随机量子化：(3) 标量场理论之 Yukawa 模型

我们先看标量场的正常 QFT 量子场论。后续再用随机量子化的方法检验。

标量场的 QFT 是比较简单的。QFT 在加入 fermion 和 gauge 后才会更有趣。如果在一般流形上做就更有趣。

1. 标量场的 QFT

我们都见过这个（其中是场源）：

$Z(J) = \int D\psi\, e^{i \int d x\, \mathcal{L}_\psi(J)} \\$ 如果 $Z(J) = \int D\psi\, e^{i\left(\frac{1}{2} \psi K \psi + J \psi\right)} = Z(0) \cdot e^{-\frac{i}{2}J K^{-1} J} \\$ 如果 $Z(J) = \int D\psi\, e^{i\left(\frac{1}{2} \psi K \psi - V(\psi) + J \psi\right)} = e^{-i V\left(\frac{\partial}{i \partial J}\right)} \int D\psi\, e^{i\left(\frac{1}{2} \psi K \psi + J \psi\right)} = Z(0) \cdot e^{-i V\left(\frac{\partial}{i \partial J}\right)} e^{-\frac{i}{2}J K^{-1} J} \\$ 在 QFT 中值得算的事情之一是的存在，系统的能量改变了。考虑系统为 $\mid 0 \rangle$ 的情况，令改变的程度为 E(J) 。如果与时间无关， E(J) 也与时间无关，它就是产生的势能：

$e^{-i E(J) T} = \frac{\langle 0 \mid e^{-i H(J) T} \mid 0 \rangle}{\langle 0 \mid e^{-i H(0) T} \mid 0 \rangle} = \frac{Z(J)}{Z(0)} = \frac{\int D\psi\, e^{i S_\psi(J)}}{\int D\psi\, e^{i S_\psi(0)}} = \frac{\int D\psi\, e^{i \int d x\, \mathcal{L}_\psi(J)}}{\int D\psi\, e^{i \int d x\, \mathcal{L}_\psi(0)}} \\$ 那么，如何计算 $D = K^{-1}$ ， $K\cdot D(x-y) = \delta(x-y)$ ，则：

$e^{-\frac{i}{2}J K^{-1} J} = e^{-\frac{i}{2} \int dx \int dy J(x) D(x-y) J(y)} \\$ 如果 $Z(J) = Z(0) \cdot e^{-\frac{i}{2} \int dx \int dy J(x) D(x-y) J(y)} \\$ 则此时：

$E(J) = \frac{1}{2} \int d \vec x \int d \vec y \, J(\vec x) D(\vec x- \vec y) J(\vec y) \\$ 这个 $V(\psi) = \frac{\lambda}{4!} \psi^4$ ，得到 $\psi^4$ 模型： $e^{-i V\left(\frac{\partial}{i \partial J}\right)} = e^{- i \frac{\lambda}{4!} \int d w\left(\frac{\partial}{i \partial J(w)}\right)^{4}} \\$ 展开就得到费曼图。

2. Yukawa 势能

对于 Yukawa 场 $\psi$ 和场源，Yukawa 模型的 Lagrangian 是：

$\mathcal{L}_\psi(J) = \frac{(\partial \psi)^2 - m^2 \psi^2}{2} + J \psi \\$

因此可这样配：

$\partial(\psi\,\partial\psi) = (\partial \psi)^2 + \psi\,\partial^2 \psi$ 。因此：

$K = -(\partial^2 + m^2) \\$

然后需要找到 $D = K^{-1}$ ：

$\textstyle K\cdot D(x-y) = -(\partial^2 + m^2) D(x-y) = \delta(x-y) \\$

得：

$\epsilon \to 0$ 是技术细节，这里不谈。

验算：

$\begin{aligned} -(\partial^2 + m^2) D(x-y) &=\textstyle - \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4}\, (\partial^2 + m^2)(\frac{e^{i k (x-y)}}{k^2 - m^2 + i\epsilon})\\ &=\textstyle - \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4}\, ((ik)^2 + m^2)(\frac{e^{i k (x-y)}}{k^2 - m^2 + i\epsilon})\\ &= \textstyle \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4}\, \frac{k^2 - m^2}{k^2 - m^2 + i\epsilon} e^{i k (x-y)} \\ & = \textstyle \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4}\, e^{i k (x-y)} \\ &= \delta(x-y) \end{aligned}\\$

考虑空间中两个固定的 Yukawa 点荷，分别位于 $\vec x = \vec x_2$ ，它们构成如下的场源：

$J = J_1(x) + J_2(x) = \delta(\vec x - \vec x_1) + \delta(\vec x - \vec x_2) \\$

此时：

$E(J) = D(\vec x_1 - \vec x_2) = \int \frac{d^3 \vec k}{(2\pi)^3}\, \frac{e^{i \vec k \vec r}}{{\vec k}^2 - m^2 + i\epsilon} = -\frac{1}{4 \pi r} e^{-mr} \\$