背包问题动态规划

动态规划，作为程序员面试过程中几乎是必考的题目类型，在实际生产应用中也广泛使用。0-1背包问题作为最经典的算法之一，也衍生了很多其他的题目（如找零钱、爬楼梯等leetcode题目）。本人在复习之余，将总结下来的算法常识得以分享： （一）什么是动态规划 作为运筹学的一个分支，动态规划（DP）最早是用于求解决策过程最优化的问题被提出，利用各阶段dp变量之间的关系，逐个求解，最终求得全局最优解的过程。再设计DP算法时，需确认原问题与子问题的解状态，每个状态下的DP值、边界状态值，以及状态转移方程。 此外，不同于分治策略，DP 划分的子问题是有重叠的，解过程中对于重叠的部分只要求解一次，记录下结果，其他子问题直接使用即可，减少了重复计算过程。 另外，DP在求解一个问题最优解的时候，不是固定的计算合并某些子问题的解，而是根据各子问题的解的情况选择其中最优的。即第i个状态的DP值dp[i]可能前i-1个状态（ dp[1]、dp[2]、・・・・・・、dp[i-1] ）都相关。 （2）子问题重叠性质：先计算子问题的解，再由子问题的解去构造问题的解（由于子问题存在重叠，把子问题解记录下来为下一步使用）。 （二）0-1背包求解思路 ④、确定状态转移方程，如何从一个或多个已知状态求出另一个未知状态的值。（递推型） （三）算法设计 　　初始状态为dp[0][0]~ dp[0][ V]和 dp[0][0]~

以上涉及的各种背包问题都是要求在背包容量（费用）的限制下求可以取到的最大价值，但背包问题还有很多种灵活的问法，在这里值得提一下。但是我认为，只要深入理解了求背包问题最大价值的方法，即使问法变化了，也是不难想出算法的。 例如，求解最多可以放多少件物品或者最多可以装满多少背包的空间。这都可以根据具体问题利用前面的方程求出所有状态的值（f数组）之后得到。 还有，如果要求的是“总价值最小”“总件数最小”，只需简单的将上面的状态转移方程中的max改成min即可。 下面说一些变化更大的问法。 输出方案 一般而言，背包问题是要求一个最优值，如果要求输出这个最优值的方案，可以参照一般动态规划问题输出方案的方法：记录下每个状态的最优值是由状态转移方程的哪一项推出来的，换句话说，记录下它是由哪一个策略推出来的。便可根据这条策略找到上一个状态，从上一个状态接着向前推即可。 还是以01背包为例，方程为 f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]} 。再用一个数组g[i][v]，设g[i][v]=0表示推出f[i][v]的值时是采用了方程的前一项（也即f[i][v]=f[i-1][v]），g[i][v]表示采用了方程的后一项。注意这两项分别表示了两种策略：未选第i个物品及选了第i个物品。那么输出方案的伪代码可以这样写（设最终状态为f[N][V]）： 另外

问题描述 0/1背包问题 　　 物品集合U=｛u1,u2…un｝，体积分别为s1,s2…..sn，价值分别为v1,v2….vn；容量C的背包。设计算法实现放入背包的物品价值最大。 输入描述 　　第一行输入物品数n和背包的容量C,接下来n行分别输入每个物品体积及价值 输出描述 　　输出最大价值数 输入样例 　　3 10 　　3 4 　　4 5 　　5 6 输出样例 　　11 问题分析 每个物品有装入和不装入两个选择，定义n维向量x=(x 1 ,x 2 ,x 3 ,~~x n )，其中x k =1表示物品k装入，x k =0表示不装入，因此一个0-1向量代表了一种装载方案， 现在要求给出一种最优装载方案x,满足总容量<=C，使得总价值最大，那么考虑 前i个物品 1,2,3~~i，以及背包容量j， 记D[i][j]为 前i个物品在背包容量为j的情况下所能得到的最大价值 。 它满足以下递推关系： (1) D[0][j]=0,j=0,1,2,,C; 物品为0时肯定最大价值全为0 这是递推起点 需要初始化 (2) 若j<w[i],D[i][j]=D[i-1][j],否则D[i][j]=max(D[i-1][j],D[i-1][j-w[i]]+v[i]); 这是递推表达式 D[i][j]的计算要用到上一行的两个元素，因此计算顺序和填二维数组的顺序是一样的，从左往右，再从左往右 则最后右下角的D

背包问题 动态规划之背包问题(一) 问题介绍 直观思维 普通递归 记忆搜索式递归 穷竭搜索式递归 如何插入一段漂亮的代码片 生成一个适合你的列表 创建一个表格 设定内容居中、居左、居右 SmartyPants 创建一个自定义列表 如何创建一个注脚 注释也是必不可少的 KaTeX数学公式 新的甘特图功能，丰富你的文章 UML 图表 FLowchart流程图 导出与导入 导出 导入 动态规划之背包问题(一) 背包问题是动态规划最经典的问题之一，这篇博客会初步探索背包问题，在后续系列会继续深入。 问题介绍 有n个物品，价值和重量分别为vi和wi,背包承重W，求装入背包的最大价值。 例子： n=4 w={2,1,3,2} v={2,2,4,3} W=5 输出 V=7(选择第0，1，3件物品或者第2，3件物品) 直观思维 在背包还放得下这件物品时，选与不选都试一下，选二者的较大值 在背包放不下这件物品的时候，直接跳过这件物品 例如上例 普通递归 直接输入1次 # ，并按下 space 后，将生成1级标题。 输入2次 # ，并按下 space 后，将生成2级标题。 以此类推，我们支持6级标题。有助于使用 TOC 语法后生成一个完美的目录。 记忆搜索式递归 强调文本 强调文本 加粗文本 加粗文本 标记文本 删除文本 引用文本 H 2 O is是液体。 2 10 运算结果是 1024.

2019独角兽企业重金招聘Python工程师标准>>> 问题描述 ： 给定n种物品和一背包，物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问应如何选择装入背包的物品（物品不能分割），使得装入背包中物品的总价值最大? 抽象描述： x[n]:表示物品的选择，x[i]=1表示选择放进物品i到背包中。 问题分析： 1.抽象之后背包问题转换为找到一个最优的数组，x1，x2，.....,xn的0-1序列。 2.假设最优解的序列为x1，x2，.....,xn，能使背包容量C的总价值最大. 如果，x1=1，则x2,...,xn是C-w1容量的背包的总价值 依然是 最大的序列； 如果，x1=0，则x2,....,xn是C容量的背包的总价值 依然是 最大的序列。 这就是我们所说的最优子结构性质。 3.进一步分析：我们用m(i,j)表示为已经判断好了i:n的序列的背包最大价值，并且此时的背包剩余的容量为j，对物品i进行判断 如果j>wi, 就只要做出选择wi和不选择wi情况下，哪种更能使背包的总价值更大：m(i,j)=max{ m(i+1,j),m(i+1,j-wi)+vi} (注意这是个递归式) 如果j<wi: m(i,j)=m(i+1,j) 初始化： m(n,j)=vn (j>= wn)； m(n,j)=0 (0<=j< wn) m(0,C)=0 最终的结果：m(1,C) 4

背包九讲 前言 本篇文章是我(dd_engi)正在进行中的一个雄心勃勃的写作计划的一部分，这个计划的内容是写作一份较为完善的NOIP难度的动态规划总结，名为《解动态规划题的基本思考方式》。现在你看到的是这个写作计划最先发布的一部分。 背包问题是一个经典的动态规划模型。它既简单形象容易理解，又在某种程度上能够揭示动态规划的本质，故不少教材都把它作为动态规划部分的第一道例题，我也将它放在我的写作计划的第一部分。 读本文最重要的是思考。因为我的语言和写作方式向来不以易于理解为长，思路也偶有跳跃的地方，后面更有需要大量思考才能理解的比较抽象的内容。更重要的是：不大量思考，绝对不可能学好动态规划这一信息学奥赛中最精致的部分。 Ŀ¼ 第一讲 01背包问题 这是最基本的背包问题，每个物品最多只能放一次。 第二讲 完全背包问题 第二个基本的背包问题模型，每种物品可以放无限多次。 第三讲 多重背包问题 每种物品有一个固定的次数上限。 第四讲 混合三种背包问题 将前面三种简单的问题叠加成较复杂的问题。 第五讲 二维费用的背包问题 一个简单的常见扩展。 第六讲 分组的背包问题 一种题目类型，也是一个有用的模型。后两节的基础。 第七讲 有依赖的背包问题 另一种给物品的选取加上限制的方法。 第八讲 泛化物品 我自己关于背包问题的思考成果，有一点抽象。 第九讲 背包问题问法的变化 试图触类旁通、举一反三。 附

燎天一剑 7 个月前 这道题类似于完全背包问题，每个物品都可以无限使用，但是要求背包必须装满，而且要求背包中的物品数目最少， 归纳为数学问题就是， v[i]:代表每种硬币的价值 x[i]:代表每种硬币拿的个数，0<=x[i]<=amount/v[i] 所求问题可以归纳为： 在满足：amount=v1x1+v2x2+v3x3+...+vnxn 的条件下 求： target=min{x1+x2+x3+....xn} 最简单的一种思路就是把所有{xi}的组合全部拿出来，然后让target最小即可，利用递归就可以解决问题，但是时间复杂度会很高，但是如果有好的剪枝策略，也可以使用 另外一种方法就是常规的动态规划，利用一个amout+1长度的dp数组，记录每一个状态的最优解，过程见程序和注释 public int coinChange( int [] coins, int amount) { if (coins.length == 0 ) return -1 ; //声明一个amount+1长度的数组dp，代表各个价值的钱包，第0个钱包可以容纳的总价值为0，其它全部初始化为无穷大 //dp[j]代表当钱包的总价值为j时，所需要的最少硬币的个数 int [] dp = new int [amount+ 1 ]; Arrays.fill(dp, 1 ,dp.length,Integer.MAX

燎天一剑 7 个月前 这道题类似于完全背包问题，每个物品都可以无限使用，但是要求背包必须装满，而且要求背包中的物品数目最少， 归纳为数学问题就是， v[i]:代表每种硬币的价值 x[i]:代表每种硬币拿的个数，0<=x[i]<=amount/v[i] 所求问题可以归纳为： 在满足：amount=v1x1+v2x2+v3x3+...+vnxn 的条件下 求： target=min{x1+x2+x3+....xn} 最简单的一种思路就是把所有{xi}的组合全部拿出来，然后让target最小即可，利用递归就可以解决问题，但是时间复杂度会很高，但是如果有好的剪枝策略，也可以使用 另外一种方法就是常规的动态规划，利用一个amout+1长度的dp数组，记录每一个状态的最优解，过程见程序和注释 public int coinChange( int [] coins, int amount) { if (coins.length == 0 ) return -1 ; //声明一个amount+1长度的数组dp，代表各个价值的钱包，第0个钱包可以容纳的总价值为0，其它全部初始化为无穷大 //dp[j]代表当钱包的总价值为j时，所需要的最少硬币的个数 int [] dp = new int [amount+ 1 ]; Arrays.fill(dp, 1 ,dp.length,Integer.MAX

背包问题指这样一类问题，题意往往可以抽象成：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。 就ACM或者其它算法竞赛而言，背包问题可以分为8种类型，其中最基础的是0/1背包问题。作为动态规划的典型问题，其状态转移方程往往需要认真理解并能自行推出。这八种问题分别为：0/1背包问题、完全背包问题、多重背包问题、混合三种背包问题、二维费用背包问题、分组背包问题、有依赖的背包问题、求背包问题的方案总数。 01背包问题 给定 \(n\) 种物品和一个容量为 \(C\) 的背包，物品 \(i\) 的重量是 \(w_i\) ，其价值为 \(v_i\) 。问：应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大？ 使用动态规划，阶段就是“物品的件数”，状态就是“背包剩下的容量”，那么很显然 \(f[ i , v ]\) 就设为从前 \(i\) 件物品中选择放入容量为 \(j\) 的背包最大的价值。那么状态转移方程为： \[ f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+c[i]) \] # 动态规划 时间： O（n*C） 空间：O（n*C） class Solution(): def knapSack(self,w,v,C): n = len(w) dp = [[0 for j in range(C+1

问题描述 01背包问题：有n个物品，每个物品有体积和价值两个属性，现在有一个固定容量的背包，要将这些物品放入背包内，使得背包内物品总价值最大，问要如何放？ 注意：每个物品的数量为1。 设$V = 14$。 为了描述方便起见，我们用$c_1,c_2,c_3,....c_n$表示物品的体积， 用$w_1,w_2,w_3,....w_n$表示物品的价值，用$V$表示背包的容量，$n$表示物品的数量。 动态规划描述 背包问题是动态规划问题的一种，和分治算法一样，它是将一个大问题分成一个一个的小问题，然后找到大问题和小问题之间的递推式，将一个个小问题组合成大问题， 并且通常要求这些 小问题也要达到最优 。能用动态规划解决的问题一般含有两种性质： 最优子结构 和 重叠子问题。 动态规划从本质上讲就是穷举法， 但是它的却比一般的算法效率要高， 这就是因为它能剪去重叠的子问题，使得总体复杂度不那么高。 解决方法 1.递归方法 我们先从最容易入手的地方开始，用递归的方法来解这个问题。 首先对于每个物品，我们的选择只有两个：放或者不放。我们将所有的可能都穷举出来，就可以得到下面这个树状图（只画了前四个结点）： 这个树上每一个分支都只能选一个，每一行就代表一个子问题。我们用$F(i, v_i)$表示前$i$个物品放入背包内的最大价值（即最优方案），此时这个$v_i$指的是放入前$i