均值不等式习题 | 易学教程

典例剖析

<LT>例1</LT>均值不等式中有一类常考题型，比如，求限定条件下的最值问题，对应的解决方法是：常数代换,乘常数再除常数。

【模型1】：已知$2m+3n=2，m>0，n>0$，求$\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}$的最小值[或求$\cfrac{4n+m}{mn}$的最小值，难度稍微增大一点]。

思路：给定条件是整式，求分式的最值，常数代换,乘常数再除常数，部分使用均值不等式

分析如下：$\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}=\cfrac{1}{2}\cdot (2m+3n）(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n})=\cfrac{1}{2}\cdot (8+3+\cfrac{2m}{n}+\cfrac{12n}{m})=\cdots$

【模型2】：已知$\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}=2，m>0，n>0$，求 $2m+3n$的最小值。

思路：给定条件是分式，求整式的最值，常数代换,乘常数再除常数，部分使用均值不等式

【对照1】：已知$\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}=1，a>0，b>0$，求 $\cfrac{2}{a-1}+\cfrac{1}{b-2}$的最小值。

思路：给定条件是分式，求分式的最值，变量集中，再使用均值不等式

【对照2】：已知$2a+b=1，a>0，b>0$，求 $a^2+2b^2$的最小值。

思路：给定条件是整式，求整式的最值，变量集中，用函数求解最值

改变限定条件的给出方式：

【变式1】限定条件以简单变形形式给出，

如已知$m>0，n>0，m+\cfrac{3}{2}n=1$，求$\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}$的最小值。

又或已知$m>0，n>0，\cfrac{1}{n}+\cfrac{3n}{2m}=\cfrac{1}{mn}$，求$\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}$的最小值。

【变式2】限定条件以直线的形式给出，

如已知点$P(m，n)$在直线$2x+3y=2，x>0，y>0$上，求$\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}$的最小值。

【变式3】已知直线$ax+by-6=0(a，b>0)$过圆$x^2+y^2-2x-4y=0$的圆心(或直线平分此圆或圆上存在两个点关于直线对称)，求$\cfrac{4}{a}+\cfrac{1}{b}$的最小值。

【变式4】限定条件以线性规划形式给出，

如已知$x，y$满足约束条件$\left{\begin{array}{l}{x+y\ge 3}\{x-y\ge -1}\{2x-y\leq 3}\end{array}\right.$，若目标函数$z=ax+by（a＞0，b＞0）$的最大值为10，则$\cfrac{5}{a}+\cfrac{4}{b}$的最小值为多少？

【变式5】限定条件以极限或定积分的形式给出

如已知$\lim\limits_{x\to 1^+} f(x)=\lim\limits_{x\to 1^+}\cfrac{x}{x^2+3x+1}=m+n$，求$\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}$的最小值。

如已知$\int_{0}^{2} x, dx=m+n，m>0，n>0$，求$\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}$的最小值。

【变式6】限定条件以二项式形式给出，如

已知$(2x+1)^9$展开式中，含$x^3$项的系数为$m+n，m>0，n>0$，求$\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}$的最小值。

【变式7】限定条件以数列形式给出，如

已知正项等比数列${a_n}$满足：$a_7=a_6+2a_5$，若存在两项$a_m，a_n$，使得$a_ma_n=16a_1^2$，求$\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}$的最小值。

【变式8】以三点共线的向量形式给出(如宝鸡市三检)，设向量$\overrightarrow{OA}=(1，-2)$，$\overrightarrow{OB}=(a，-1)$，$\overrightarrow{OC}=(-b，0)$，其中$O$为坐标原点，$a，b>0$，若$A,B,C$三点共线，则$\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}$的最小值为多少？

分析：由三点共线的向量表达方式可知，$2a+b=1$，转化为最初的例子。

【变式9】以向量的垂直或平行形式给出

已知向量$\vec{a}=(m，1)$，$\vec{b}=(1，n-1)$，若$\vec{a}\perp\vec{b}$，则$\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}$的最小值。

分析：有条件$\vec{a}\perp\vec{b}$可知$m+n=1$，即$\cfrac{1}{m}+\cfrac{4}{n}=(\cfrac{1}{m}+\cfrac{4}{n})(m+n)=5+\cfrac{4n}{m}+\cfrac{m}{n}=...$

【变式10】以对数方程的形式给出；

已知$x>0$,$y>0$，$lg2^x+lg8^y=lg2$，求$\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{3y}$的最小值。

分析：由已知条件可知，$x+3y=1$，求$\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{3y}$

【变式11】以概率的形式给出；

比如一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为$a$，得2分的概率为$b$，不得分的概率为$c$（$a,b,c\in (0,1)$）,已知他投篮一次得分的均值为2，求$\cfrac{2}{a}+\cfrac{1}{3b}$的最小值。分析：由题目可知投篮一次得分的均值$EX=3a+2b=2(a>0,b>0)$，求$\cfrac{2}{a}+\cfrac{1}{3b}$的最小值。

【变式12】以解三角形和三角形的面积形式给出；

比如已知点M是$\Delta ABC$内的一点，且$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}$，$\angle BAC=\cfrac{\pi}{6}$，若$\Delta MBC$,$\Delta MCA$,$\Delta MAB$的面积分别为$\cfrac{1}{2},x,y$，求$\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{y}$的最小值。

分析：由$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}$，$\angle BAC=\cfrac{\pi}{6}$，故有$|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|cos\cfrac{\pi}{6}=2\sqrt{3}$，得到$bc=4$，所以$S_{\Delta ABC}=\cfrac{1}{2}bcsin\cfrac{\pi}{6}=1$,又$\Delta MBC,\Delta MCA,\Delta MAB$的面积分别为$\cfrac{1}{2},x,y$，故有$\cfrac{1}{2}+x+y=1$，即$x+y=\cfrac{1}{2}$,

【变式13】以隐含条件的形式给出

比如函数$f(x)=\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x}，0<x<2$，求函数$f(x)$的最小值。

提示：$f(x)=\cfrac{1}{2}\cdot (\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x})[x+(2-x)]$

$=\cfrac{1}{2}\cdot (1+4+\cfrac{2-x}{x}+\cfrac{4x}{2-x})\ge \cfrac{1}{2}(5+2\sqrt{4})$

$=\cfrac{9}{2}$，当且仅当$\cfrac{2-x}{x}=\cfrac{4x}{2-x}$，

即$x=\cfrac{2}{3}$时取到等号。

本题目的错误变形：

$f(x)=\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x}=(x+\cfrac{1}{x})-x+[(2-x)+\cfrac{4}{2-x}]+x-2$

$=(x+\cfrac{1}{x})+[(2-x)+\cfrac{4}{2-x}]-2$

$\ge 2+2\sqrt{4}-2=4$，

故函数$f(x)$的最小值为$4$；

错误原因：本题目同时使用了两次均值不等式，都没有验证等号成立的条件。

当$x+\cfrac{1}{x}\ge 2$时，当且仅当$x=1$时取到等号；

当$2-x+\cfrac{4}{2-x}\ge 2\sqrt{4}=4$时，当且仅当$x=0$或$x=4$时取到等号，

这样同一个题目中，不可能发生这样的事情，故上述变形是错误的；

【变式14】以曲线的对称中心的形式给出

(2017广东揭阳联考)若直线$2ax+by-1=0(a>0，b>0)$经过曲线$y=cos\pi x+1(0<x<1)$的对称中心，则$\cfrac{2}{a}+\cfrac{1}{b}$的最小值为_____.

分析：做出简图可知，曲线$y=cos\pi x+1(0<x<1)$的对称中心为$(\cfrac{1}{2}，1)$，代入直线得到条件$a+b=1$，

此时题目转化为，已知$a+b=1(a>0，b>0)$，求$\cfrac{2}{a}+\cfrac{1}{b}$的最小值的题目，很显然，应用乘常数除常数的思路解决即可。

提示：$(\cfrac{2}{a}+\cfrac{1}{b})_{min}=3+2\sqrt{2}$.

【变式15】利用点线距的形式给出【2017浙江嘉兴一中模拟】

已知直线$\sqrt{2}ax+by=1$(其中$ab\neq0$)与圆$x^2+y^2=1$相交于$A、B$两点，$O$为坐标原点，且$\angle AOB=120^{\circ}$，则$\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{2}{b^2}$的最小值为_____________.

分析：自行做出示意图，结合题目条件，我们可以知道圆心到直线的点线距为$d=\cfrac{1}{2}$，

即$d=\cfrac{1}{2}=\cfrac{|\sqrt{2}a\times 0+b\times0-1|}{\sqrt{2a^2+b^2}}$，即$2a^2+b^2=4$，

到此题目转化为已知$2a^2+b^2=4$，求$\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{2}{b^2}$的最小值问题。

利用乘常数除常数的方法解决即可。

【变式16】利用换元法转化【2017$\cdot$陕西西安质检】已知实数$x，y$满足$x>y>0$，且$x+y=\cfrac{1}{2}$ ，则$\cfrac{2}{x+3y}+\cfrac{1}{x-y}$的最小值是_________.

分析：换元法，令$x+3y=s>0$，$x-y=t>0$，

求解上述以$x，y$为元的方程组，得到$x=\cfrac{s+3t}{4}$；$y=\cfrac{s-t}{4}$；

由$x+y=\cfrac{1}{2}$，将上述结果代入得到$s+t=1$，

故此时题目转化为"已知$s+t=1$，$s，t>0$，求$\cfrac{2}{s}+\cfrac{1}{t}$的最小值”问题。

接下来，利用乘常数除常数的思路就可以求解。

简单提示如下：$\cfrac{2}{s}+\cfrac{1}{t}=(\cfrac{2}{s}+\cfrac{1}{t})(s+t)=3+$<font color="red">$\cfrac{2t}{s}+\cfrac{s}{t}\ge 3+2\sqrt{2}$</font>(当且仅当$\cfrac{2t}{s}=\cfrac{s}{t}$及$s+t=1$时取到等号)

看完这些内容，你难道不觉得我们得好好的改造我们的学习方法吗，比如说<font color=red size=3>留意限定条件的给出方式</font>；

对应练习

<LT>例1</LT>【2017榆林模拟】已知正数$x,y$满足$x+2y-xy=0$，求$x+2y$的最小值。

分析：需要将已知条件变形为分式形式，只有这样才能出现乘积为常数，

由$x+2y-xy=0$得到$\cfrac{2}{x}+\cfrac{1}{y}=1$，

则$x+2y=(x+2y)\cdot 1=(x+2y)(\cfrac{2}{x}+\cfrac{1}{y})$

$=2+2+\cfrac{x}{y}+\cfrac{4y}{x}\ge 4+2\sqrt{4}=8$

当且仅当$\begin{cases}\cfrac{2}{x}+\cfrac{1}{y}=1 \\ \cfrac{x}{y}=\cfrac{4y}{x}\end{cases}$，即$x=4，y=2$时取等号，故$x+2y$的最小值为8.

<LT>例2</LT>【不等式证明】已知$a>0,b>0,a+b=1$，

求证：(1).$\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}+\cfrac{1}{ab}\ge 8$

分析：(1).$\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}+\cfrac{1}{ab}=2(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b})=2(\cfrac{a+b}{a}+\cfrac{a+b}{b})=\2(2+\cfrac{a}{b}+\cfrac{b}{a})\ge 2(2+2\sqrt{1})=8$,

当且仅当$\begin{cases}a+b=1\a=b\end{cases}$时，即$a=b=\cfrac{1}{2}$时取等号。

法2：$\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}+\cfrac{1}{ab}=\cfrac{2}{ab}$

由$1=a+b\ge 2\sqrt{ab}$得到$0<\sqrt{ab}\leq \cfrac{1}{2}$

故$0<ab\leq \cfrac{1}{4}$，故$\cfrac{1}{ab}\ge 4$，故$\cfrac{2}{ab}\ge 8$，当且仅当$a=b=\cfrac{1}{2} $时取到等号。

(2).$(1+\cfrac{1}{a})(1+\cfrac{1}{b})\ge 9$

分析：(2).$(1+\cfrac{1}{a})(1+\cfrac{1}{b})=(1+\cfrac{a+b}{a})(1+\cfrac{a+b}{b})\(2+\cfrac{b}{a})(2+\cfrac{a}{b})=5+2(\cfrac{b}{a}+\cfrac{a}{b})\ge 5+2\cdot2=9$

<LT>例3</LT>已知$a，b\in R^{+}$，$a+b-ab+3=0$；

1、求$ab$的范围；

解：$\because -3+ab=a+b\ge 2\sqrt{ab}$

$\therefore ab-2\sqrt{ab}-3\ge 0$，

$(\sqrt{ab}+1)(\sqrt{ab}-3) \ge 0$

$\sqrt{ab}\leq -1 或 \sqrt{ab}\ge 3 $

又$a，b\in R^{+}$，故 $\sqrt{ab}\ge 3$ (当且仅当$a=b=3$取到等号)

故$ab\ge 9$

2、求$a+b$的范围；

解：$\because a+b+3=ab \leq (\cfrac{a+b}{2})^2$，令$t=a+b$

$t^2-4t-12\ge0$，解得$t\leq -2$或$t\ge6$；

故 $a+b \ge 6$ (当且仅当$a=b=3$取到等号)

【评析】代数式中同时有$a+b$和$ab$型，两元$a+b，ab$常常转化集中为一元$a+b$或$ab$，这样就好处理多了。

【同类题】设$m，n\in R$，则直线$(m+1)x+(n+1)y-2=0$与圆$(x-1)^2+(y-1)^2=1$相切，且$m+n$的取值范围是_________。

分析：由圆心$(1 ,1)$到直线的距离等于半径可得，

$\cfrac{(m+1)\cdot 1+(n+1)\cdot 1-2}{\sqrt{(m+1)^2+(n+1)^2}}=1$ ，

变形得到$mn=m+n+1$，此时即转化为上述例3的类型了。

由$mn\leq (\cfrac{m+n}{2})^2$，则$m+n+1\leq (\cfrac{m+n}{2})^2$，

求解上述以$m+n$为整体的不等式，得到$m+n\leq 2-2\sqrt{2}$或者$m+n\ge 2+2\sqrt{2}$；

<LT>例4</LT>已知实数$a，b，c$满足$a+b+c=9$，$ab+bc+ac=24$，则$b$的取值范围是$[1，5]$。

解：由于$ab+bc+ac=(a+c)b+ac=24$

故$ac=24-(a+c)b \leq (\cfrac{a+c}{2})^2$

故$24-(a+c)b \leq (\cfrac{a+c}{2})^2$，(三元变成了两个元$a+c，b$)

又因为$a+c=9-b$，

即$24-(9-b)b \leq \cfrac{(9-b)^2}{4}$,(两元$a+c，b$变成了一元$b$)

即$b^2-6b+5 \leq 0$

解得$1\leq b \leq 5$

<LT>例5</LT>【2016.江西两市联考】已知$x，y\in R^+$，且$x+y+\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}=5$，则$x+y$的取值范围是多少？

分析：先将已知表达式变形为$x+y+\cfrac{4}{x+y}=5$，接下来的变形的方向就是想法替换掉$xy$，为此，

由$xy\leq \cfrac{(x+y)^2}{4}$，得到$\cfrac{1}{xy}\ge \cfrac{4}{(x+y)^2}$，得到$\cfrac{x+y}{xy}\ge \cfrac{4}{x+y}$，代入上述等式，得到

$x+y+\cfrac{4}{x+y}\leq 5$，得到$(x+y)^2-5(x+y)+4\leq 0$，解得$1\leq x+y \leq 4$。

<LT>例6</LT>【2017$\cdot$天津卷】已知$a，b\in R，ab>0$，求$\cfrac{a^4+4b^4+1}{ab}$的最小值。

分析：考虑到题目中$ab>0$，则一般不能把$a，b$单独拆开使用，应该看成一个整体变量，

这样$\cfrac{a^4+4b^4+1}{ab}\ge \cfrac{4a^2b^2+1}{ab}=4ab+\cfrac{1}{ab}\ge 4$，

当且仅当$a^4=4b^4$和$4ab=\cfrac{1}{ab}$，

即$a^4=\cfrac{1}{2}$，$b^4=\cfrac{1}{8}$，$ab=\cfrac{1}{2}$时取到等号。

<LT>例7</LT>已知$x>1$，求$f(x)=x+\cfrac{1}{x-1}$的最小值。

【引例1】已知$a>1，b>0， a+b=4$，求$\cfrac{1}{a-1}+\cfrac{4}{b}$的最小值。($a+b=4\Longrightarrow (a-1)+b=3$)

【引例2】已知$a>1，b>2， a+b=4$，求$\cfrac{1}{a-1}+\cfrac{4}{b-2}$的最小值。($a+b=4\Longrightarrow (a-1)+(b-2)=1$)

【引例3】已知$a>0，b>0， \cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}=1$，求$\cfrac{1}{a-1}+\cfrac{9}{b-1}$的最小值。($b=\cfrac{a}{a-1}代入，变成关于a的一元，变量集中$)

【引例4】函数$f(x)=\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{1-x}$，则$f(x)=(\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{1-x})[x+(1-x)]=...$，注意隐含条件的发掘和利用。

<LT>例8</LT>【2017凤翔中学高三理科第二次月考第16题】设$x，y$满足约束条件$\begin{cases}2x-y+2\ge 0\8x-y-4\leq 0\x\ge 0，y\ge 0\end{cases}，$若目标函数$z=ax+by(a>0，b>0)$的最大值为4，则$\cfrac{a+2b}{ab}$的最小值为多少？

分析：如图所示，要保证目标函数$z=ax+by(a>0，b>0)$的最大值为4，则直线必须经过点$(1，4)$，即$a+4b=4$，

所求条件$\cfrac{a+2b}{ab}$变形为$\cfrac{1}{b}+\cfrac{2}{a}$，此时题目变成已知条件$a+4b=4(a>0，b>0)$，

求$\cfrac{1}{b}+\cfrac{2}{a}$的最小值，只需要仿照模型完成即可。

提示：$\cfrac{a+2b}{ab}=\cfrac{1}{b}+\cfrac{2}{a}=\cfrac{1}{4}\times (\cfrac{1}{b}+\cfrac{2}{a})\times 4=\cfrac{1}{4}\times (\cfrac{1}{b}+\cfrac{2}{a})\times(a+4b)=\cfrac{1}{4}\times (+6+\cfrac{a}{b}+\cfrac{8b}{a})\ge\cfrac{6}{4}+\cfrac{1}{4}\times2\sqrt{8}=\cfrac{3}{2}+\sqrt{2}$；当且仅当$a+4b=4$且$a^2=8b^2$取到等号。

<LT>例9</LT>【2017$\cdot$江西南昌十所省级重点中学模拟】

若正数$a，b$满足$\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}=1$，求 $\cfrac{2}{a-1}+\cfrac{1}{b-2}$的最小值_________。

分析：由$\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}=1$，变形得到$a=\cfrac{b}{b-2}$，变量集中。

又由于$a>0，b>0$，即$a=\cfrac{b}{b-2}>0$，即$b>2$，

则$\cfrac{2}{a-1}+\cfrac{1}{b-2}=\cfrac{2}{\frac{b}{b-2}-1}+\cfrac{1}{b-2}=(b-2)+\cfrac{1}{b-2}\ge 2$

当且仅当$\cfrac{1}{b-2}=b-2$，即$a=b=3$时，取得等号。

难点题目

<LT>例10</LT>【2017天津一中月考】设$a+b=2，b>0$，则$\cfrac{1}{2|a|}+\cfrac{|a|}{b}$的最小值为__________.

分析：由题可知，$\cfrac{a+b}{2}=1$，则常数代换得到

$\cfrac{1}{2|a|}+\cfrac{|a|}{b}=\cfrac{a+b}{4|a|}+\cfrac{|a|}{b}=\cfrac{a}{4|a|}+\cfrac{b}{4|a|}+\cfrac{|a|}{b}$

$\ge \cfrac{a}{4|a|}+2\sqrt{\cfrac{b}{4|a|}\cdot \cfrac{|a|}{b}}= \cfrac{a}{4|a|}+1$(当且仅当$b^2=4a^2$时等号成立)，

接下来分类讨论得到

当$a>0$时，$\cfrac{1}{2|a|}+\cfrac{|a|}{b}\ge \cfrac{a}{4a}+1=\cfrac{5}{4}$;

当$a<0$时，$\cfrac{1}{2|a|}+\cfrac{|a|}{b}\ge \cfrac{a}{-4a}+1=\cfrac{3}{4}$;

综上所述，$\cfrac{1}{2|a|}+\cfrac{|a|}{b}$的最小值为$\cfrac{3}{4}$;

解后反思：常数代换，部分使用均值不等式，分类讨论；

<LT>例11</LT>【2017$\cdot$陕西西安质检】已知实数$x，y$满足$x>y>0$，且$x+y=\cfrac{1}{2}$ ，则$\cfrac{2}{x+3y}+\cfrac{1}{x-y}$的最小值是_________.

分析：换元法，令$x+3y=s>0$，$x-y=t>0$，

求解上述以$x，y$为元的方程组，得到$x=\cfrac{s+3t}{4}$；$y=\cfrac{s-t}{4}$；

由$x+y=\cfrac{1}{2}$，将上述结果代入得到$s+t=1$，

故此时题目转化为"已知$s+t=1$，$s，t>0$，求$\cfrac{2}{s}+\cfrac{1}{t}$的最小值”问题。

接下来，利用乘常数除常数的思路就可以求解。

简单提示如下：$\cfrac{2}{s}+\cfrac{1}{t}=(\cfrac{2}{s}+\cfrac{1}{t})(s+t)=3+$<font color="red">$\cfrac{2t}{s}+\cfrac{s}{t}$</font>$=\cdots$

<LT>例12</LT>【综合应用题目】已知函数$f(x)=mlnx+x^2-mx$在$(1，+∞)$上单调递增，求m的取值范围．

【分析】由函数单调递增，转化为$f'(x)≥0$在$(1，+∞)$上恒成立，然后分离参数得到$m≤g(x)$，用均值不等式求新函数$g(x)$的最小值即可。

【解答】由题目可知，$f'(x)≥0$在$(1，+∞)$上恒成立，且$f'(x)$不恒为零，

则有$f'(x)=\cfrac{m}{x}+2x-m=\cfrac{2x^2-mx+m}{x}≥0$在$(1，+∞)$上恒成立，

即$2x^2-mx+m≥0$在$(1，+∞)$上恒成立，常规法分离参数得到

m≤$\cfrac{2x^2}{x-1}=\cfrac{2(x-1)^2+4x-2}{x-1}=\cfrac{2(x-1)^2+4(x-1)+2}{x-1}=2(x-1)+\cfrac{2}{x-1}+4$

由于$x>1$，故$2(x-1)+\cfrac{2}{x-1}+4≥2\sqrt{4}+4=8$，当且仅当$x=2$时取到等号。

故$m≤8$，当$m=8$时，函数不是常函数，也满足题意，故$m≤8$。

【点评】函数$f(x)$在区间$D$ 上单调递增，则$f'(x)≥0$在$D$上恒成立，且$f'(x)$不恒为零；

函数$f(x)$在区间$D$上单调递减，则$f'(x)≤0$在$D$上恒成立，且$f'(x)$不恒为零；

此处要求$f'(x)$不恒为零，意思是要排除函数$f(x)$为常函数的情形。

<LT>例13</LT>【难点题目】已知正实数$x、y、z$满足$x^2-3xy+4y^2-z=0$，当$\cfrac{xy}{z}$取得最大值时，求$\cfrac{2}{x}+\cfrac{1}{y}-\cfrac{2}{z}$的最大值．

分析：$z=x^2-3xy+4y^2\ge 2x\cdot 2y-3xy=xy$，当且仅当$x=2y$时取得等号；

则$\cfrac{1}{z}\leq \cfrac{1}{xy}$，当且仅当$x=2y$时取得等号；

则$\cfrac{xy}{z}\leq \cfrac{xy}{xy}=1$，即$\cfrac{xy}{z}$的最大值为$1$，当且仅当$x=2y$时取得等号；

此时，$z=x^2-3xy+4y^2=4y^2-3y\cdot 2y+4y^2=2y^2$，

$\cfrac{2}{x}+\cfrac{1}{y}-\cfrac{2}{z}=\cfrac{2}{2y}+\cfrac{1}{y}-\cfrac{2}{2y^2}$

$=\cfrac{2}{y}-\cfrac{1}{y^2}=-(\cfrac{1}{y}-1)^2+1\leq 1$，

故$\cfrac{2}{x}+\cfrac{1}{y}-\cfrac{2}{z}$的最大值为1．

此时，$y=1，x=2，z=2$；

【点评】变量集中，三元变一元。

逆向问题

<LT>例14</LT>【均值不等式的逆问题，已知最值求参数的取值范围】已知函数$f(x)=4x+\cfrac{a}{x}(x>0,a>0)$在$x=3$时取得最小值，则$a$=_____________.

分析：由于$x>0$，$a>0$，则$f(x)=4x+\cfrac{a}{x}\geqslant 2\sqrt{4a}=4\sqrt{a}$，

当且仅当$4x=\cfrac{a}{x}$时取到最小值，即$a=4x^2$，则$a=4\times 3^2=36$.

补充习题

<LT>例14</LT>【2019天津滨海新区七所重点学校联考】若正实数$x$，$y$满足$x+2y=5$，则$\cfrac{x^2-3}{x+1}+\cfrac{2y^2-1}{y}$的最大值为_____________。

分析：由题可知，$x>0$，$y>0$，又由于$x+2y=5$，则$(x+1)+2y=6$，

$\cfrac{x^2-3}{x+1}+\cfrac{2y^2-1}{y}=\cfrac{(x+1)^2-2(x+1)-2}{x+1}+2y-\cfrac{1}{y}$

$=x+1-2+2y-(\cfrac{2}{x+1}+\cfrac{1}{y})$

$=x+2y-1-(\cfrac{2}{x+1}+\cfrac{1}{y})$

$=4-(\cfrac{2}{x+1}+\cfrac{1}{y})$

$=4-\cfrac{1}{6}(\cfrac{2}{x+1}+\cfrac{1}{y})\times [(x+1)+y]$

$=4-\cfrac{1}{6}(2+2+\cfrac{4y}{x+1}+\cfrac{x+1}{y})$

$\leqslant 4-\cfrac{1}{6}(4+2\sqrt{4})=\cfrac{8}{3}$,

当且仅当$x+2y=5$，$x+1=2y$，即$x=2$，$y=\cfrac{3}{2}$时取到等号；

则$\cfrac{x^2-3}{x+1}+\cfrac{2y^2-1}{y}$的最大值为$\cfrac{8}{3}$.

解后反思：本题目用到分式变形，拆添项，常数代换，乘常数除常数等多种变形技巧。

<LT>例15</LT>已知实数$a>0$，$b>0$，$\cfrac{1}{a+1}+\cfrac{1}{b+1}=1$，则$a+2b$的最小值为【】

分析：$a+2b=(a+1)+2(b+1)-3=\cfrac{1}{1}[(a+1)+2(b+1)]\times 1-3$

$=(a+1)+2(b+1)-3$

<LT>例16</LT>【2019湖南师大附中月考试题】已知$\triangle ABC$的面积为$1$，内切圆半径也为$1$，若$\triangle ABC$的三边长分别为$a$，$b$，$c$，则$\cfrac{4}{a+b}+\cfrac{a+b}{c}$的最小值为【】

分析：由题可知，$\cfrac{1}{2}(a+b+c)\times 1=1$，故$a+b+c=2$，

$\cfrac{4}{a+b}+\cfrac{a+b}{c}=\cfrac{2(a+b+c)}{a+b}+\cfrac{a+b}{c}$$=2+\cfrac{2c}{a+b}+\cfrac{a+b}{c}\geqslant 2+2\sqrt{2}$;

当且仅当$a+b=\sqrt{2}c$，即$c=2\sqrt{2}-2$时，等号成立；故选$D$。

来源：oschina

链接：https://my.oschina.net/u/4344016/blog/3833368

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