背包问题动态规划

一、背包九讲总述 关于动态规划问题，最典型的就是背包九讲，先理解背包九讲后再总结关于动态规划的问题 1、01背包问题 2、完全背包问题 3、多重背包问题 4、混合背包问题 5、二维费用的背包问题 6、分组背包问题 7、背包问题求方案数 8、求背包问题的方案 9、有依赖的背包问题 往前四篇博文已经介绍了前四个问题，有需要的同学可以看一下！！ 二、二维费用背包问题 二维费用的背包问题是指：对于每件物品，具有两种不同的费用，选择这件物品必 须同时付出这两种费用。对于每种费用都有一个可付出的最大值（背包容量）。问怎样 选择物品可以得到最大的价值。 故：对于01背包问题、完全背包问题和多重背包问题的方法都完全可以使用，只不过增加一个代价 接下来，01背包问题为例进行解答： 题目描述： 有 N 件物品和一个容量是 V 的背包，背包能承受的最大重量是 M。每件物品 只能用一次 。体积是 v[i]，重量是 w[i]，价值是 money[i]。 求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，总重量不超过背包可承受的最大重量，且价值总和最大。输出最大价值。 输入格式 : 第一行3个整数，n，C, W，用空格隔开，分别表示物品件数、背包容积和背包可承受的最大重量。 接下来有 n 行，每行三个整数 v[i],w[i],money[i]，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积、重量和价值。

一、题目描述 有 n 个物品和一个大小为 m 的背包. 给定数组 A 表示每个物品的大小和数组 V 表示每个物品的价值，问最多能装入背包的总价值是多大? 样例 样例 1: 输入: m = 10, A = [2, 3, 5, 7], V = [1, 5, 2, 4] 输出: 9 解释: 装入 A[1] 和 A[3] 可以得到最大价值, V[1] + V[3] = 9 样例 2: 输入: m = 10, A = [2, 3, 8], V = [2, 5, 8] 输出: 10 解释: 装入 A[0] 和 A[2] 可以得到最大价值, V[0] + V[2] = 10 挑战 O(nm) 空间复杂度可以通过, 不过你可以尝试 O(m) 空间复杂度吗? 注意事项 A[i], V[i], n, m 均为整数 你不能将物品进行切分 你所挑选的要装入背包的物品的总大小不能超过 m 每个物品只能取一次 二、代码 class Solution { public: /** * @param m: An integer m denotes the size of a backpack * @param A: Given n items with size A[i] * @param V: Given n items with value V[i] * @return: The maximum value *

这两天在刷leetcode的动态规划的题目时，发现很多动态规划的题目怎么想都很难出递推公式，而看答案往往都感觉是精巧设计的，但是遇到类似的题目又不知从何下手，看了一天的博客和其他资料，发现这种类型的题目都是一类经典问题的变种：背包问题 背包问题主要有3种基本类型：01背包，完全背包，多重背包问题。 这里列出几个写的比较好的博客：大家可先行补充下基本知识（主要是leetcode中的题目不会让人立刻联想到是背包问题，所以看基本概念的目的是深入熟悉和记住递推公式的模板，方便套用）。 背包问题九讲 动态规划解决01背包问题 本文是总结leetcode中的背包变形问题的集锦，所以会不断更新，首先来看困扰我的leetcode中的二维递推公式的都长什么样： for (int i = 1; i <= m; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { dp[i] = min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1); } } 注意看红字所示，递推公式中会减去外层循环中的某个值，而不是我们常见的如下模板： for (int i = 1; i <= m; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { dp[i] = min( dp[i-1]+A[i] , dp[i]); } } 这种反减的模板套路就和背包问题很像

以上涉及的各种背包问题都是要求在背包容量（费用）的限制下求可以取到的最大价值，但背包问题还有很多种灵活的问法，在这里值得提一下。但是我认为，只要深入理解了求背包问题最大价值的方法，即使问法变化了，也是不难想出算法的。 例如，求解最多可以放多少件物品或者最多可以装满多少背包的空间。这都可以根据具体问题利用前面的方程求出所有状态的值（f数组）之后得到。 还有，如果要求的是“总价值最小”“总件数最小”，只需简单的将上面的状态转移方程中的max改成min即可。 下面说一些变化更大的问法。 输出方案 一般而言，背包问题是要求一个最优值，如果要求输出这个最优值的方案，可以参照一般动态规划问题输出方案的方法：记录下每个状态的最优值是由状态转移方程的哪一项推出来的，换句话说，记录下它是由哪一个策略推出来的。便可根据这条策略找到上一个状态，从上一个状态接着向前推即可。 还是以01背包为例，方程为 f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]} 。再用一个数组g[i][v]，设g[i][v]=0表示推出f[i][v]的值时是采用了方程的前一项（也即f[i][v]=f[i-1][v]），g[i][v]表示采用了方程的后一项。注意这两项分别表示了两种策略：未选第i个物品及选了第i个物品。那么输出方案的伪代码可以这样写（设最终状态为f[N][V]）： 另外

背包问题和01背包问题是很经典的关于动态规划和贪心算法的题目。 这两个问题很相似，01背包是有一个容量为c的背包，装入一些质量为w[ ]的且价值为v[ ]的物品，每次只能选择放入或者不放，不能只放一部分某个物品。求出可以让背包装最大价值的一个x[ ]，其中的每一项表示第 i 个物品是否要装入。 背包问题跟01背包相似，但是可以装入部分商品。 背包问题可以用贪心算法求解，01背包则要用动态规划。 先来说01背包 举个例子： c=5，即背包的容量是5.放入以下质量和价值的物品 编号 质量w 价值v 0 1 6 1 3 12 2 2 10 根据前面的动态规划的解法，动态规划一般需要一个二维的数组存放每一步计算得到的动态结果，本例用矩阵 m 表示，行标表示商品编号 用 i 表示，列标表示变化的 j ，即容量 0 1 2 3 4 5 0 0 6 10 16 18 22 1 0 0 10 12 12 22 2 0 0 10 10 10 10 本例的最佳装法解x应该是x={0,1,1}，也就是装入第二个和第三个，总最大价值为12+10=22 我写了一个简单的代码 1 #include<iostream> 2 using namespace std; 3 int m[3][6];//动态规划中的矩阵 4 int v[3]={12,10,6};//价值 5 int w[3]={3,2,1};//质量

简介 背包问题是一类动态规划问题的统称，分有多种子类型。 01背包 给定 \(n\) 个物品，每个物品都有自己的价值 \(v_i\) 和重量 \(w_i\) 。现有一个容量为 \(W\) 的背包，求最大价值。 很容易想到每种物品只有选或者不选，那么依次枚举即可。 考虑到还需要判断能否装下这些物品，所以还需要在转移的时候维护剩余容量。 因此设子状态 \(f[i][j]\) 为当前在第 \(i\) 个物品处，包括 \(i\) 在内已经选了重量为 \(j\) 的物品的最大价值。 状态转移方程为 \(f[i][j]=max(f[i-1][j-v_i]+w[i],f[i-1][j])\) 此时的空间复杂度为 \(O(NM)\) ，可以通过滚动数组优化到 \(O(M)\) 。 事实上，还可以进行进一步优化： 由于每一层 \(i\) 之间是互相独立的（也就是说 \(f[i][j]\) 不会被 \(f[i][k]\) 更新），所以我们可以优化掉第一维，但是此时需要修改第二维的枚举顺序。 根据状态转移方程可知，第二维大的状态是由第二维小的状态转移来的，由于我们优化掉了第一维，所以必须先遍历第二维大的状态，否则将会出现覆盖的情况。 所以第一维遍历仍然顺序，第二维遍历须改为逆序。 来源： https://www.cnblogs.com/ilverene/p/11398617.html

背包问题也是动态规划中一个很经典的问题 其问题主要框架为：有一个体积为V的背包（花费上限），有n件物品，第i件物品的体积为v[i]，价值为w[i],问怎么放的最大价值。 当然，不同的题会对物品有不一样的限制，比如对物品数量的限制，对物品关系的限制，因此就有了不同种类的背包问题。 一，01背包 问题：有一个体积为V的背包，有n件物品，第i件物品的体积为v[i],价值为w[i]，每件物品至多选择一次，问在不超过背包体积的前提下能获得的最大价值。 这是背包型动态规划的基础，有些背包型动态规划可以转化为01背包，从而起到优化的效果。 特点是对于第i件物品，我们只有两种选择，第一种，将这件物品放入背包，第二种，不放这种物品，显然，我们想要在当前体积限制下获得最大的价值，如果放入这件物品 会使总的价值增大，我们就放入这件物品，否则不放。 状态转移方程 dp[i][v]=max(dp[i-1][v],dp[i-1][v-w[i]+c[i]]); 1 for(int i=1;i<=n;i++) 2 for(int v=1;v<=vmax,v++) 3 { 4 if(w[i]>v) dp[i][v]=dp[i-1][v]; 5 else dp[i][v]=max(dp[i-1][v],dp[i-1][v-w[i]]+c[i]); 6 } 我们可以通过数组的重复利用优化掉一维

文章目录 一、01背包 二、完全背包 三、多重背包 四、混合背包 五、二维背包 六、分组背包 七、背包方案 一、01背包 有 n 件物品和一个容量为 v 的背包。第 i 件物品的费用为 w[i]，价值是 c[i]，在不超过背包最大容量的情况下是总价值最大。 【分析】 考虑到每种物品只有一件，所以这是一个 01背包问题，何为 01，就是对于一件物品，只有取1件或者取0件的选择。 用 f[i][j] 表示前 i 件物品消耗 j 体积获得的最大价值，显然，状态转移方程： f[i][j]=max{f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+c[i]} 。 【代码段】 for ( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) for ( int j = m ; j >= 1 ; j -- ) { if ( j >= w [ i ] ) //如果剩余空间还能放第 i 件物品，再放和不放之间取舍 f [ i ] [ j ] = max ( f [ i - 1 ] [ j ] , f [ i - 1 ] [ j - w [ i ] ] + c [ i ] ) ; else //否则只能不放 f [ i ] [ j ] = f [ i - 1 ] [ j ] ; } 如果只用一维数组 f[i] 能不能达到一样的效果呢？把二维变成一维，用一个状态代表两个状态。 注意到上面的代码中

动态规划 将大问题分解成小问题，并先着手解决这些小问题。 9.1 背包问题 9.1.1 简单算法 尝试各种可能的组合，并找出价格最高的组合。 9.1.2 动态规划 先解决小背包的问题，再逐步解决原来的问题。 9.2 背包问题 先解决小问题，在逐步解决大问题 9.3 最长公共子串 9.3.1 绘制网络 9.3.2 填充网络 9.3.3 揭晓答案 9.3.4 最长公共子序列 9.3.5 最长公共自子序列解决方法 9.4 小结 来源： https://blog.csdn.net/weixin_41217899/article/details/99540986

一、分治法 递归，找最大值最小值，整数相乘，归并排序，快速排序，线性时间选择，最近点对问题 二、动态规划 　　0-1背包问题 ，矩阵相乘问题，装配线调度问题，最长公共子序列，最优二分检索树，凸多边形最优三角剖分 三、贪心法 　　背包问题，活动选择问题，哈夫曼编码，最小生成树算法（Kruskal 和 Prim） 四、回溯法 　　n皇后问题，子集和数问题，0-1背包问题，旅行商问题，着色问题 五、图算法 　　图的表示，广度优先搜索，Dijkstra算法 来源： https://www.cnblogs.com/eaglezb/p/11343106.html