代数

线性相关和生成子空间 　　如果逆矩阵 A -1 存在，那么式子 A x = b 肯定对于每一个向量 b 恰好存在一个解。但是，对于方程组而言，对于向量 b 的某些值，有可能无解或者存在无限多解。存在多于一个解但是少于无限多个解的情况是不可能发生的；因为如果 x 和 y都是某方程组的解，则 z = αx + (1-α)y， (α取任意实数)也是该方程组的解。 　　形式上，一组向量的线性组合，是指每个向量乘以对应标量系数之后的和，即：∑ i x i v (i) ，一组向量的生成子空间(span)是原始向量线性组合后所能抵达的点的集合。 在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为 线性无关或线性独立 (linearly independent)，反之称为 线性相关 (linearly dependent)。 　　 例如在三维欧几里得空间R的三个矢量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关；但(2, 0, 1)，(1, 0, 1)和(3, 1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。 　　确定 A x = b 是否有解，相当于确定向量 b 是否在 A 列向量的生成子空间中。这个特殊的生成子空间被称为 A 的列空间 （column space）或者 A的值域（range）。 范数 　　范数（norm）函数可以衡量向量大小

MIT线代教程 http://open.163.com/movie/2010/11/7/3/M6V0BQC4M_M6V29E773.html 《转载》 《线性代数》复习提纲 第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识 一、行列式 1．行列式的定义 用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。 　（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； 　（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法 　定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列

9.1 二元运算及其性质 检验是否是二元运算的方法： <1>S中任意两个元素都可以进行这种运算，且运算结果是唯一的。 <2>S中任意两个元素运算的结果都属于S 由缓至急，循循而进。先来看一元运算实例。 二元运算的算律： 幂等律定义如下： 实例： -------------------------------------重点来了--------------------------------------------- 实例： 唯一性定理： 零元亦是如此。 逆元亦然。 来源： CSDN 作者： 梦里一声何处鸿 链接： https://blog.csdn.net/Deam_swan_goose/article/details/103809548

山东大学软件学院离散数学（2） 题目组成：4x10分+4x15分 计数占50分，代数占50分 包含两道英文题占30分，都是计数部分的题 一. 计数 加法，乘法，减法，除法 鸽巢原理（广义） 排列组合（把物体往盒子里放） 二项式系数（简单了解） 递推关系（推导，求解）只考齐次的微分方程 容斥原理及其应用（不用这个知识解也可以） 二. 代数 代数系统的一般概念（可以简单了解直积的概念），包括：运算律、单位元、逆元、幂等元；子代数系统；同态（同构） 群，可交换群（阿贝尔群），半群，幺半群（定义，判定，性质都要认真看）；元素周期，生成子群的概念和性质 环，整环，除环，域的基本概念，判定，性质 不考格 总结：书中的例题，证明，代数小册子的课后题都要认真看，这些都掌握，已有50分，而且掌握了这些，那么总成绩至少80+。再说一遍，书中的题非常重要！！！ 来源： CSDN 作者： ALTLI 链接： https://blog.csdn.net/weixin_43360801/article/details/103744658

线性代数-MIT-汇总版 1. 线性代数-MIT-第1讲-方程的几何解释 2. 线性代数-MIT-第2讲-矩阵消元 3. 线性代数-MIT-第3讲-矩阵乘法和逆矩阵 4. 线性代数-MIT-第4讲-LU分解 5. 线性代数-MIT-第5讲-转置置换和向量空间 6. 线性代数-MIT-第6讲-列空间和零空间 7. 线性代数-MIT-第7讲-求解Ax=0:主变量、特解 8. 线性代数-MIT-第8讲-求解Ax=b:可解性和解得结构 9. 线性代数-MIT-第9讲-线性相关性、基、维数 来源： CSDN 作者： 安心爱吃糖 链接： https://blog.csdn.net/weixin_32574873/article/details/103730569

线性代数-MIT-第4讲 目录 线性代数-MIT-第4讲 1.矩阵AB的逆 2.消元矩阵的乘积 3.转置与置换 1.矩阵AB的逆 2.消元矩阵的乘积 最基础的矩阵分解A=LU: A通过消元矩阵得到上三角阵U,L联系这A和U; E21 A = U A=LU 左乘初等矩阵，将矩阵转化为上三角阵U; L是下三角阵，对角线为1，U是上三角阵，对角线为主元； 举例A为3x3，则消元成为上三角阵U（假设没有行交换）： 此处为何转化成右侧的逆？ 解释（以3x3举例）： (E32为单位阵，E是A的左乘，(3，3)位置是10，不友好) (E32为单位阵，L是U的左乘，L是E的逆，(3，3)位置0，更友好) 因此，A=LU，如果没有行交换，则消元乘数可以直接写入L中； 消元的过程，需要多少次操作？例如nxn的矩阵A: 例如，100x100的矩阵； 第一步，第一行不变，使除第一行外第一列变为0，该过程除第一行其余均变化， 即是100x99,近似于100x100； 第二部，第一二行不变，使除第一二行外第二列变0，该过程除第一二行和和第一列变化， 即是99x98,近似于99x99 因此总的次数为，100x100+99x99+98x98...2x2+1x1,根据微积分可得 而右侧向量b,则需要1+2+3+...+n-1+n-2= 次； 3.转置与置换 下面讨论主元位置存在0的情况，即需要进行行交换(置换矩阵)

前言 AI（人工智能）现在火的一塌糊涂，其实在AI领域，机器学习已广泛应用在搜索引擎、自然语言处理、计算机视觉、生物特征识别、医学诊断、证券市场分析等领域，并且机器学习已经是各大互联网公司的基础设施，不再是一个新鲜的技术。但当你真的开始学习机器学习的时候，就会发现上手门槛其实还挺高的，这主要是因为机器学习是一门多领域交叉学科，涉及概率论、统计学、逼近论、凸分析、算法复杂度理论等多门学科。 本文主要介绍一下机器学习涉及到的一些最常用的的数学知识，方便大家在学习机器学习的时候，能扫除一些基础障碍。 标量（scalar） 标量是一个单独的数，一般用普通小写字母或希腊字母表示，如 等。 向量（vector）相关 向量的定义 把数排成一列就是向量，比如： 向量一般用粗体小写字母或粗体希腊字母表示，如 等（有时候也会用箭头来标识，如 ），其元素记作 。 向量默认为列向量，行向量需要用列向量的转置表示，例如 等。 物理专业视角：向量是空间中的箭头，决定一个向量的是它的长度和方向 计算机专业视角：向量是有序的数字列表 数学专业视角：向量可以是任何东西，只要保证两个向量相加以及数字与向量相乘是有意义的即可 运算规则 向量的加法和数量乘法定义： 加法 相同维数的向量之间的加法为： 数量乘法 任意的常数 和向量的乘法为： 在给定数 及向量 的情况下 张成空间 张成空间是向量 和

1、概念 线性(linear)指量(变量)与量(变量)之间按比例、成直线关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数；而非线性(non-linear)是指不成比例、没有直线关系，一阶导数不是常数的函数。 线性代数中的基本量指的是向量，基本关系是严格的线性关系；也就是可以简单的将线性代数理解为向量与向量之间的线性关系的映射。 2、向量(有大小和方向) 向量的运算： 正交向量 3、矩阵的各种类型 左行右列，行*列的意思 矩阵相等： 方阵： 负矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵 对角矩阵： 单位矩阵： 对称矩阵： 4、矩阵的各种运算 矩阵的加减： 矩阵的乘法： 数乘：将数λ与矩阵A相乘，就是将数λ与矩阵A中的每一个元素相乘，记作λA；结果C=λA 矩阵与向量的乘法 另一种是分别相乘再相加 矩阵的转置--行和列互换 方阵的行列式 5、行列式计算方法 去掉第一行第一列剩余的称为余子式 行列式计算降维计算更方便 a(i,1)的乘以余子式A(j,1)，若i！=j代表乘以其他行列的余子式，该乘积为零 行列式的性质： 6、伴随矩阵和可逆矩阵 伴随矩阵 7、矩阵的运算规律 8、矩阵的初等变换 矩阵的初等变换 9、矩阵的秩 10、向量组 11、线性方程组的求解(齐次方程&非齐次方程) 特殊解+通解 非齐次方程的解 特解 和 通解 令b=0求基础解决 非齐次方程的通解=齐次方程的通解+非齐次方程的特解 12

行列式的性质及推论 1. 对角行列式的值为主对角线上元素的乘积 2. 辅对角行列式的值 3. 上三角和下三角行列式的值为主对角线上元素的乘积 4. 若行列式的某一行（列）的元素皆为零，则行列式的值为零 5. 交换行列式两行（列）元素的位置，行列式反号 6. 若行列式有两行（列）元素相同，则行列式的值为零 7. 将行列式转置，行列式的值不变，即 8. 若行列式有两行（列）元素对应成比例，则行列式的值为零 9. 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式 10. 设A，B为n阶方阵 11. 若行列式中某一行（列）元素 都可表示为两元素 与 之和，即 ，则该行列式可表示为两行列式之和。（可以推广到m个数之和的情况） 12. 把行列式的某一行（列）的所有元素同乘以数k后加于另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变 13. 奇数阶但对称行列式的值为零 14. 范德蒙德（Vandermonde）行列式 对于 方程个数与未知量个数相等 的线性方程组 Cramer 法则： 若方程组的系数行列式 ，则方程组有唯一解 如果线性方程组的系数行列式 ，则有唯一解； 如果线性方程组的系数行列式 ，则无解或多个解； 从目前来看行列式的意义，主要体现在Cramer法则中，用来确定（方程个数与未知量个数相等）线性方程组的解（唯一解、多个解或无解），并求取参数值。 但更为普适的方法

一、什么是线性代数 线性与非线性： 非线性问题则可以在一定基础上转化为线性问题求解 线性空间： 对所谓的要满足"加法"和"数乘"等八条公理的元素的集合 线性函数： 几何意义 ： 过原点的直线、平面、超平面 代数意义 ：可加性、比例性 可加性 （线性的可加性既是没有互相激励的累加，也是没有互相内耗的累加） 比例性 （比例性又名齐次性说明没有初始值，比如电路，没有输入信号时输出也 为零，有几倍的输入量刚好就有几倍的输出量，增量是倍数关系，存量也是倍数关系） 几何意义：m=n为直线，否则为平面或者超平面 线性映射： T在这里也叫线性算子，具体的算子比如有微分算子，积分算子，拉普拉斯算子等 二维线性函数就构成了两个二维平面之间由矩阵 所确定的映射关系 满足可加性和比例性 在两个不同坐标系之间映射 线性变换： 如果映射是发生在一个集合上的同一个坐标系中，线性映射就被称为 线性变换 。 线性变换作为线性映射的特例，就是把集合上的两个坐标系合为一个。 直角坐标系下的图形清楚地显示了一个图形圆被线性变换为一个椭圆。相应的，圆上的一个向量 α映射为椭圆上的向量β。 同线性映射一样，线性变换把向量变成另外一个向量，或者说把"线"变成"线"。在平面上，线性变换把原点仍变为原点（参考零点没有移动），直线仍然变为直线（没有打弯），平行线仍然是平行线，当然平行四边形仍然是平行四边形。 来源： https:/