背包问题动态规划

0 -1 背包问题是最广为人知的动态规划问题之一，拥有很多变形。尽管在理解之后并不难写出程序，但初学者往往需要较多的时间才能掌握它。小编写这篇文章力争做到用通俗易懂的语言，最少的公式把 0-1 背包问题讲解透彻。 喜欢的小朋友，请与我多多交流哦 ~~~~ 请允许我从一则故事说起………… 话说 Lucy 带着她的亲友团去沙漠寻求宝藏，经过几天几夜的长途跋涉，终于在沙漠的那一边发现了一堆个大无比、闪闪发光的钻石，一共有 n 个。可惜的是他们身上只有一个能装钻石的背包，背包的容量为 W 。 Lucy 兴奋之余，在一堆钻石中挑出突出的钻石编号排列： 0,1,2,3 ……， n-1 。第 i 个宝石对应的体积和价值分别为 w[i] 和 v[i] 。排好后 Lucy 开始思考，和向他的亲友团求助：背包总共只能装下体积为 W 的东西，那我要装下哪些钻石才能使我们获得最大的利益呢？ “很简单，用动态规划呀，那样我们就能获得最大的利益了” Bill 斩钉截铁的回答，他边说着边用木棍在沙漠上笔画着。 PS ： 以上故事情节纯属虚构，若有模仿者，小编概不负责哦！请读者细细听下文讲解。 说时迟那时快， Bill 将挑出的 5 个钻石编号钻石，假设背包的容量范围在 [0,17] ，问题示例 物品的价值和重量如下表 现在 Bill 考考读者 , 通过可放和不可放表，是不是就能罗列出在背包容量值固定

之前写了01背包问题，现在写完全背包问题。和01背包不同的是，完全背包不限定某种物品的件数，可以装0,1,2，...，而01背包只有装与不装的区别。但是思考问题的方式还是一样的，我就其中的最大值。详细代码和注释见下面代码。 package backpack; /* f[i][v]:前i件物品放入背包容量为v的背包获得的最大收益 f[i][v] = max(f[i - 1][v],f[i - 1][v - k * Wi] + k * Vi,其中 1<=k<= v/Wi) 边界条件 f[0][v] = 0; f[i][0] = 0; */ public class CompleteBackpack { private static final int N = 3; private static final int V = 5; private int weight[] = {0,3,2,2}; private int Value[] = {0,5,10,20}; private int f[][]=new int[N+1][V+1]; public int Completeknapsack() { //边界条件，第0行和第0列的值设为0 for (int i = 0;i <= N;i++){ f[i][0] = 0; } for (int v = 0;v <= V;v++){ f[0]

燎天一剑 7 个月前 这道题类似于完全背包问题，每个物品都可以无限使用，但是要求背包必须装满，而且要求背包中的物品数目最少， 归纳为数学问题就是， v[i]:代表每种硬币的价值 x[i]:代表每种硬币拿的个数，0<=x[i]<=amount/v[i] 所求问题可以归纳为： 在满足：amount=v1x1+v2x2+v3x3+...+vnxn 的条件下 求： target=min{x1+x2+x3+....xn} 最简单的一种思路就是把所有{xi}的组合全部拿出来，然后让target最小即可，利用递归就可以解决问题，但是时间复杂度会很高，但是如果有好的剪枝策略，也可以使用 另外一种方法就是常规的动态规划，利用一个amout+1长度的dp数组，记录每一个状态的最优解，过程见程序和注释 public int coinChange( int [] coins, int amount) { if (coins.length == 0 ) return -1 ; //声明一个amount+1长度的数组dp，代表各个价值的钱包，第0个钱包可以容纳的总价值为0，其它全部初始化为无穷大 //dp[j]代表当钱包的总价值为j时，所需要的最少硬币的个数 int [] dp = new int [amount+ 1 ]; Arrays.fill(dp, 1 ,dp.length,Integer.MAX

 这个思路来源于搞了动态规划几十年(也算是理论奠基人之一了)的Dimitri Bertsekas,他所称之为Abstract Dynamic Programming Models。动态规划是一种在数学、计算机科学和经济学中使用的,通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。 动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题,动态规划方法所耗时间往往远少于朴素解法。 动态规划背后的基本思想非常简单。大致上,若要解一个给定问题,我们需要解其不同部分(即子问题),再合并子问题的解以得出原问题的解。通常许多子问题非常相似,为此动态规划法试图仅仅解决每个子问题一次,从而减少计算量:一旦某个给定子问题的解已经算出,则将其记忆化存储,以便下次需要同一个子问题解之时直接查表。这种做法在重复子问题的数目关于输入的规模呈指数增长时特别有用。 动态规划问题满足三大重要性质 一、抽象模型 ¶ 定义:两个集合 S,A ;策略映射 mu ;两个算子 T_mu,T 本节我们定义为了准确描述动态规划模型必不可少的5个符号。 考虑 S 和 A 为两个集合,前者我们认为是包含所有状态(state)的集合,后者我们认为是包含所有控制(control,或者action)的集合。对任意 sin S ,定义 A(s)subset A 为针对状态 s 的可行控制集。然后我们再对任意 sin S

背包问题是一个np问题： 一般题意为： 　　存在n件物品，每件物品的重量为w[i]，价值为v[i]，现在有一个包，承重限制为weight，现在让你从n件物品中，选择一些物品装入背包中，在不超重的前提下，使得背包中所装物品的总价值最大。 　　由于每件物品【应该是每种物品】存在着两种情况，一种是，每种物品唯有一件，这种情况称为0-1背包问题； 　　另一种是，每种物品有无数件，这种情况称为完全背包问题。 　　 　　0-1背包问题： 　 　 0-1背包问题存在两种情况，即，对于第i种物品，你只有选择或者不选择两种情况。 　　（1）使用动态规划来解答：　　　　 　　　　　　考虑对第i件物品的选择策略，有两种策略： 　　　　　　①不放第i件物品，那么问题转化为前i-1件物品恰好装入容量为weight的背包中所能获得的最大价值，也即dp[i-1][weight]。【也就是整个背包重量用来装前i-1件物品】 　　　　　　②放第i件物品，那么问题转化为前i-1件物品恰好装入容量为weight-w[i]的背包中所能获得的最大价值，也即dp[i-1][weight-w[i]]+c[i]。【也就是前i-1件物品只能装到重量的v-w[i]】 　　　　　　即选择物品和不选择物品这两种情况而已【weight为当前剩余的背包体积】 　　　　　　状态转移方程： 　　　　　　　　dp[i][u] = max{dp[i

1.背景： 1.1 什么是背包问题：背包问题指这样一类问题，题意往往可以抽象成：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。（来自百度百科） 1.2 背包问题的种类：就ACM或者其它算法竞赛而言，背包问题可以分为8种类型，其中最基础的是0/1背包问题。作为动态规划的典型问题，其状态转移方程往往需要认真理解并能自行推出。这八种问题分别为：0/1背包问题、完全背包问题、多重背包问题、混合三种背包问题、二维费用背包问题、分组背包问题、有依赖的背包问题、求背包问题的方案总数。 2.0/1背包问题 2.1 问题描述：有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用（即体积，下同）是w[i]，价值是val[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。 2.2 解题思路：用动态规划的思路，阶段就是“物品的件数”，状态就是“背包剩下的容量”，那么很显然f [ i , v ] 就设为从前 i 件物品中选择放入容量为 v 的背包最大的价值。那么状态转移方程为： f[i][v]=max{ f[i-1][v],f[i-1][v-w[i]]+val[i] }。 这个方程可以如下解释：只考虑子问题“将前 i 个物品放入容量为 v 的背包中的最大价值”那么考虑如果不放入 i ，最大价值就和 i 无关，就是 f[ i

- -一个月前没搞明白，最近再学习一遍搞明白了。 问题： 给定3个物品 a 价值1000， 重量1kg b 价值2000， 重量4kg c 价值1500， 重量3kg 用容量为4kg的背包最多可以装价值多少的物品？ 背包问题就是类似这种给定容量求最优解的问题，有很多种，这里说的是01背包问题。 01背包：所有物品只有一个，只所以背包中任意物品的的数量只可能是0 或者 1。 动态规划思路： 当前情况的思考建立在之前的思考之上。 01背包的逻辑思考过程： - -之前网上各种版本都是来个表格然后就开始代码了。。。一脸懵逼 我先假设只考虑第1个物品a，这样我就可以得到： 背包最大容量为0, 1,2,3,4时，最大价值为0, 1000,1000,1000,1000 然后再考虑前2个物品（a 和 b） 先考虑： 背包最大容量为0,1,2,3时， b装不下，所以还是用只考虑前1个物品时的策略，可以得到0, 1000,1000,1000 背包最大容量为4时，b可以装下了，这时候就面临选择，比较：是考虑往背包中加入b时的价值高， 还是只考虑前1个物品时的价值高。 1. 假设加入了b： 背包剩余可用的容量是: 背包最大容量 - b占用的容量 = 4 - 4 = 0; 此时背包物品的最大价值是： b的价值 + 剩余容量所能存放的还没加入b之前的最大值。 而剩余容量所能存放的还没加入b之前的最大值

动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若⼲个⼦问题。但是经分解得到的⼦问题往往不是互相独⽴的 动态规划策略通常⽤于求解最优化问题。 – 在这类问题中，可能会有许多可⾏解。每⼀个解都对应于⼀个值，我们希望找到具有最优值的那个解，即最优解。 – 动态 　　• 在⼀定条件下，当前阶段的状态和下⼀阶段的状态之间的转移。 – 规划 　　• 建⽴状态转移⽅程（或称各阶段间的递推关系式），将各个阶段的状态以表格式⽅法存储。 　　• 表格式⽅法：⽤⼀个表来记录所有已解决的⼦问题的解 过程： • 阶段 stage 　　– 将所给问题的过程，按时间或空间特征分解成若⼲相互联系的阶段，以便按次序去求每阶段的解。 • 状态 state 　　– 各阶段开始时的客观条件叫做状态。 • 决策 decision 　　– 当各阶段的状态确定以后，就可以做出不同的决定，从⽽确定下⼀阶段的状态，这种决定称为决策。 • 状态转移 transition 　　– 根据上⼀阶段的状态和决策来导出本阶段的状态。 在分治法求解时，有些问题被重复计算了许多次 如果能够保存已解决的⼦问题的答案，⽽在需要时再找出已求得的答案，就可以避免⼤量重复计算，从⽽得到多项式时间算法。 基本要素 • 最优⼦结构(optimal substructure) 　　– 原问题的最优解包含了⼦问题的最优解。 　　– 该性质使我们能够以

0-1背包 Description 给定n(n<=100)种物品和一个背包。物品i的重量是wi，价值为vi，背包的容量为C(C<=1000)。问:应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大? 在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有两个选择：装入或不装入。不能将物品i装入多次，也不能只装入部分物品i。 Input 共有n+1行输入： 第一行为n值和c值，表示n件物品和背包容量c； 接下来的n行，每行有两个数据，分别表示第i(1≤i≤n)件物品的重量和价值。 Output 输出装入背包中物品的最大总价值。 Sample Input 1 5 10 2 6 2 3 6 5 5 4 4 6 Sample Output 1 15 分析 ： 　　n为有n个物品，c为背包空间 　　设dp[i][j]为在前i个物品中选择，背包空间为j时，装入的最大价值，初始化：边界0初始化为0，答案在dp[n][c] 　　如果当前j装得下 j >= obj_weight ，状态方程： 　　dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - obj_weight] + obj_price); 　　如果当前j装不下，状态方程： 　　dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 　 #include <iostream> using namespace std;

问题描述 0-1背包问题:给定 \(n\) 种物品和一背包。物品i的重量是 \(w_i\) ,其价值为 \(v_i\) ,背包的容量为 \(C\) 。问:应该如何选择装入背包的物品，使得装人背包中物品的总价值最大? 在选择装人背包的物品时,对每种物品 \(i\) 只有两种选择,即装人背包或不装入背包。不能将物品 \(i\) 装入背包多次,也不能只装入部分的物品 \(i\) 。因此,该问题称为 0-1背包问题 。 此问题的形式化描述是,给定 \(C>0\) , \(w_i>0\) , \(v_i>0\) , \(1≤i≤n\) ,要求找出 \(n\) 元0-1向量 \((x_1,x_2,\cdots,x_n), x_i\in\{0,1\},1 \leq i \leq n\) ，使得 \(\sum_{i=1}^{n} w_ix_i \leq C\) ，而且 \(\sum_{i=1}^{n} v_ix_i\) 达到最大。因此,0-1背包问题是一个特殊的整数规划问题。 \[max\sum_{i=1}^{n} v_ix_i\] \[\left\{\begin{matrix} \sum_{i=1}^{n} w_ix_i \leq C & \\ x_i\in\{0,1\}, & 1 \leq i \leq n \end{matrix}\right.\] 最优子结构性质 0