二叉树基础知识
1. 树定义
树（Tree）是n（n>=0)个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树中：
1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；
2）当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、......、Tn，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树。
3）每一棵树有且只有一个根节点，子节点没有限制，但是每个节点都互不相交。
上图就是一个普通的数。
2. 树相关概念
2.1节点的度
节点的度就是节点拥有的子树的数目。上图A的节点的度为2。
2.2树的深度
树的深度就是树中节点的最大层次树。上图树的深度为4。
2.3节点关系
树只有一个根节点，其余的为树的孩子节点。分布在根节点的左边的节点称为左孩子，右边为右孩子，左右孩子在同一层次上称为兄弟节点。而根节点即为孩子节点的双亲节点。
3. 二叉树
二叉树定义：二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树组成。
以上即为一颗普通的二叉树。
二叉树特点：1）每个结点最多有两颗子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。
2）左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。
3）即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。
二叉树性质：
1）在二叉树的第i层上最多有2i-1 个节点 。（i>=1）
2）二叉树中如果深度为k,那么最多有2k-1个节点。(k>=1）
3）n0=n2+1 n0表示度数为0的节点数，n2表示度数为2的节点数。
4）在完全二叉树中，具有n个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1，其中[log2n]是向下取整。
5）若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点有如下特性：
(1) 若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲, 否则，编号为 [i/2] 的结点为其双亲结点;
(2) 若 2i>n，则该结点无左孩子， 否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点；
(3) 若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点， 否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。
4. 满二叉树
在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。如下图。
满二叉树的特点有：
1）叶子只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡。
2）非叶子结点的度一定是2。
3）在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。
5. 完全二叉树
何为完全二叉树：对一颗具有n个结点的二叉树按层编号，如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。如下图。
完全二叉树特点：
1）叶子结点只能出现在最下层和次下层。
2）最下层的叶子结点集中在树的左部。
3）倒数第二层若存在叶子结点，一定在右部连续位置。
4）如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即没有右子树。
5）同样结点数目的二叉树，完全二叉树深度最小。
注：满二叉树一定是完全二叉树，但反过来不一定成立。
6. 二叉树的存储结构
6.1顺序存储结构
二叉树的顺序存储结构就是使用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置，就是数组的下标索引。如下图二叉树
如图采用数组进行存储：
当二叉树为完全二叉树时，结点数刚好填满数组。
但是当二叉树不是完全二叉树时，则会造成很大的存储空间的浪费。例如：
空白表示没有节点，则在数组中存储则为：
这样会造成空间的极大浪费。
6.2二叉链表存储结构
利用数组存储二叉树节点会造成空间的浪费，那么采用二叉链表则能够充分的利用存储空间。
二叉链表的节点数据，一个节点由数据域和左孩子指针，右孩子指针组成。
采用二叉链表存储二叉树，则变成了如上图的格式，因为每一个节点都是由数据域和左孩子指针，右孩子指针组成。那么只需要存储指向左节点或者右节点的指针即可，这样就避免了存储空间的浪费。
7. 二叉树的遍历
二叉树的遍历是指从二叉树的根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中的所有结点，使得每个结点被访问一次，且仅被访问一次。
二叉树的遍历分为前序遍历，中序遍历，后序遍历，层序遍历四种遍历方式。
例如，对上图进行四种遍历。
7.1前序遍历
前序遍历就是从二叉树的根结点出发，当第一次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。
访问规则如下：
从根结点出发，则第一次到达结点A，故输出A;
继续向左访问，第一次访问结点B，故输出B；
按照同样规则，输出D，输出H；
当到达叶子结点H，返回到D，此时已经是第二次到达D，故不在输出D，进而向D右子树访问，D右子树不为空，则访问至I，第一次到达I，则输出I；
I为叶子结点，则返回到D，D左右子树已经访问完毕，则返回到B，进而到B右子树，第一次到达E，故输出E；
向E左子树，故输出J；
按照同样的访问规则，继续输出C、F、G；
则上图前序遍历结果为：ABDHIEJCFG
7.2中序遍历
中序遍历就是从二叉树的根结点出发，当第二次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。
遍历规则如下：
从根结点出发，则第一次到达结点A，不输出A，继续向左访问，第一次访问结点B，不输出B；继续到达D，H；
到达H，H左子树为空，则返回到H，此时第二次访问H，故输出H；
H右子树为空，则返回至D，此时第二次到达D，故输出D；
由D返回至B，第二次到达B，故输出B；
按照同样规则继续访问，输出J、E、A、F、C、G；
则上图中序遍历结果为：HDIBJEAFCG
7.3后序遍历
后序遍历就是从二叉树的根结点出发，当第三次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。
从根结点出发，则第一次到达结点A，不输出A，继续向左访问，第一次访问结点B，不输出B；继续到达D，H；
到达H，H左子树为空，则返回到H，此时第二次访问H，不输出H；
H右子树为空，则返回至H，此时第三次到达H，故输出H；
由H返回至D，第二次到达D，不输出D；
继续访问至I，I左右子树均为空，故第三次访问I时，输出I；
返回至D，此时第三次到达D，故输出D；
按照同样规则继续访问，输出J、E、B、F、G、C，A；
则上图后序遍历结果为： HIDJEBFGCA
7.4层序遍历
层次遍历就是按照树的层次自上而下的遍历二叉树。
则上图层序遍历结果为： ABCDEFGHIJ