对抗搜索（二） | 易学教程

在上一篇我们分析了对抗搜索的基本思想，本文在上一篇的基础上对算法部分步骤进行优化。首先我们看一个基于对抗搜索建立的博弈树，对上篇的内容做一个简单的回顾。（本篇内容可以使用上篇开头说的两本书作为参考）

观察这颗博弈树，我们可知它的固定深度是3，MAX先执行。换句话来说就是，MAX为了决定第一步该走A、B还是C，它要从根节点开始遍历深度为3的子树。再换句话来说，这颗树其实只是为了获得MAX在第一步走的时候建立的博弈树;同样对于MIN方来说，假如MAX第一步选择走A，那么以A节点为根节点，同样建立一颗深度为3的子树，通过遍历该子树，获得MIN在这一步的最佳选择，A1、A2或者A3（未画出该图）。

通俗的说，对抗搜索其实就是在有限深度内枚举双发在每一步的选择，通过比较最终节点的状态（最大深度时）优劣，来获得此时执行方的最优选择。

回归到原图，对MAX的选择进行一个详细的分析（请结合上一篇的MAX_VALUE和MIN_VALUE代码）：

第一步由MAX方执行，假设此时的节点状态为R，R有三个选择，即三个后继节点--A、B、C；R要在这三个选择中选出“最利于获胜”的节点作为自己的执行步骤，按照极大极小值方法，即max(A,B,C)，此时深度为0;
接下来轮到MIN方执行，它要在R选择的步骤基础上，选择利于自己的最优步骤，此时深度为1；
接下来轮到MAX方执行，它同样在MIN选择的步骤基础上，选择利于自己的最优步骤，此时深度为2；
接下来本应轮到MIN方执行，由于它已经到达最大深度3，不再往下“递归”，即到达了该树的叶子节点，使用评价函数来计算当前叶子节点状态的值。可以看到每个叶子节点都由一个评估值。
然后从叶子节点开始往上回溯，看到在深度2时，MAX方在每一个选择下的最优选择；
继续往上回溯，此时回溯到MIN方的选择；
最终我们回溯到最初MAX此时的最优选择，选择C作为这一步的选择；

接下来我们思考一个问题，我们可以看到上述的算法是对所有的候选项都进行枚举遍历比较，这样如果深度比较大时，比如固定截取深度为10，那么对每一步来说都要计算最大深度为10的子树，这样的计算量会非常大。有没有可能缩小比较范围？

首先我们要清楚，max_value和min_value方法以DFS(深度优先)进行遍历。接下来我们对以A节点为根节点的子树进行详细分析。首先从深度3开始往上回溯时，此时A1的最优选择为6；此时再往上回溯，A节点此时的最优选择为6；然后开始遍历A2节点，因为A节点此时的值是6，如果A2节点能够得到该值的信息的话，那么在以A2节点为根的深度遍历时，遇到比6大的值，其实可以放弃该子树的后续遍历了。原因就是A2节点是MAX方来执行，如果A2的子节点有比6大的，那么MAX方肯定会选择比6大的值，而A节点是MIN方来执行，它要选择的是A1、A2、A3的最小值，所以此时A节点肯定不会选择A2作为最优选择。

同样，在A的选择结束后，向上回溯到R，此时R的最优选择是6，由于R要选取最大值，那么在对剩余以B和C为根节点进行深度遍历时，如果有遇到比6小的值，那么该节点肯定不是最优的选择。原因就是MAX方要选择后继节点中的最大值，比6小的话，肯定不是最优选择。

上述方法就是树结构最常用的优化方法--剪枝，这里的优化方法叫做Alpha-Beta方法。下面是通过Alpha-Beta剪枝方法对max_value方法和min_value方法的改进。

int max_value ( int dep , state s , int alpha , int beta ){
    if ( terminal ( s )) return e ( s ); //终止状态
    if ( dep == maxdepth ) return e ( s ); //深度截断，返回评价函数
    v = - inf ; //初始化为负无穷
    succ = make_successors ( s ); // succ [ i为第]个后继状态i
    for ( i = 0; i < succ . count ; i ++){
        v = max (v , min_value ( succ [ i ] , alpha , beta )); //计算所有儿子的最大值
        if ( v >= beta ) return v ; //β剪枝
        alpha = max ( alpha , v ); //更新α为最大值
    }
    return v ;
}

int min_value ( int dep , state s, int alpha, int beta){
    if ( terminal ( s )) return e ( s ); //终止状态
    if ( dep == maxdepth ) return e ( s ); //深度截断，返回评价函数
    v = inf ; //初始化为无穷大
    succ = make_successors ( s ); // succ [ i为第]个后继状态i
    for ( i = 0; i < succ . count ; i ++){
    v = min (v , max_value ( succ [ i ] , alpha , beta )); //计算所有儿子的最小值
        if ( v <= alpha ) return v ; //α剪枝
        beta = min ( beta , v ); //更新β为最小值
    }
    return v ;
}

接下来我们按照改进后的max_value方法和min_value方法对上述的博弈树进行剪枝，方便大家理解。

初始状态,alpha=-inf, beta=inf （inf代表最大值）；通过深度优先遍历向下传递alpha, beta，在到达叶子节点时，因为是计算评价函数alpha和beta其实没有用；然后开始向上回溯到A1节点；
A1节点回溯前alpha=-inf, beta=inf，回溯后变为alpha=6, beta=inf；向上回溯到A节点；
A节点回溯前alpha=-inf,beta=inf, 回溯后变为alpha=-inf, beta=6; 向下递归遍历A2节点；
A2节点此时alpha=-inf, beta=6; 继续向下递归遍历，我们知道A2是max方来执行，此时调用的是max_value方法，并且有三个后继节点；
1. 遍历第一个节点时，2<6, alpha = 2, beta=6;
2. 遍历第二个节点时，8>6, 此时直接返回，也就是第三个节点不再遍历，因为max此时的选择肯定是大于6的，对A节点来说，A2节点肯定不是最优的选择；
3. 此时向上回溯到A节点；
同样对于A3节点来说，在遍历完第一个节点7时，直接返回，继续回溯到A节点；
此时A节点的alpha = -inf, beta=6; 此时A节点向上回溯到R节点；
R节点回溯前alpha=-inf,beta=inf; 回溯后变为alpha=6, beta=inf; R节点向下深度遍历到B节点；
B节点alpha=6, beta=inf; 继续向下递归到B1节点；
B1节点alpha=6, beta=inf; 继续向下递归遍历三个后继节点，三个节点的值都比beta小，所以只是在每个节点内部更改了alpha；最终回溯到B1节点；
B1回溯前alpha=6, beta=inf, 回溯后alpha = 6, beta = inf; 接着向上回溯到B节点;
B节点回溯前alpha=6, beta=inf, 此时回溯的值是5， 5<alpha=6, 直接回溯到R节点，也就是说直接裁剪了B2和B3节点值。原因：因为B节点是由MIN方来执行，它要选择最小的节点作为最佳选择，所以不论B2和B3是什么值，对于B来说最佳选择肯定是小于等于5；而R是选择最大值，此时，R此时最优的选择是6，肯定不会选择B节点作为最优选择，所以对于B2和B3来说，已经没有继续搜索的必要了；接着向上回溯到R节点；
R节点回溯前alpha=6, beta=inf; 向下递归遍历C节点；
C节点alpha=6, beta=inf, 继续向下递归遍历C1;
C1节点alpha=6, beta=inf, 继续向下递归遍历叶子节点，由于都小于beta, 所以依然只是比较alpha的值，获取最大值向上回溯到C节点;
C节点回溯前alpha=6,beta=inf, 回溯后alpha = 6, beta=7; 向下递归遍历C2节点；
C2节点alpha=6,beta=7, 向下递归遍历叶子节点；
1. 遍历第一个叶子节点4，小于beta;
2. 遍历第二个叶子节点8，大于beta, 此时直接返回，裁剪了叶子节点1，直接向上回溯到节点C节点;
C节点回溯前alpha = 6, beta=7；回溯后返回值为8大于beta, 依然选取最小值，alpha=6, beta=7;
对于C3节点与C2的处理方式相同，C3向上回溯到C节点;
C节点回溯前alpha=6,beta=7,回溯后alpha=6,beta=7, 并选择最小值为7回溯到R节点；
R节点回溯前alpha=6,beta=inf，回溯后alpha=7,beta=inf;

最终的裁剪图如下，标红的代表它的子树都被裁剪了。

总结

alpha代表的是MAX方选择的最小下界；

beta代表的是MIN方选择的最大上界；

来源：oschina

链接：https://my.oschina.net/u/3853930/blog/4318992

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