题意
https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2595
思路
是一道比较裸的斯坦纳树呢~
题意等价于选出包含一些点的最小生成树,这就是斯坦纳树的功能。
举个例子,给定 \(n\) 个点,其中 \(k\) 个点被称作关键点,\(m\) 条带权边,求原图的一个权值最小的子图,这张子图图为包含这 \(k\) 个点的树。
我们定义 \(dp[i][j]\) 为关键点集合 \(i\) 与任意节点 \(j\) 连通的最小权的树。考虑转移这个 \(dp\) 数组,比较显然的是以下的子集划分:
\[
dp[i][j]=\min(dp[k][j]+dp[i\setminus k][j])
\]
其中 \(k\) 是 \(i\) 的子集。
当然这样转移是不够的,在关键点集合 \(i\) 不变的情况下,\(j\) 有可能会发生改变,即发生如下转移:
\[
\text{chk_min}(dp[i][k],dp[i][j]+w(j,k))
\]
其中 \(w(j,k)\) 为一条 \(j\) 指向 \(k\) 的边的边权。不难发现,这个过程和最短路的松弛操作是一样的,那么就可以利用最短路进行转移,没有负边就跑 \(\text{dijkstra}\),否则跑 \(\text{spfa}\) 。
这道题求的东西略微不同,是点有点权,不过无所谓,转移稍稍改动即可。然后还要输出方案,那么在 \(dp\) 转移的时候还需要记录从哪里转移过来。
代码
#include<bits/stdc++.h> #define FOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i<=i##END;++i) #define DOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i>=i##END;--i) template<typename T,typename _T>inline bool chk_min(T &x,const _T y){return y<x?x=y,1:0;} template<typename T,typename _T>inline bool chk_max(T &x,const _T y){return x<y?x=y,1:0;} typedef long long ll; template<const int N,const int M,typename T>struct LinkedList { int head[N],nxt[M],tot;T to[M]; LinkedList(){clear();} T &operator [](const int x){return to[x];} void clear(){memset(head,-1,sizeof(head)),tot=0;} void add(int u,T v){to[tot]=v,nxt[tot]=head[u],head[u]=tot++;} #define EOR(i,G,u) for(int i=G.head[u];~i;i=G.nxt[i]) }; struct node { int at,path; bool operator <(const node &_)const{return path>_.path;} }; LinkedList<103,103*4,int>G; std::priority_queue<node>Q; int dp[(1<<10)+3][103]; bool lasknd[(1<<10)+3][103]; int las[(1<<10)+3][103]; bool mark[103]; int mp[103],ori[13]; int pw[103]; int n,m,K; inline int hs(int x,int y){return x*m+y;} void Steiner() { FOR(i,0,(1<<K)-1)FOR(j,0,n-1)dp[i][j]=1e9; FOR(i,0,K-1)dp[1<<i][ori[i]]=0; FOR(i,1,(1<<K)-1) { FOR(j,0,n-1) for(int k=(i-1)&i;k;k=(k-1)&i) if(chk_min(dp[i][j],dp[k][j]+dp[i^k][j]-pw[j])) { lasknd[i][j]=0; las[i][j]=k; } while(!Q.empty())Q.pop(); FOR(j,0,n-1)Q.push((node){j,dp[i][j]}); while(!Q.empty()) { node now=Q.top();Q.pop(); int u=now.at; if(now.path>dp[i][u])continue; EOR(k,G,u) { int v=G[k],w=pw[v]; if(chk_min(dp[i][v],dp[i][u]+w)) { lasknd[i][v]=1; las[i][v]=u; Q.push((node){v,dp[i][v]}); } } } } } void backtrack(int i,int j) { mark[j]=1; if(mp[j]!=-1&&i==(1<<mp[j]))return; if(!lasknd[i][j]) backtrack(las[i][j],j),backtrack(i^las[i][j],j); else backtrack(i,las[i][j]); } int main() { scanf("%d%d",&n,&m); FOR(i,0,n-1)FOR(j,0,m-1) { scanf("%d",&pw[hs(i,j)]); if(!pw[hs(i,j)])mp[hs(i,j)]=K,ori[K]=hs(i,j),K++; else mp[hs(i,j)]=-1; } FOR(i,0,n-1)FOR(j,0,m-2) { G.add(hs(i,j),hs(i,j+1)); G.add(hs(i,j+1),hs(i,j)); } FOR(i,0,n-2)FOR(j,0,m-1) { G.add(hs(i,j),hs(i+1,j)); G.add(hs(i+1,j),hs(i,j)); } n*=m; Steiner(); int ans=1e9,id; FOR(i,0,n-1)if(chk_min(ans,dp[(1<<K)-1][i]))id=i; backtrack((1<<K)-1,id); printf("%d\n",ans); FOR(i,0,n-1) { if(!pw[i])putchar('x'); else putchar(mark[i]?'o':'_'); if(i%m==m-1)putchar('\n'); } return 0; }