线性代数-MIT-第4讲

1.矩阵AB的逆

最基础的矩阵分解A=LU:

A通过消元矩阵得到上三角阵U,L联系这A和U;

E21 A = U A=LU

左乘初等矩阵，将矩阵转化为上三角阵U;

L是下三角阵，对角线为1，U是上三角阵，对角线为主元；

举例A为3x3，则消元成为上三角阵U（假设没有行交换）：

此处为何转化成右侧的逆？

解释（以3x3举例）：

(E32为单位阵，E是A的左乘，(3，3)位置是10，不友好)

(E32为单位阵，L是U的左乘，L是E的逆，(3，3)位置0，更友好)

因此，A=LU，如果没有行交换，则消元乘数可以直接写入L中；

消元的过程，需要多少次操作？例如nxn的矩阵A:

例如，100x100的矩阵；

第一步，第一行不变，使除第一行外第一列变为0，该过程除第一行其余均变化，

即是100x99,近似于100x100；

第二部，第一二行不变，使除第一二行外第二列变0，该过程除第一二行和和第一列变化，

即是99x98,近似于99x99

因此总的次数为，100x100+99x99+98x98...2x2+1x1,根据微积分可得

而右侧向量b,则需要1+2+3+...+n-1+n-2=

次；

下面讨论主元位置存在0的情况，即需要进行行交换(置换矩阵)

置换矩阵可以进行行交换；

例如3x3的矩阵,存在3!=6个置换矩阵，对nxn的矩阵，存在n!个矩阵

23行交换不变 12行交换 13行交换 312行 231行

该6个矩阵形成群，互乘仍然在这六个矩阵中，它的逆也是在六个矩阵中

来源：CSDN

作者：安心爱吃糖

链接：https://blog.csdn.net/weixin_32574873/article/details/103635329

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