代数

2011年9月26日，召集学生开会，讨论了近期的学习任务。（1）数学类：范畴论，应用数学(集合论、群、环、域)，元胞自动机（CA）（英文）等；（2）方法类：工程创新方法论；（3）开题报告：存在哪些问题？要解决什么问题？建模方法；采用什么技术；效果如何验证？ 以下是关于代数系统的一点学习心得。 1. 集合是代数学的基础 观察者与被观察者的关系R：R是集合A｛我，非我｝X B｛当下，非当下｝(即A与B的乘积集合)的一个子集。 2. 近世代数的来源之一 文艺复兴时期，初等代数学主要研究了3次、4次方程〔组〕的根式解。此后200多年，人们试图找出5次方程的根式解，但无收获。法国数学家伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用「群」的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题。他是第一个提出「群」的思想的数学家，一般称他为近世代数的创始人。 Abel挪威数学家证明了5次及以上方程没有求根公式；伽罗瓦发现，方程的根是否有求根公式与根的对称性有关。如果伽罗瓦群可解则方程可解。 3. 近世代数的来源之二 四元数(Quaternions)是由哈密顿(Hamilton, 1805-1865)在1843年发现的数学概念。它是形如 ai+bj+ck+d 的数，a、b、c、d是实数，i^2=j^2=k^2=-1，ij=k ji=-k jk=i kj=-i ki=j ik=-j。四元数的乘法不符合交换律

1.引出 在利用Gauss消元法求解线性方程组的过程中，参与运算的只是其中的系数和常数项，将这些系数和常数项写成"表格"的形式来表示求解的过程，于是引入矩阵的概念。 2.定义 矩阵及其初等行变换  ①矩阵 ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a s 1 a s 2 ⋯ a s n ) (1) \left( \begin{matrix} a11 &a12 &\cdots &a1n \\ a21 &a22 &\cdots &a2n \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ as1 &as2 &\cdots &asn \end{matrix} \right)\tag{1} ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ ​ a 1 1 a 2 1 ⋮ a s 1 ​ a 1 2 a 2 2 ⋮ a s 2 ​ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ​ a 1 n a 2 n ⋮ a s n ​ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ​ ( 1 ) a ij 称为矩阵的 元素 。元素为实数的矩阵称为 实矩阵 ，元素为复数的矩阵称为 复矩阵 。如果s=n，则(1)式中的矩阵称为 n阶矩阵 或 n阶方阵 两个矩阵完全相同时(行数相同，列数相同，对应元素相同)，称他们 相等 两个或两个以上矩阵，行数相同，列数相同，称它们为 同型矩阵  ②初等行变换

研究包含未知变量的表达式的运算规则和过程的数学。 给定一个集合的元素，在上面定义结合运算，我们称这种结构叫一个代数体系，简称代数。 “代数”义为用符号代替数 ，本质上是一个抽象过程：从具体的、确定的数到抽象的、未定的数。这是第一步抽象。当我们把注意力集中于所研究对象的运算和运算律，而忽略所代之“数”的具体类别时，完成了进一步的抽象 既然如此，运算对象具体是什么已经不重要了。重要的是能对它做什么运算，以及这些运算遵循什么运算律。 这时，代数所代之 “ 数 ” 就不是狭义的数，而是具有某些运算并满足某些运算律的一些对象了 https://www.zhihu.com/question/50576405?sort=created 1+2叫做算术； a+b叫做代数； f（a）⊙f（b）叫做高等代数。 不确定也不需确定的因素越来越多，解决力却越来越强。 代数，无数胜有数，无招胜有招，无可破，故无所不破（当然是一种理想啦），问你怕未？ https://www.zhihu.com/question/50576405?sort=created 代数最早是一个消元的技巧，后来发展成了研究多项式根的学科。而在群被发明以后，代数就变成了在集合上做运算。universal algebra研究的代数是带有各种运算的集合。这些运算的数量可以是无穷的，也不一定要符合什么交换律结合律。 https://www

线性代数学习笔记 个人认为， 记在笔记本上的东西没有什么必要 ， 反正最后也不看 ， 相反博客上的看的还会多一点。。 第一部分 行列式 先来考虑最简单的二阶行列式 简单的说就是从左上到右下 - 从右上到左下。。。。 三阶行列式遵循对角线法则 但这对OIer似乎并没有什么用 更一般的 解释一下就是枚举全排列， 然后每行都挑一个数乘起来 ， 注意每一列也只能选一个。 （重要的来了） 性质 有关行的对列也成立 1. 下三角或上三角的行列式是对角线元素的乘积（只要满足有一半全是0即可 ， 另一半不用关） 证明一下就是 ， 最后一行只能选最后一个 ， 在往上走 ， 倒数第二行也只能选倒数第二个 。 。。。 2.对换两行 ， 行列式变为他的绝对值 2.1 若两行相同 ， 则行列式位0 3.转置之后行列式不变 4.可以把同一行的公因数提前 ， 提到行列符号前 4.1 若某一行元素全为0 ， 行列式为0 4.2若两行成比例 ， 行列式为0 5.把某 ==一== 行的数都写成 \((a_i+b_i)\) 的形式则行列式可写成两个新的行列式之和 5.把某一行乘上一个数 k 加到==另一行上== ， 行列式不变 行列式的展开 余子式 消去一行一列 ，剩下的行列式 代数余子式 余子式乘上 \((-1) ^{i+j}\) 用余子式计算行列式 之后略过一些对于OIer来说的废话。。。。。。 矩阵 运算法则 +

本系列博客作为记录花书的一些知识点，一些“显而易见”的，我就不多写了 2.1 标量、向量、矩阵和张量 标量：一个单独的数。 向量：一列数。 矩阵：一个二维数组。 张量：一个数组中的元素分布在若干维坐标的规则网络中，我们称之为张量。 转置：矩阵的转置是以对角线为轴的镜像。 2.2 矩阵和向量相乘 矩阵乘积： 元素对应乘积（Hadamard乘积）：两个矩阵的标准乘积不是指两个矩阵中对应元素的乘积。不过，那样的矩阵操作确实是存在的，被称为元素对应乘积（element-wise product）或者Hadamard 乘积（Hadamard product），记为 A ⊙ B。 点积：两个相同维数的向量 x 和 y 的点积（dot product）可看作是矩阵乘积 x ⊤ y。 2.3 单位矩阵和逆矩阵 单位矩阵： 逆矩阵： 2.4 线性相关和生成子空间 线性相关： 线性无关：如果一组向量中的任意一个向量都不能表示成其他向量的线性组合，那么这组向量称为线性无关。 2.5 范数 1. 2.范数是满足下列性质的任意函数： 3.p=2时，L²范数是欧几里得范数，表示从原点出发到向量x确定的点的欧几里得距离。 4.平方L²范数也经常用来衡量向量的大小，可以简单的通过点积 计算。 5.平方L²范数在计算上比L²范数本身方便，但是它在原点附近增长得十分缓慢。在某些机器学习应用中

初等代数是研究数字和文字的代数运算理论和方法，更确切的说，是研究实数和复数，以及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法的数学分支学科。 初等代数的中心内容是解方程，因而长期以来都把代数学理解成方程的科学，数学家们也把主要精力集中在方程的研究上。它的研究方法是高度计算性的。 要讨论方程，首先遇到的一个问题是如何把实际中的数量关系组成代数式，然后根据等量关系列出方程。所以初等代数的一个重要内容就是代数式。 由于事物中的数量关系的不同，大体上初等代数形成了整式、分式和根式这三大类代数式。代数式是数的化身，因而在代数中，它们都可以进行四则运算，服从基本运算定律，而且还可以进行乘方和开方两种新的运算。通常把这六种运算叫做代数运算，以区别于只包含四种运算的算术运算。 在初等代数的产生和发展的过程中，通过 解方程 的研究，也促进了数的概念的进一步发展，将 算术中讨论的整数和分数的概念 扩充到有理数的范围，使数包括正负整数、正负分数和零。这是初等代数的又一重要内容，就是数的概念的扩充。 有了有理数，初等代数能解决的问题就大大的扩充了。但是，有些方程（i 2 =-1）在有理数范围内仍然没有解。于是，数的概念在一次扩充到了实数，进而又进一步扩充到了复数。（实际上， 实数与数轴上的点一一对应，复数则可以用平面直角坐标系上的点来表示 。后来，人们又将复数与平面向量联系起来，并使其在电工学、流体力学

线性代数学习笔记 1 矩阵 1.0 矩阵的基本概念 首先需要了解基本的东西,矩阵. 定义一个矩阵 \(A\) 有 \(m\) 行 \(n\) 列,那么可以写成: \[ \begin{matrix} A_{1,1}\ A_{1,2}\cdots A_{1,n}\\ A_{2,1}\ A_{2,2}\cdots A_{2,n}\\ \ \ \ \ \ \ \ \vdots \\ A_{m,1}\ A_{m,2}\cdots A_{m,n}\\ \end{matrix} \] 我们还可以定义矩阵的数乘为 \(\lambda A\) ,相当于是给矩阵中所有的元素都乘上一个数字. 然后矩阵有如下性质: 结合率: \(ABC=A(BC)\) 数乘结合律: \(\beta(\lambda A)=\beta\lambda A\) ...(自行百度) 有一些特殊的矩阵,我们称之为 \(I\) , \(0\) . \(I\) ,单位矩阵,就是对角线全是 \(1\) ,其他位置都是 \(0\) 的矩阵. \(0\) ,零矩阵,就是所以位置都是 \(0\) 的矩阵. 1.1 矩阵的逆,矩阵的秩 矩阵的逆,就是存在一个矩阵 \(A^{-1}*A=I\) ,我们就称 \(A^{-1}\) 为 \(A\) 的逆矩阵. 矩阵的秩 \(A^{T}\) ,定义就是 \(A^{T}(i,j)=A(j,i)\) .

1、 高等代数课程的学习方法 谢启鸿谈“如何学好高等代数” 欢迎使用复旦大学高等代数学习体系 数学之美与新生寄语 2、 复旦大学高等代数教材（又称绿皮书，第三版） 复旦大学《高等代数学（第三版）》教材勘误表 复旦大学《高等代数学（第三版）》教材习题答案 复旦大学高等代数教材被评为"十五"、"十一五"和"十二五"国家级规划教材. 现使用本教材的高校有: 清华大学数学系、物理系和经管专业, 浙江大学数学拔尖人才班, 中国人民大学数学试验班, 上海财经大学财经数学试验班, 杭州师范大学数学试验班, 赣南师范大学数学学院等. 3、 复旦大学 高等代数学习指导书（又称白皮书，第三版） 复旦大学《高等代数学习指导书（第三版）》勘误表 复旦大学《高等代数学习指导书（第三版）》前言 复旦大学数学学院团学联访谈--谢启鸿老师和他的高代白皮书 复旦大学数学学院历届本科生对高代白皮书的评价 复旦大学高等代数教材和学习指导书的购买 4、 复旦大学高等代数每周一题 复旦大学高等代数每周一题 (1.0版) （备用下载地址： 我的分享-->每周一题解答 ） 复旦大学高等代数历届每周一题汇总 复旦数院13级--16级本科生对每周一题的评价 15级微信推送 16级微信推送 北大数院16级本科生卢维潇对每周一题的评价 复旦数院17级本科生对每周一题的评价 17级微信推送 复旦数院18级本科生对每周一题的评价 5、

【推荐】2019 Java 开发者跳槽指南.pdf(吐血整理) >>> 怎么求特征值和特征向量？ 实例： ξ是初始单位向量组 A是旋转矩阵。 基本性质： 非奇异也叫做满秩，非退化，可逆 矩阵的行列式与矩阵行列式的转置是一样的 最后结果得出：特征方程一样，则特征值一样。 运用根与系数关系公式直接套就可以。 迹-----所有的对角线元素都加起来。 例题： 方法一:如果不验证有可能不正确，不够严谨。 通过方法二可知等于1这个条件是多余的。 来源： oschina 链接： https://my.oschina.net/u/2914586/blog/783856

矩阵 A ∈ R m × n 和 B ∈ R n × p 的乘积为矩阵 ： 其中： . 请注意，矩阵A的列数应该与矩阵B的行数相等，这样才存在矩阵的乘积。有很多种方式可以帮助我们理解矩阵乘法，这里我们将通过一些例子开始学习。 2.1 向量的乘积 给定两个向量x，y ∈ R n ，那么x T y的值，我们称之为向量的 内积 或 点积。它 是一个由下式得到的实数： . 可以发现，内积实际上是矩阵乘法的一个特例。通常情况下x T y = y T x。 对于向量x ∈ R m ， y ∈ R n （大小不必相同），xy T ∈ R m×n 称为向量的 外积 。外积是一个矩阵，其中中的每个元素，都可以由 得到，也就是说， . 我们举个例子说明外积有什么用。令 1 ∈ R n 表示所有元素都是1的n维向量，然后将矩阵 A ∈ R m × n 的每一列都用列向量 x ∈ R m 表示。使用外积，我们可以将A简洁的表示为： . 2.2 矩阵 - 向量的乘积 对于一个矩阵 A ∈ R m × n 和向量 x ∈ R n ，他们的乘积为向量 y = Ax ∈ R m 。理解矩阵向量乘法的方式有很多种，我们一起来逐一看看。 以行的形式书写A，我们可以将其表示为Ax的形式： . 也就是说， y 第 i 行的元素等于A的第 i 行与x的内积 . 咱们换个角度，以列的形式表示A，我们可以看到： . 换言之，