二叉树基础知识

非 Y 不嫁゛ 提交于 2019-11-28 05:55:32

二叉树基础知识

1. 树定义

树(Tree)是n(n>=0)个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树中:
1)有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点;
2)当n>1时,其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、......、Tn,其中每一个集合本身又是一棵树,并且称为根的子树。

​ 3)每一棵树有且只有一个根节点,子节点没有限制,但是每个节点都互不相交。

上图就是一个普通的数。

2. 树相关概念

​ 2.1节点的度

​ 节点的度就是节点拥有的子树的数目。上图A的节点的度为2。

​ 2.2树的深度

​ 树的深度就是树中节点的最大层次树。上图树的深度为4。

​ 2.3节点关系

​ 树只有一个根节点,其余的为树的孩子节点。分布在根节点的左边的节点称为左孩子,右边为右孩子,左右孩子在同一层次上称为兄弟节点。而根节点即为孩子节点的双亲节点。

3. 二叉树

二叉树定义:二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合,该集合或者为空集(称为空二叉树),或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树组成。

以上即为一颗普通的二叉树。

二叉树特点:1)每个结点最多有两颗子树,所以二叉树中不存在度大于2的结点。
2)左子树和右子树是有顺序的,次序不能任意颠倒。
3)即使树中某结点只有一棵子树,也要区分它是左子树还是右子树。

二叉树性质

1)在二叉树的第i层上最多有2i-1 个节点 。(i>=1)
2)二叉树中如果深度为k,那么最多有2k-1个节点。(k>=1)
3)n0=n2+1 n0表示度数为0的节点数,n2表示度数为2的节点数。
4)在完全二叉树中,具有n个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1,其中[log2n]是向下取整。
5)若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号,则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点有如下特性:

(1) 若 i=1,则该结点是二叉树的根,无双亲, 否则,编号为 [i/2] 的结点为其双亲结点;

(2) 若 2i>n,则该结点无左孩子, 否则,编号为 2i 的结点为其左孩子结点;

(3) 若 2i+1>n,则该结点无右孩子结点, 否则,编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。

4. 满二叉树

在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树,并且所有叶子都在同一层上,这样的二叉树称为满二叉树。如下图。
满二叉树的特点有:
1)叶子只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡。
2)非叶子结点的度一定是2。
3)在同样深度的二叉树中,满二叉树的结点个数最多,叶子数最多。

5. 完全二叉树

何为完全二叉树:对一颗具有n个结点的二叉树按层编号,如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同,则这棵二叉树称为完全二叉树。如下图。

完全二叉树特点:

1)叶子结点只能出现在最下层和次下层。
2)最下层的叶子结点集中在树的左部。
3)倒数第二层若存在叶子结点,一定在右部连续位置。
4)如果结点度为1,则该结点只有左孩子,即没有右子树。
5)同样结点数目的二叉树,完全二叉树深度最小。
:满二叉树一定是完全二叉树,但反过来不一定成立。

6. 二叉树的存储结构

​ 6.1顺序存储结构

​ 二叉树的顺序存储结构就是使用一维数组存储二叉树中的结点,并且结点的存储位置,就是数组的下标索引。如下图二叉树

如图采用数组进行存储:

当二叉树为完全二叉树时,结点数刚好填满数组。

但是当二叉树不是完全二叉树时,则会造成很大的存储空间的浪费。例如:

空白表示没有节点,则在数组中存储则为:

这样会造成空间的极大浪费。

6.2二叉链表存储结构

利用数组存储二叉树节点会造成空间的浪费,那么采用二叉链表则能够充分的利用存储空间。

二叉链表的节点数据,一个节点由数据域和左孩子指针,右孩子指针组成。

采用二叉链表存储二叉树,则变成了如上图的格式,因为每一个节点都是由数据域和左孩子指针,右孩子指针组成。那么只需要存储指向左节点或者右节点的指针即可,这样就避免了存储空间的浪费。

7. 二叉树的遍历

二叉树的遍历是指从二叉树的根结点出发,按照某种次序依次访问二叉树中的所有结点,使得每个结点被访问一次,且仅被访问一次。

二叉树的遍历分为前序遍历,中序遍历,后序遍历,层序遍历四种遍历方式。

例如,对上图进行四种遍历。

7.1前序遍历

前序遍历就是从二叉树的根结点出发,当第一次到达结点时就输出结点数据,按照先向左在向右的方向访问。

访问规则如下:

从根结点出发,则第一次到达结点A,故输出A;

继续向左访问,第一次访问结点B,故输出B;
按照同样规则,输出D,输出H;
当到达叶子结点H,返回到D,此时已经是第二次到达D,故不在输出D,进而向D右子树访问,D右子树不为空,则访问至I,第一次到达I,则输出I;
I为叶子结点,则返回到D,D左右子树已经访问完毕,则返回到B,进而到B右子树,第一次到达E,故输出E;
向E左子树,故输出J;
按照同样的访问规则,继续输出C、F、G;

​ 则上图前序遍历结果为:ABDHIEJCFG

7.2中序遍历

中序遍历就是从二叉树的根结点出发,当第二次到达结点时就输出结点数据,按照先向左在向右的方向访问。

遍历规则如下:

从根结点出发,则第一次到达结点A,不输出A,继续向左访问,第一次访问结点B,不输出B;继续到达D,H;
到达H,H左子树为空,则返回到H,此时第二次访问H,故输出H;
H右子树为空,则返回至D,此时第二次到达D,故输出D;
由D返回至B,第二次到达B,故输出B;
按照同样规则继续访问,输出J、E、A、F、C、G;

则上图中序遍历结果为:HDIBJEAFCG

7.3后序遍历

后序遍历就是从二叉树的根结点出发,当第三次到达结点时就输出结点数据,按照先向左在向右的方向访问。

从根结点出发,则第一次到达结点A,不输出A,继续向左访问,第一次访问结点B,不输出B;继续到达D,H;
到达H,H左子树为空,则返回到H,此时第二次访问H,不输出H;
H右子树为空,则返回至H,此时第三次到达H,故输出H;
由H返回至D,第二次到达D,不输出D;
继续访问至I,I左右子树均为空,故第三次访问I时,输出I;
返回至D,此时第三次到达D,故输出D;
按照同样规则继续访问,输出J、E、B、F、G、C,A;

则上图后序遍历结果为: HIDJEBFGCA

7.4层序遍历

层次遍历就是按照树的层次自上而下的遍历二叉树。

则上图层序遍历结果为: ABCDEFGHIJ

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