构的角度去看，由于点、线间的连接关系相同，从而具有相同的拓扑结构即环型结构。也就是说，不同的几何结构可能具有相同的拓扑结构。 如三角形变成四边形、原型、环形，角度、长度、面积、形状等等都很可能发生变化。此时，不必考虑它们的形状和大小（如长度、面积、形状等等这些），只考虑物体间的位置、结构关系，只专注于在连续改变形状后还能保持不变的一些性质(如他们都是一个圈)，这就是拓扑学。 拓扑学历史 拓扑英文名是Topology，直译是地志学，最早指研究地形、地貌相类似的有关学科。 几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支

目录 1. 基本概念和符号 2. 矩阵乘法 3. 运算和属性 4. 矩阵微分 1. 基本概念和符号 线性代数提供了一种紧凑地表示和操作线性方程组的方法。例如，以下方程组： 这是两个方程和两个变量，正如你从高中代数中所知，你可以找到 和 的唯一解（除非方程以某种方式退化，例如，如果第二个方程只是第一个的倍数，但在上面的情况下，实际上只有一个唯一解）。在矩阵表示法中，我们可以更紧凑地表达： 我们可以看到，这种形式的线性方程有许多优点（比如明显地节省空间）. 基本符号 我们使用以下符号： 在许多情况下，将矩阵视为列向量或行向量的集合非常重要且方便。 通常，在向量而不是标量上操作在数学上（和概念上）更清晰。只要明确定义了符号，用于矩阵的列或行的表示方式并没有通用约定。 2. 矩阵乘法 向量-向量乘法 矩阵-向量乘法 矩阵-矩阵乘法 有了这些知识，我们现在可以看看四种不同的（形式不同，但结果是相同的）矩阵-矩阵乘法：也就是本节开头所定义的 的乘法。 矩阵C的第i列可以由矩阵A和矩阵B的第i列通过矩阵-向量乘积运算得到： 同理，矩阵C的第i行可以由矩阵A的第i行和矩阵B通过矩阵-向量乘积运算得到： 运算律： 3. 运算和属性 单位矩阵和对角矩阵 转置 对称矩阵 矩阵的迹 范数 线性相关性和秩 方阵的逆 请注意，并非所有矩阵都具有逆。例如，非方形矩阵根据没有逆的定义。然而，对于一些方形矩阵A

文章目录 2.利用imlincomb函数将图像的灰度值放大1.5倍 3.利用imlincomb函数计算两幅图像的平均值。 4.图像的加法运算 5.利用imnoise函数对噪声进行相加运算 6.图像的减法运算 7.利用两种函数去图像的相减值和绝对值 8.降低R图像的亮度 9.图像的乘法运算 10.图像的除法运算 图像的代数运算在图像处理中有着广泛的应用，它除了可以实现自身所需的算数操作，还能为许多复杂的图像处理提供准备。例如，图像减法就可以用来检测同一场景或物体生成的两幅或多副图像的误差。可以使用MATLAB基本算数符（﹢、﹣、·、/）来执行图像的算数操作，但在此之前必须将图像转换为适合进行基本操作的双精度类型。在MATLAB中，图像运算函数无需再进行数据类型之间的转换，这些函数能够接受uint8和uint16的数据，并且返回相同格式的图像结果。 下表是一个常见的MATLAB图像运算函数集合。 常见的MATLAB图像运算函数 函数名 功能描述 Imabsdiff 用于计算两幅图像的绝对差值 imcomplement 用于补足一幅图像 imlincomb 用于计算两幅图像的线性组合 图像的代数运算函数使用以下截取规则使运算结果符合数据范围的要求：超出数据范围的整形数据将被截取为数据范围的极值，分数结果将被四舍五入。无论进行哪一种代数运算都要保证两幅输入图像的大小相等，且类型相同。 ##

目录 1.使用求补运算对各类图像进行处理 2.利用imlincomb函数将图像的灰度值放大1.5倍 3.利用imlincomb函数计算两幅图像的平均值。 4.图像的加法运算 5.利用imnoise函数对噪声进行相加运算 6.图像的减法运算 7.利用两种函数去图像的相减值和绝对值 8.降低R图像的亮度 9.图像的乘法运算 10.图像的除法运算 @ 图像的代数运算在图像处理中有着广泛的应用，它除了可以实现自身所需的算数操作，还能为许多复杂的图像处理提供准备。例如，图像减法就可以用来检测同一场景或物体生成的两幅或多副图像的误差。可以使用MATLAB基本算数符（﹢、﹣、·、/）来执行图像的算数操作，但在此之前必须将图像转换为适合进行基本操作的双精度类型。在MATLAB中，图像运算函数无需再进行数据类型之间的转换，这些函数能够接受uint8和uint16的数据，并且返回相同格式的图像结果。 下表是一个常见的MATLAB图像运算函数集合。 常见的MATLAB图像运算函数 函数名 功能描述 Imabsdiff 用于计算两幅图像的绝对差值 imcomplement 用于补足一幅图像 imlincomb 用于计算两幅图像的线性组合 图像的代数运算函数使用以下截取规则使运算结果符合数据范围的要求：超出数据范围的整形数据将被截取为数据范围的极值，分数结果将被四舍五入

线性代数可以说是在机器学习最最重要的数学工具，也是最最重要的思考方式。学懂了线性代数，机器学习就会变得十分清晰明了。所以明白线性代数的本质是很有必要的，你会明白所有的操作是为了什么，所有变换是怎么进行的，这对我们学习机器学习是很有帮助的。 线性代数的本质 （视频） 该系列视频我觉得非常值得推荐，它阐述了大学老师根本不会跟你讲的一些线性代数的理解，让你知道究竟行列式在算什么（很多人学完了只知道行列式怎么算，却不知道行列式有什么意义），还有矩阵乘法为什么是这样的法则，矩阵的秩到底是什么…… 看完之后，我相信你对线性代数的理解又上了一个层次。 本系列随笔就是学习后的感悟。 来源： https://www.cnblogs.com/cloud--/p/12004680.html

SVD 分解是线性代数的一大亮点。 1. SVD 分解 \(A\) 是任意的 \(m×n\) 矩阵，它的秩为 \(r\) ，我们要对其进行对角化，但不是通过 \(S^{-1}A S\) 。 \(S\) 中的特征向量有三个大问题：它们通常不是正交的；并不总是有足够的特征向量； \(Ax=\lambda x\) 需要 \(A\) 是一个方阵。 \(A\) 的奇异向量很好地解决了上述所有问题。 代价是我们需要两组奇异向量，一组是 \(\boldsymbol{u}\) ， 一组是 \(\boldsymbol{v}\) 。 \(\boldsymbol{u}\) 是 \(AA^T\) 的特征向量， \(\boldsymbol{v}\) 是 \(A^TA\) 的特征向量，因为这两个矩阵都是对称矩阵，我们可以选出一组标准正交的特征向量。即： \[AA^T=U\Sigma^2U^T \quad A^TA =V\Sigma^2V^T\] 证明： 让我们从 \(A^TAv_i=\sigma_i^2v_i\) 开始，两边同乘以 \(v_i^T\) ，有： \[v_i^TA^TAv_i=\sigma_i^2v_i^Tv_i=\sigma_i^2 \to ||Av_i||=\sigma_i\] 这说明向量 \(Av_i\) 的长度为 \(\sigma_i\) 。然后两边同乘以 \(A\) ，有： \[AA^T

当 \(A\) 有足够的特征向量的时候，我们有 \(S^{-1}AS=\Lambda\) 。在这部分， \(S\) 仍然是最好的选择，但现在我们允许任意可逆矩阵 \(M\) ，矩阵 \(A\) 和 \(M^{-1}AM\) 称为 相似矩阵 ，并且不管选择哪个 \(M\) ，特征值都保持不变。 1. 相似矩阵 假设 \(M\) 是任意的可逆矩阵，那么 \(B = M^{-1}AM\) 相似于矩阵 \(A\) 。 \[B = M^{-1}AM \to A = MBM^{-1}\] 也就是说如果 \(B\) 相似于 \(A\) ，那么 \(A\) 也相似于 \(B\) 。如果 \(A\) 可以对角化，那么 \(A\) 相似于 \(\Lambda\) ，它们肯定具有相同的特征值。 相似的矩阵 \(A\) 和 \(M^{-1}AM\) 具有相同的特征值，如果 \(x\) 是 \(A\) 的一个特征向量，那么 \(M^{-1}x\) 是 \(B = M^{-1}AM\) 的特征向量。 \[Ax=\lambda x \to MBM^{-1}x=\lambda x \to B(M^{-1}x)=\lambda (M^{-1}x)\] 所有具有特征值 1 和 0 的 2×2 矩阵都是相似的，特征向量会随着 \(M\) 而改变，但特征值不变。上面的例子中特征值是不重复的，这种情况很好办