拓扑图论基础：（一）图的画法和交叉数
本系列笔记中所讨论的图是有限的、无向的、允许重边(multiedge)和环(loop)的．
由于本文涉及到图论和拓扑学两个数学分支，为了避免术语上的混淆（中文的无奈），我们称图的vertex为顶点，我们称点集拓扑中拓扑空间上的point为点．
二维流形
设$\Gamma$是一个豪斯多夫空间．如果$\Gamma$上的每一个点都有一个开邻域同胚于欧氏平面$\mathbb{E}^2$中的开圆盘，那么我们就说$\Gamma$是一个二维流形．
曲线·闭曲线·简单曲线·简单闭曲线
设$\Gamma$是一个二维流形，而$f$是一个从闭区间$[0,1]$到$\Gamma$的连续映射．我们令$A=f([0,1])$．那么我们就说$A$是$\Gamma$上的一条曲线，其中$f(0)$和$f(1)$就是曲线$A$的端点；如果$f$是单射，那么$A$就是一条简单曲线；如果$A$的两个端点是重合的，那么$A$就是一条闭曲线；如果$f$在开区间$(0,1)$上是单射并且$A$的两个端点重合，那么$A$就是一条简单闭曲线．
曲线段
设$0\le a<b\le1$．如果$A$不是闭曲线，那么，$f([a,b])$就是曲线$A$上从$f(a)$到$f(b)$的一个曲线段；如果$A$是闭曲线，那么，$f([a,b])$或$f([0,a]\cup[b,1])$就是曲线$A$上从$f(a)$到$f(b)$的一个曲线段．
曲面·闭曲面
如果二维流形$\Gamma$上任意两点间总有一条简单曲线连接，那么我们就说$\Gamma$是弧连通的．但是，二维流形未必都是弧连通的．在包含意义下极大的弧连通子集被称为区域．如果$\Gamma$中任意开覆盖都有有限子覆盖，则称$\Gamma$是紧致的．紧致的、弧连通的二维流形就是曲面．没有边界的曲面称为闭曲面．
欧氏平面是二维流形但不是曲面，因为它无界因而不紧致；莫比乌斯带是曲面但不是闭曲面，因为它有边界；球面、环面、射影平面、克莱因瓶都是常见的闭曲面．
欧拉亏格
根据著名的闭曲面的分类定理，我们知道：任何闭曲面总是可以通过给球面添加环柄和交叉帽来得到．
设闭曲面$\Gamma$是从球面添加$h$个环柄和$c$个交叉帽得到的．当且仅当$c=0$时，$\Gamma$才是可定向的曲面．令$eg(\Gamma)=2h+c$，我们称之为闭曲面$\Gamma$的欧拉亏格．一般所说的欧拉示性数是$$\chi(\Gamma)=2-eg(\Gamma)，$$在拓扑图论中通常回避这个参数．
众所周知，借助球极射影，可以将删除一点（北极）后的球面与欧氏平面建立同胚关系，所以，我们规定欧氏平面的欧拉亏格与球面相同，即$eg(\mathbb{E}^2)=0$．在以后的讨论中，我们简称欧氏平面为平面．
图的画法(drawing of a graph)
设$\Gamma$是一个闭曲面或平面，$G$是一个图．$G$的$\Gamma$-画法是由两个单射$\varphi$和$\psi$构成的有序对，记作$D(\varphi,\psi)$，简记作$D$．其中，$\varphi$将$G$的顶点映射为$\Gamma$的点，我们仍然称$\varphi$的像是$D$的顶点；而$\psi$将$G$的边映射为连接相应顶点的简单曲线（环被映射为简单闭曲线），我们仍然称$\psi$的像是$D$的边．$D$的顶点的全体记作$V(D)$，$D$的边的全体记作$E(D)$．设$p\in \Gamma$，$e\in E(G)$．
如果$p\in \psi(e)$且不是$\psi(e)$的端点，那么我们说$\psi(e)$穿过(pass through)点$p$．
图的正规画法(normal drawing of a graph)
如果$G$的$\Gamma$-画法$D$还满足：
- 任意边不穿过顶点，
- 任意两边不相切，
- 任意两边公共点有限，
- 任意三边不穿过同一点， 那么我们就说$D$是$G$的正规$\Gamma$-画法．
交叉和交叉数(crossing and crossing number)
设$D$是图$G$的正规$\Gamma$-画法，$e_1,e_2\in E(G)$，$p\in \Gamma$．如果$\psi(e_1),\psi(e_2)$都穿过$p$，就说$e_1$和$e_2$在$D$上交叉于$p$，也说$p$是$D$的一个交叉．$D$上交叉的全体叫做$D$的交叉集，记作$CR_{\Gamma}(D)$．$D$上交叉的总数叫做$D$的交叉数，记作$cr_{\Gamma}(D)$．
设$\mathcal{D}$是$G$的所有正规$\Gamma$-画法的全体．定义$G$在$\Gamma$上的交叉数为 $$cr_\Gamma(G)=\min_{D\in \mathcal{D}}cr_\Gamma(D).$$
图的交叉数问题
如果$D$是使得$cr_\Gamma(D)=cr_\Gamma(G)$的正规$\Gamma$-画法，那么我们就称$D$是$G$在$\Gamma$上的cr-最小画法．求图$G$在$\Gamma$上的交叉数和cr-最小画法的问题，就是图交叉数问题．
子集上的交叉数
设$S\subseteq \Gamma$，令$CR_{\Gamma,D}(S)=CR_\Gamma(D)\cap S$，令$cr_{\Gamma,D}(S)=|CR_{\Gamma,D}(S)|$．例如，在正规$\Gamma$-画法$D$上，边$e\in E(D)$上所包含的交叉的集合和个数，就可以分别记作：$cr_{\Gamma,D}(e)$和$cr_{\Gamma,D}(e)$．
注意
特别地，如果$\Gamma$是平面$\mathbb{E}^2$，那么，上述符号中的$\Gamma$通常省略；上述术语中的$\Gamma$通常换成``平面''．所以$CR_{\mathbb{E}^2}(\cdot)$和$cr_{\mathbb{E}^2}(\cdot)$一般也写成$CR(\cdot)$和$cr(\cdot)$．
在图$G$的$\Gamma$-画法$D$中，由于图$G$的边被映射成了简单曲线或简单闭曲线，所以$D$的任何边不会和自己交叉．
原文出处：https://www.cnblogs.com/songningmath/p/10630297.html
来源：oschina
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