前言
相关延申
- 对数函数$f(x)=log_a^;x$，其抽象函数为$f(x)+f(y)=f(x\cdot y)$； $f(x)-f(y)=$$f(\cfrac{x}{y})$；
典例剖析
<LT>例1</LT>【2016浙江高考题】已知$a>0$，$b>0$，且$a\neq 1$，$b\neq 1$，若$log_ab>1$，则【D】
<div class="XZXX">$A、(a-1)(b-1)<0$ $B、(a-1)(a-b)>0$ $C、(b-1)(b-a)<0$ $D、(b-1)(b-a)>0$</div>
分析： 由$log_ab>1=log_aa$可得，
①当$a>1$时，得到$b>a$，即$b>a>1$，则有$b-a>0$且$b-1>0$；
②当$0<a<1$时，得到$b<a$，即$b<a<1$，则有$b-a<0$且$b-1<0$；
综上可得，$(b-1)(b-a)>0$，故选$D$.
<LT>例2</LT>【2019届高三理科数学对数与对数函数课时作业第9题】若实数$a$的值能使得函数$f(x)=$ $log_a(x^2+\cfrac{3}{2}x)$ $(a>0，a\neq 1)$在区间$(\cfrac{1}{2}，+\infty)$内恒有$f(x)>0$，则$f(x)$的单调递增区间为【】
<div class="XZXX">$A.(0，+\infty)$； $B.(2，+\infty)$； $C.(1，+\infty)$； $D.(\cfrac{1}{2}，+\infty)$；</div>
分析： 设内函数$g(x)=t=x^2+\cfrac{3}{2}x=(x+\cfrac{3}{4})^2-\cfrac{9}{16}$，对称轴为$x=-\cfrac{3}{4}$
令$g(x)>0$，解得$x<-\cfrac{3}{2}$或$x>0$，即定义域为$(-\infty，-\cfrac{3}{2})\cup(0，+\infty)$，
则对内函数$y=g(x)$而言，在区间$(-\infty，-\cfrac{3}{2})$上单调递减，在区间$(0，+\infty)$上单调递增，
若$0<a<1$，则外函数$y=log_at$在$(0，+\infty)$上单调递减，
故复合函数$y=f(x)$在区间$(0，+\infty)$上单调递减，故在区间$(\cfrac{1}{2}，+\infty)$上也单调递减，
而$f(\cfrac{1}{2})=0$，故当$x>\cfrac{1}{2}$时，必有$f(x)<f(\cfrac{1}{2})=0$，故不满足在区间$(\cfrac{1}{2}，+\infty)$内恒有$f(x)>0$，
故底数$a>1$，即外函数$y=log_at$在$(0，+\infty)$上单调递增，
此时复合函数的单调递增区间为$(0，+\infty)$，故选$A$。
解后反思：本题目的叙述有些模糊，导致题意理解多少有点偏差，其实前半句的用意是为了告诉你，底数$a>1$。
<LT>例3</LT>【2019届高三理科数学对数与对数函数课时作业第16题】设函数$f(x)=log_a(1+x)+log_a(3-x)$ $(a>0，a\neq 1)$，且$f(1)=2$，
（1）求$a$的值及$f(x)$的定义域；
分析：由于$f(1)=log_a4=2$，解得$a=2$；
由$\left{\begin{array}{l}{1+x>0}\{3-x>0}\end{array}\right.$，
解得$-1<x<3$，故定义域为$(-1，3)$。
（2）求函数$f(x)$在区间$[0，\cfrac{3}{2}]$上的最大值；
分析：$f(x)=log_a(1+x)+log_a(3-x)=log_2[(1+x)(3-x)]$
$=log_2[-(x-1)^2+4]$，
当$x\in (-1，1]$时，$f(x)$为增函数；当$x\in (1，3)$时，$f(x)$为减函数；
故$f(x)_{max}=f(1)=2$。
<LT>例4</LT>【2019届高三理科数学对数与对数函数课时作业第17题】已知函数$f(x)=log_a(a^{2x}+t)$，其中$a>0，a\neq 1$，
（1）当$a=2$时，若$f(x)<x$无解，求$t$的取值范围；
分析：当$a=2$时，$f(x)=log_2(4^x+t)$，定义域为$R$，
则由$f(x)<x$无解，可知不等式$f(x)< x$的解集为$x\in \varnothing$，
则不等式$f(x)\ge x$的解集为$x\in R$，即$f(x)\ge x$在$R$上恒成立，
即$log_2(4^x+t)\ge x=log_22^x$在$R$上恒成立，
故$4^x+t\ge 2^x$在$R$上恒成立，分离参数得到，
$t\ge 2^x-4^x$在$R$上恒成立，
令$2^x=k>0$，则$2^x-4^x=k-k^2=g(k)(k>0)$，需要求$g(k)_{max}$，
又$g(k)=-k^2+k=-(k-\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{1}{4}$，
故$g(k)_{max}=g(\cfrac{1}{2})=\cfrac{1}{4}$，
故$t\ge \cfrac{1}{4}$，即$t\in [\cfrac{1}{4}，+\infty)$。
（2）若存在实数$m，n(m<n)$，使得$x\in [m，n]$时，函数$f(x)$的值域也为$[m，n]$，求$t$的取值范围；
分析：不论底数$a$取何值，复合函数$f(x)=log_a(a^{2x}+t)$在给定定义域$[m，n]$上都是单调递增的，
故有$\left{\begin{array}{l}{f(m)=m}\{f(n)=n}\end{array}\right.$，即$\left{\begin{array}{l}{log_a(a^{2m}+t)=m}\{log_a(a^{2n}+t)=n}\end{array}\right.$，
即$\left{\begin{array}{l}{a^{2m}+t=a^m}\{a^{2n}+t=a^n}\end{array}\right.$，$\left{\begin{array}{l}{(a^m)^2-a^m+t=0}\{(a^n)^2-a^n+t=0}\end{array}\right.$，
由于$a^m\neq a^n$，且$a^m>0$，$a^n>0$，
故$a^m、a^n$是方程$x^2-x+t=0$的两个不相等正实根，
对方程$x^2-x+t=0$而言，有两个正实根的充要条件是$\left{\begin{array}{l}{\Delta >0}\{x_1+x_2=1>0}\{x_1x_2=t>0}\end{array}\right.$，
即$\left{\begin{array}{l}{\Delta=1-4t>0}\{x_1x_2=t>0}\end{array}\right.$，解得$0<t<\cfrac{1}{4}$。
故求$t$的取值范围为$(0，\cfrac{1}{4})$；
延申阅读：1、一元二次方程根的分布；2、能合二为一的素材
来源：oschina
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