欧拉公式

　　原文链接 | https://mp.weixin.qq.com/s/jdZx1FX3MpG9XzB1rMJfTQ 　　欧拉公式被誉为 “宇宙第一公式 ”， 是大名鼎鼎的莱昂哈德·欧拉提出的。这位老大哥提出了很多著名的公式和定理，我们在RSA原理中遇到的欧拉函数就是他提出来的，还有图论中那个著名的七桥问题，也是欧拉提出的。 　　 　　相关阅读： 　　 闲 话复数（1） 复数和复平面 　　 密码疑云 (2)——RSA加密机制需要的数学知识 　　 密码疑云 (3)——详解RSA的加密与解密 　　 单变量微积分30——幂级数和泰勒级数 　　1748年，欧拉在洛桑出版的《Introduction》中第一次出现了一个等式： 　　这就欧拉恒等式。等式的奇妙之处在于，它将数学中最重要的几个常数联系在一起：两个无理数，自然对数e和圆周率π；两个最简单的常数，1和0；还有单位虚数 i。 　　欧拉到底是基于什么样的脑回路写下了这个等式？ 欧拉公式 　　预理解欧拉恒等式，必先理解欧拉公式。欧拉公式的形式很简单： 欧拉公式的由来 　　我们总说站在巨人的肩膀上，其实巨人也是站在另一个巨人的肩膀上，欧拉最早是通过泰勒公式观察出欧拉公式的，把e x 在x 0 =0点展开： 　　 貌似得到了两个更复杂的无穷级数，其实这两个大家伙正是余弦和正弦的泰勒展开式。根据泰勒公式： 　　现在e iθ 可以变得简单了： 　

欧拉公式： \[ e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta \] 证明一 令 \[ f(\theta)=\frac{e^{i\theta}}{\cos \theta + i \sin \theta} \] 对 \(f(\theta)\) 求导，可以得到： \[ \begin{aligned} f^{\prime}(\theta) &= \frac{\left(e^{i\theta}\right)^{\prime}(\cos \theta + i \sin \theta)-e^{i\theta}\left(\cos \theta + i \sin \theta\right)^\prime}{\left(\cos \theta + i \sin \theta\right)^2}\\ &= \frac{i\cdot e^{i\theta}(\cos \theta + i \sin \theta)-e^{i\theta}\left(-\sin \theta + i \cos \theta\right)}{\left(\cos \theta + i \sin \theta\right)^2}\\ &= \frac{i\cdot e^{i\theta}(\cos \theta + i \sin \theta)-i\cdot e^{i\theta}\left

欧拉公式： \[ e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta \] 证明一 令 \[ f(\theta)=\frac{e^{i\theta}}{\cos \theta + i \sin \theta} \] 对 \(f(\theta)\) 求导，可以得到： \[ \begin{aligned} f^{\prime}(\theta) &= \frac{\left(e^{i\theta}\right)^{\prime}(\cos \theta + i \sin \theta)-e^{i\theta}\left(\cos \theta + i \sin \theta\right)^\prime}{\left(\cos \theta + i \sin \theta\right)^2}\\ &= \frac{i\cdot e^{i\theta}(\cos \theta + i \sin \theta)-e^{i\theta}\left(-\sin \theta + i \cos \theta\right)}{\left(\cos \theta + i \sin \theta\right)^2}\\ &= \frac{i\cdot e^{i\theta}(\cos \theta + i \sin \theta)-i\cdot e^{i\theta}\left

复数 x = a + b i x = a + b i ,其中 a a 和 b b 是实数， i i 是虚数单位。在复数 a + b i a + b i 中， a = R e ( x ) a = R e ( x ) 称为实部， b = I m ( x ) b = I m ( x ) 称为虚部。 计算上 i 0 = 1 , i 1 = i , i 2 = 1 , i 3 = i , i 4 = 1 , i 5 = i . . . i 0 = 1 , i 1 = i , i 2 = 1 , i 3 = i , i 4 = 1 , i 5 = i . . . ( x + y i ) ( z + w i ) = ( x z y w ) + ( x w + y z ) i ( x + y i ) ( z + w i ) = ( x z y w ) + ( x w + y z ) i 对于每一个复数 x = a + b i x = a + b i 表示 ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) 指向 ( a , b ) ( a , b ) 的一个向量。 其中，a表示的是复平面内的横坐标，b表示的是复平面内的纵坐标。表示实数a的点都在x轴上，所以x轴又称为”实轴”;表示纯虚数b的点都在y轴上，所以y轴又称为”虚轴”。 复平面上单位圆上的点可以用 c o s θ + i s i n θ c o s θ

　　原文链接 | https://mp.weixin.qq.com/s/jdZx1FX3MpG9XzB1rMJfTQ 　　欧拉公式被誉为“宇宙第一公式”，是大名鼎鼎的莱昂哈德·欧拉提出的。这位老大哥提出了很多著名的公式和定理，我们在RSA原理中遇到的欧拉函数就是他提出来的，还有图论中那个著名的七桥问题，也是欧拉提出的。 　　 　　相关阅读： 　　 闲话复数（1） 复数和复平面 　　 密码疑云 (2)——RSA加密机制需要的数学知识 　　 密码疑云 (3)——详解RSA的加密与解密 　　 单变量微积分30——幂级数和泰勒级数 　　1748年，欧拉在洛桑出版的《Introduction》中第一次出现了一个等式： 　　这就欧拉恒等式。等式的奇妙之处在于，它将数学中最重要的几个常数联系在一起：两个无理数，自然对数e和圆周率π；两个最简单的常数，1和0；还有单位虚数 i。 　　欧拉到底是基于什么样的脑回路写下了这个等式？ 欧拉公式 　　预理解欧拉恒等式，必先理解欧拉公式。欧拉公式的形式很简单： 欧拉公式的由来 　　我们总说站在巨人的肩膀上，其实巨人也是站在另一个巨人的肩膀上，欧拉最早是通过泰勒公式观察出欧拉公式的，把ex在x0=0点展开： 　　貌似得到了两个更复杂的无穷级数，其实这两个大家伙正是余弦和正弦的泰勒展开式。根据泰勒公式： 　　现在eiθ可以变得简单了： 　　当θ

题目链接： https://nanti.jisuanke.com/t/40515 题意：给你一个n，让你在圆上找n个点，最多能把圆分成多少个区域。 欧拉公式：R+V-E=2，其中的R，V，E分别是区域数，点数，边数 想分成最多的区域，只需要满足不会有3根线交于一个点就好。 尝试统计总的结点个数A(n)，与独立线段（包括圆弧上的n段小弧）的总个数B(n)，然后利用欧拉公式就可以得到答案 Ans(n)=B(n)−A(n)+1 这里之所以是加1是因为圆外那个区域我们不算 任意四个点，会形成一个交点，并贡献额外的 2 条独立线段。而任意两点间也会有一个独立线段 故A(n)=n+C(n,4),B(n)=n+2*C(n,4) +C（n,2） (这里的C代表组合数) 故答案为 C(n,4)+C(n,2)+1 #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #include <iostream> using namespace std; typedef long long ll; const long long int mod=1e9+7; ll mod_pow(ll x, ll n, ll p){ //快速幂 ll res = 1; while(n){ if(n & 1) res =res * x % p; x = x * x

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