代数

这部分我们关注有正特征值的对称矩阵。如果对称性使得一个矩阵重要，那么所有特征值大于零这个额外属性则让这个矩阵真正特殊。但我们这里的特殊并不是稀少，事实上在各种应用中具有正特征值的对称矩阵非常常见，它们被称作 正定矩阵 。 我们可以通过检查特征值是否大于零来识别正定矩阵，但计算特征值是一项工作，当我们真正需要它们的时候我们可以进行计算，而如果我们仅仅想知道它们是否是正的，我们有更快的方式。 1. 正定矩阵的判断 首先，由于矩阵是对称的，所有的特征值自然都是实数。让我们以一个 2×2 的矩阵开始， \[A = \begin{bmatrix} a&b \\b&c\end{bmatrix}\] A 的特征值是正的当且仅当 \(a > 0\) 并且 \(ac-b^2>0\) 。 如果 2×2 矩阵的特征值 \(\lambda_1>0\) ， \(\lambda_2>0\) ，那么它们的乘积等于行列式， \(\lambda_1\lambda_2=|A|=ac-b^2>0\) ，它们的和等于矩阵的迹， \(\lambda_1+\lambda_2=a+c>0\) ，所以 \(a\) 和 \(c\) 都必须是正的。 A 的特征值是正的当且仅当主元是正的。 这连接了线性代数的两大部分， 正的特征值意味着正的主元，反之亦然 。而且，主元往往比特征值计算得更快。 基于能量的定义 \[Ax=\lambda

代数结构(Mathematical Structures) 定义:具有在对象上定义操作的对象集合及其附带属性构成代数结构或代数系统。(Note:这里我们只处理离散的代数结构) 如:[sets, ∩, ∪, -]； [ 3 × 3的矩阵, +, *, T]等 二元运算(Binary operation) 定义:对两个对象进行操作的运算称为二元运算 封闭律(Closure) \(设集合S有二元运算 * ,若对S中的任意两个元素a_1、a_2,都有:a_1 * a_2 ∈ S,则称运算 * 对集合S封闭\) 交换律(Commutative) \(交换律也称为阿贝尔律(Abel律),设有代数(S, *)，若对任意a_1,a_2∈S,都符合等式:a_1 * a_2 = a_2 * a_1, 那么称代数(S, *)运算符合交换律\) \(容易得到:若(S, *)运算符合交换律，那么对于运算序列a_1*a_2*...*a_n，设θ(12...n)为任意重排列，那么有:\) \(a_{θ(1)}*a_{θ(2)}*...*a_{θ(n)} = a_1*a_2*...*a_n\) 结合律(Associative) \(结合律也称为卡特兰律(Catalan律)，设有代数(S, *)对任意a_1,a_2,a_3∈S，都符合等式:(a_1*a_2)*a_3=a_1*(a_2*a_3)\) , 则称代数(S

代数结构(Mathematical Structures) 定义:具有在对象上定义操作的对象集合及其附带属性构成代数结构或代数系统。(Note:这里我们只处理离散的代数结构) 如:[sets, ∩, ∪, -]； [ 3 × 3的矩阵, +, *, T]等 二元运算(Binary operation) 定义:对两个对象进行操作的运算称为二元运算 封闭性(Closure) \(设集合S有二元运算 * ,若对S中的任意两个元素a_1、a_2,都有:a_1 * a_2 ∈ S,则称运算 * 对集合S封闭\) 来源： https://www.cnblogs.com/SpicyArticle/p/11831524.html

1、行列式的基本性质 （1）行列式行列互换，其值不变 （2）互换行列式的两行，行列式变号；即正变为负，负变为正 （3）如果行列式中某行元素有公因子 C ，则公因子可以提到行列式外 （4）如果行列式中某行元素是两个数之和，则可拆成两个行列式之和 2、行列式的其它常用性质 （1） 如果行列式中有两行成比例或相等，则行列式的值为 0 分析： 　　 根据行列式基本属性的第 2、3 条：任意两行互换位置，行列式符号变换，某行中的公因子可提到行列式外；若两行相等或成比例，则公因子提到行列式外之后，将这两行互换位置，此时行列式的符号应互换，但明显两行变换位置之后行列式的值本身并没有改变，因此行列式的值只能为 0 才符合性质 （2） 行列式中某行元素乘以数K然后加到另一行相应的元素，其值不变 分析： 　　根据行列式基本性质第4条：行列式某行元素是两个数之和时，可将行列式拆成两个行列式之和；因此可将上式中等号右边的行列式拆成原行列式和另外一个行列式相加，根据行列式其它性质的第一条：行列式两行相等或成比例，则行列式的值为0；因此另外的这个行列式的值为0，该性质成立 来源： https://www.cnblogs.com/xmcwm/p/11792176.html

为什么要深入数学的世界 作为计算机的学生，我没有任何企图要成为一个数学家。我学习数学的目的，是要 想爬上巨人的肩膀，希望站在更高的高度，能把我自己研究的东西看得更深广一些。说起来，我在刚来这个学校的时候，并没有预料到我将会有一个深入数学的旅 程。我的导师最初希望我去做的题目，是对appearance和motion建立一个unified的model。这个题目在当今Computer Vision中百花齐放的世界中并没有任何特别的地方。事实上，使用各种Graphical Model把各种东西联合在一起framework，在近年的论文中并不少见。 我不否认现在广泛流行的Graphical Model是对复杂现象建模的有力工具，但是，我认为它不是panacea，并不能取代对于所研究的问题的深入的钻研。如果统计学习包治百病，那么很多 “下游”的学科也就没有存在的必要了。事实上，开始的时候，我也是和Vision中很多人一样，想着去做一个Graphical Model——我的导师指出，这样的做法只是重复一些标准的流程，并没有很大的价值。经过很长时间的反复，另外一个路径慢慢被确立下来——我们相信，一个 图像是通过大量“原子”的某种空间分布构成的，原子群的运动形成了动态的可视过程。微观意义下的单个原子运动，和宏观意义下的整体分布的变换存在着深刻的 联系——这需要我们去发掘。 在深入探索这个题目的过程中

本科生 1）公共与基础课程：44-50 学分 大学英语系列课程（2-8学分），政治系列课程、军事理论以及军训等课程（18学分）、计算机系列课程（6学分），体育系列课程（4学分），数学分析(14学分) 2 ）核心课程： 29 学分 高等代数Ⅰ(5学分)，高等代数Ⅱ（4学分），几何学（5学分），抽象代数（3学分），复变函数(3学分)，常微分方程（3学分），数学模型（3学分），概率论（3分） 3 ） 数学系 限选课程 32 学分 a) 21学分选自下面9门课: 数论基础(3学分)， 群与表示(3学分)， 基础代数几何(3学分)， 拓扑学(3学分)， 微分几何(3学分)， 微分流形(3学分)， 实变函数(3学分)，泛函分析(3学分)， 偏微分方程(3学分)。 b) 理学部的非数学学院课程8学分(其中4学分物理). c) 毕业论文3学分 4) 数学系 通识与自主选修课程：27 学分 A．理学部课程：12学分，可以选自理学部中的任何院系， 包括数学学院。 B. 通选课：12学分，其中社会科学类至少2学分；哲学与心理学类至少2学分；历史学类至少2学分；语言学、文学、艺术与美育类至少4学分，其中大学国文必选，另一门是艺术与教育类课程；数学与自然科学类和社会可持续发展类至少2学分。 C. 在全校课程中选择其余3学分。 研究生 中级课程 分析学与偏微分方程中级课程 《实分析》（包含初步的几何测度论知识

一、 矩阵 矩阵元素 向量 矩阵向量相乘与数组运算 两个矩阵相乘 矩阵乘法方法： 特殊的矩阵运算 1、 矩阵的逆 2、 转置矩阵 文章来源: 线性代数基础

（1）图像配准：相对配准和绝对配准（先定义一个控制网格） 基于灰度信息（互相关法（模板匹配），序贯相似度检测匹配法，交互信息），基于变换域，基于特征 （2）图像中的其次坐标：黎曼几何 向量 v 以及基 oabc ， 可以找到一组坐标 （v1，v2，v3） ，使得 v a v3 （ 1 ） 而对于一个 点 p ，则可以找到一组坐标（ p1，p2，p3 ），使得 p o b （ 2 ）， 从上面对 向量 和 点 的表达，我们可以看出为了在坐标系中表示一个 点 （如 p ），我们把点的位置看作是对这个基的原点 o 所进行的一个位移，即一个向量- p - o （有的书中把这样的向量叫做 位置向量 - 起始于坐标原点的特殊向量），我们在表达这个向量的同时用等价的方式表达出了点 p： o b c（3） （1）（3） 的英文坐标系下表达一个 向量 状语从句： 点 的不同表达方式。这里可以看出，虽然都是用代数分量的形式表达向量和点 ，但表达一个点比一个向量需要额外的信息 。如果我写出一个代数分量表达 （ 1，4，7 ） ，谁知道它是个向量还是个点！ 我们现在把（ 1 ）（ 3 ）写成矩阵的形式： v =（v1 v2 v3 0）X（abco） p=（p1 p2 p3 1）X（abco）， 这里 （a，b，c，o） 是坐标基矩阵，右边的列向量分别是向量 v 和点 p 在基下的坐标。 这样

1882年林德曼在埃米尔特所证：$e$为超越数的基础上，借助于欧拉公式$e^{i\pi}+1=0$证明了$\pi$的超越性。证明了$\pi$的超越性自然就证明了圆周率必定是无理数，而其另一个证明方法可以参考：http://www.jjmath.com/archives/489 定理：(林德曼 Lindemann) $\pi$是超越数 证明：由于$i$是代数数，又由于两代数数之积及商仍为代数数，可知$\pi$与$i\pi$或均为代数数，或均为非代数数。所以只需证明$i\pi$为非代数数即可。 假设$i\pi$满足$$f(x)=ax^m+a_1x^{m-1}+\cdots=0,\quad a>0$$ 则$ai\pi$满足$$a^{m-1}f(\frac{x}{a})=x^m+a_1x^{m-1}+\cdots=0$$ 又因为$i\pi$与$ai\pi$同为代数数或非代数数。现证明$ai\pi$满足某一代数方程$P(y)=0$是不可能的。此处$$P(y)=y^m+K_{m-1}y^{m-1}+\cdots+K_0=0$$ 命$$P(y)=\prod_{h=1}^m(y-a\alpha_h)$$ 因为$1+e^{i\pi}=0$,故只需证明$$R=\prod_{h=1}^m(e^0-e^{\alpha_h})\neq 0$$ 而$$R=C+e^{\beta_1}+e^{\beta_2}+

from: https://www.cnblogs.com/marsggbo/p/10144060.html 线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流。长期以来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿Q见到了假洋鬼子