线性代数矩阵论——行列式的一些性质推论及Cramer法则

爷,独闯天下 提交于 2019-12-20 02:29:16

行列式的性质及推论

1. 对角行列式的值为主对角线上元素的乘积

2. 辅对角行列式的值

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3. 上三角和下三角行列式的值为主对角线上元素的乘积

4. 若行列式的某一行(列)的元素皆为零,则行列式的值为零

5. 交换行列式两行(列)元素的位置,行列式反号

6. 若行列式有两行(列)元素相同,则行列式的值为零

7. 将行列式转置,行列式的值不变,即clip_image004

8. 若行列式有两行(列)元素对应成比例,则行列式的值为零

9. 行列式的某一行(列)中所有元素都乘以同一数,等于用数乘此行列式

10. 设A,B为n阶方阵

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11. 若行列式中某一行(列)元素clip_image010都可表示为两元素clip_image012clip_image014之和,即clip_image016,则该行列式可表示为两行列式之和。(可以推广到m个数之和的情况)

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12. 把行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k后加于另一行(列)对应位置的元素上,行列式的值不变

13. 奇数阶但对称行列式的值为零

14. 范德蒙德(Vandermonde)行列式

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对于方程个数与未知量个数相等的线性方程组

Cramer法则:若方程组的系数行列式clip_image022,则方程组有唯一解clip_image024

  • 如果线性方程组的系数行列式clip_image022[1],则有唯一解;
  • 如果线性方程组的系数行列式clip_image026,则无解或多个解;

从目前来看行列式的意义,主要体现在Cramer法则中,用来确定(方程个数与未知量个数相等)线性方程组的解(唯一解、多个解或无解),并求取参数值。

但更为普适的方法(针对任意方程组),应求增广矩阵的秩。

 

参考文献:

[1] 刘先忠, 杨明. 线性代数. 北京: 高等教育出版社.

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