欧拉公式

复数 x=a+bi$x=a+bi$ ,其中 a$a$ 和 b$b$ 是实数，i$i$ 是虚数单位。在复数 a+bi$a+bi$ 中，a=Re(x)$a=Re(x)$ 称为实部，b=Im(x)$b=Im(x)$ 称为虚部。
计算上 i0=1,i1=i,i2=1,i3=i,i4=1,i5=i...$i^0=1,i^1=i,i^2=1,i^3=i,i^4=1,i^5=i...$
(x+yi)(z+wi)=(xzyw)+(xw+yz)i$(x+yi)(z+wi)=(xzyw)+(xw+yz)i$

对于每一个复数 x=a+bi$x=a+bi$ 表示 (0,0)$(0,0)$ 指向 (a,b)$(a,b)$ 的一个向量。
其中，a表示的是复平面内的横坐标，b表示的是复平面内的纵坐标。表示实数a的点都在x轴上，所以x轴又称为”实轴”;表示纯虚数b的点都在y轴上，所以y轴又称为”虚轴”。

复平面上单位圆上的点可以用 cosθ+isinθ$cos\theta +isin\theta$ 表示

半径为 r$r$ 的圆上的点可以用 R(cosθ+isinθ)$R(cos\theta +isin\theta )$ 表示
有公式为 R(cosθ+isinθ)=elogR+iθ$R(cos\theta +isin\theta )=e^{logR+i\theta }$

那么对于复数的乘法，可以这样理解
R1(cosθ1+isinθ1)R2(cosθ2+isinθ)=elogR1+logR2+i(θ1+θ2)$R_1(cos{\theta }_1+isin{\theta }_1)R_2(cos{\theta }_2+isin{\theta }_{)}=e^{log{R}_1+log{R}_2+i({\theta }_1+{\theta }_2)}$

详情可以看我的博客qaq

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由前置姿势，我们知道

sin(x)cos(x)ex=x1!x33!+x55!...+(1)n1x2n1(2n1)!=1x22!+x44!...+(1)nx2n(2n)!=1+x1!+x22!+x33!+...+xnn!+Rn$$\begin{array}{rl}sin(x)& =\frac{x}{1!}\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}...+(1{)}^{n1}\frac{x^{2n1}}{(2n1)!}\\ cos(x)& =1\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}...+(1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\\ e^x& =1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}+R_n\end{array}$$

将第三个式子带入 x=iθ$x=i\theta$，经变换可以得到 eiθ=cosθ+isinθ$e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta$

这个就是欧拉公式！

其中，将 θ$\theta$ 换成 θ$\theta$，可以得到 eiθ=cosθisinθ$e^{i\theta }=cos\theta isin\theta$
两式相加、相减可以得到 $<!--//--><![CDATA[// ><!-- <!--//--><![CDATA[// ><!-- <!--//--><![CDATA[// ><!-- //--><!]]]]><![CDATA[> //--><!]]>$