斯坦纳

最小斯坦纳树 问题描述： 给定一个包含 \(n\) 个结点和 \(m\) 条带权边的无向连通图 \(G=(V,E)\) 。 再给定包含 \(k\) 个结点的点集 \(S\) ，选出 \(G\) 的子图 \(G'=(V',E')\) 使得： \(S\subseteq V'\) \(G′\) 为连通图； \(E′\) 中所有边的权值和最小。 你只需要求出 \(E′\) 中所有边的权值和。 分析： \(dp[i][s]\) 表示 以 i 为根的一棵树，包含集合 S 中所有点的最小代价 \(i\) 号点不一定在 \(s\) 中 \(w[i][j] + dp[j][s] -> dp[i][s]\) \(dp[i][T] + dp[i][S-T] -> dp[i][S]\quad(T \subseteq S)\) 第二类转移可以用枚举子集来转移，第一类转移是一个三角不等式，可以用 \(spfa\) 或者 \(dijkstra\) 第一类转移复杂度为 \(O(m\log m \times 2^k)\) 第二类转移复杂度为 \(O(n\times 3^n)\) ,子集枚举的时间复杂度可以用二项式定理求出 代码： const int N = 100 + 5; const int M = 1010; int n, m, k, x, y, z, tot; int head[N], ver[M], nxt

Input 第一行有两个整数，N和 M，描述方块的数目。 接下来 N行， 每行有 M 个非负整数， 如果该整数为 0， 则该方块为一个景点； 否则表示控制该方块至少需要的志愿者数目。 相邻的整数用 （若干个） 空格隔开， 行首行末也可能有多余的空格。 Output 由 N + 1行组成。第一行为一个整数，表示你所给出的方案 中安排的志愿者总数目。 接下来 N行，每行M 个字符，描述方案中相应方块的情况： z ‘_’（下划线）表示该方块没有安排志愿者； z ‘o’（小写英文字母o）表示该方块安排了志愿者； z ‘x’（小写英文字母x）表示该方块是一个景点； 注：请注意输出格式要求，如果缺少某一行或者某一行的字符数目和要求不 一致（任何一行中，多余的空格都不允许出现） ，都可能导致该测试点不得分。 Sample Input 4 4 0 1 1 0 2 5 5 1 1 5 5 1 0 1 1 0 Sample Output 6 xoox ___o ___o xoox Hint 对于100%的数据，N,M,K≤10，其中K为景点的数目。输入的所有整数均在[0,2^16]的范围内 题解 显然斯坦纳树（好像也可以插头DP） 怎么输出方案呢？ 记录一下每个点是从哪个点转移过来的即可 最后输出方案的时候用一个dfs，怎么转移过来的，就怎么dfs回去 （WA了一次是因为输出了大写的X

目录 @description@ @solution@ @accepted code@ @details@ @description@ 「人生就像一盒巧克力，你永远不知道吃到的下一块是什么味道。」 明明收到了一大块巧克力，里面有若干小块，排成 n 行 m 列。每一小块都有自己特别的图案 \(c_{i, j}\) ，它们有的是海星，有的是贝壳，有的是海螺……其中还有一些因为挤压，已经分辨不出是什么图案了。明明给每一小块巧克力标上了一个美味值 \(a_{i, j}\) （ \(0 \leq a_{i, j} \leq 1\) ），这个值越大，表示这一小块巧克力越美味。 ​正当明明咽了咽口水，准备享用美味时，舟舟神奇地出现了。看到舟舟恳求的目光，明明决定从中选出一些小块与舟舟一同分享。 ​舟舟希望这些被选出的巧克力是连通的（两块巧克力连通当且仅当他们有公共边），而且这些巧克力要包含至少 k（ \(1 \leq k \leq 5\) ）种。而那些被挤压过的巧克力则是不能被选中的。 明明想满足舟舟的愿望，但他又有点「抠」，想将美味尽可能多地留给自己。所以明明希望选出的巧克力块数能够尽可能地少。如果在选出的块数最少的前提下，美味值的中位数（我们定义 n 个数的中位数为第 \(\lfloor \frac{n + 1}{2} \rfloor\) 小的数）能够达到最小就更好了。 你能帮帮明明吗？

斯坦纳树 斯坦纳树大概就是指在一张无向有权图中给定若干个关键点，求出一个边权和最小的边集，使得在仅保留这个边集中的边的情况下，任意两个关键点相互之间连通。 （当然如果是点权也没有问题，因为这个算法得扩展性很强？） 就以下面这题为例讲一下求斯坦纳树吧。 题目 这就是求斯坦纳树的模板题，不过写起来因为坐标二维和数字相互转化的问题比较麻烦。 然后求斯坦纳树大概是一个NP问题，我们只能设计一个状压来解决。 设 \(f_{i,S}\) 表示以关键点 \(i\) 为根（或者说在包含关键点 \(i\) 的情况下），当前已经连通的关键点集合为 \(S\) 的最小代价。 转移分为两种： \(1.f_{i,S}=\min\limits_{t\subset s}(f_{i,t}+f_{i,s\setminus t}-a_i)\) 转移的意义非常显然就不说了， \(-a_i\) 是因为 \(i\) 这个点会被重复算两次。 如果是边权代价的话可以把 \(-a_i\) 去掉。 \(2.f_{i,S}=\min\limits_{\exists (i,j)\in E}(f_{j,S}+a_i)\) 这个类似于Bellman-Ford中的松弛操作。 如果是边权代价的话把 \(a_i\) 换成 \(w(e_{i,j})\) 。 然而转移顺序比较麻烦，我们需要制定一个符合拓扑序的转移顺序。 一种可行的方案是先枚举集合

1 来源： https://www.cnblogs.com/speedsnail/p/11592907.html

$dp[i][state]$ 表示以$i$为根，指定集合中的点的连通状态为state的生成树的最小总权值 有两种转移方向： 1、先通过连通状态的子集进行转移。 2、在当前枚举的连通状态下，对该连通状态进行松弛操作。 P4294 [WC2008]游览计划 注意景点的个数不超过10个。 $dp[i][j][state]$ 表示在$[i, j]$这个点与state中对应点连通的最小代价。 那么就可以用状压DP + spfa求解。 由于要输出方案，可以记录每个状态的前一个状态，最后dfs跑一遍就行了。 // #pragma GCC optimize(2) // #pragma GCC optimize(3) // #pragma GCC optimize(4) #include <algorithm> #include <iterator> #include <iostream> #include <cstring> #include <cstdlib> #include <iomanip> #include <bitset> #include <cctype> #include <cstdio> #include <string> #include <vector> #include <stack> #include <cmath> #include <queue> #include

题意 https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2595 思路 是一道比较裸的斯坦纳树呢～ 题意等价于选出包含一些点的最小生成树，这就是斯坦纳树的功能。 举个例子，给定 \(n\) 个点，其中 \(k\) 个点被称作关键点， \(m\) 条带权边，求原图的一个权值最小的子图，这张子图图为包含这 \(k\) 个点的树。 我们定义 \(dp[i][j]\) 为关键点集合 \(i\) 与任意节点 \(j\) 连通的最小权的树。考虑转移这个 \(dp\) 数组，比较显然的是以下的子集划分： \[ dp[i][j]=\min(dp[k][j]+dp[i\setminus k][j]) \] 其中 \(k\) 是 \(i\) 的子集。 当然这样转移是不够的，在关键点集合 \(i\) 不变的情况下， \(j\) 有可能会发生改变，即发生如下转移： \[ \text{chk_min}(dp[i][k],dp[i][j]+w(j,k)) \] 其中 \(w(j,k)\) 为一条 \(j\) 指向 \(k\) 的边的边权。不难发现，这个过程和最短路的松弛操作是一样的，那么就可以利用最短路进行转移，没有负边就跑 \(\text{dijkstra}\) ，否则跑 \(\text{spfa}\) 。 这道题求的东西略微不同，是点有点权，不过无所谓

8.10总结 得分 60+0+30 T2挂了10分，T3挂了30分 T3没看到要mod!!! T1 正解 类欧 T2 正解 斯坦纳树 对于每一层，赋好初值之后做一次斯坦纳树把那一层的宝藏连起来 然后把这一层的全部宝藏看作一个宝藏给下一层赋初值。 T3 正解 把每一行相连的块压成一个点。 对那些点连边，做树形dp。 列也同理。 小结 一定要注意有没有模数！！！ 遇到难题不要慌，先把暴力分拿满 来源： https://www.cnblogs.com/leason-lyx/p/11333965.html