求解最长回文串之Manachar算法

问题类型：

输入一个字符串，求出其中最大的回文子串。子串的含义是：在原串中连续出现的字符串片段。

回文的含义是：正着看和倒着看相同，如abba和yyxyy。

这类问题对于一些小数据可以暴力枚举回文的中心点求解（处理好奇数和偶数长度的回文即可）但是时间复杂度较高

利用manachar算法可以在O（n）时间内得到正确的答案

算法基本要点：

　　　　　首先用一个非常巧妙的方式，将所有可能的奇数/偶数长度的回文子串都转换成了奇数长度：

　　　　　在每个字符的两边都插入一个特殊的符号。比如 abba 变成 #a#b#b#a#， aba变成 #a#b#a#。

　　　　　为了进一步减少编码的复杂度，可以在字符串的开始加入另一个特殊　字符，这样就不用特殊处理越界问题，比如$#a#b#a#。

下面以字符串12212321为例，经过上一步，变成了 S[] = "$#1#2#2#1#2#3#2#1#";

然后用一个数组 P[i] 来记录以字符S[i]为中心的最长回文子串向左/右扩张的长度（包括S[i]），比如S和P的对应关系：

S # 1 # 2 # 2 # 1 # 2 # 3 # 2 # 1 #
P 1 2 1 2 5 2 1 4 1 2 1 6 1 2 1 2 1
(p.s. 可以看出，P[i]-1正好是原字符串中回文串的总长度）

如何得到p数组嘞？

下面计算P[i]，该算法增加两个辅助变量id和mx，其中id表示最大回文子串中心的位置，mx则为id+P[id]，也就是最大回文子串的边界。

这个算法的关键点就在这里了：如果mx > i，那么P[i] >= MIN(P[2 * id - i], mx - i)。

“庖丁解牛”：

当 mx - i > P[j] 的时候，以S[j]为中心的回文子串包含在以S[id]为中心的回文子串中，由于 i 和 j 对称，以S[i]为中心的回文子串必然包含在以S[id]为中心的回文子串中，所以必有 P[i] = P[j]，见下图。

当 P[j] > mx - i 的时候，以S[j]为中心的回文子串不完全包含于以S[id]为中心的回文子串中，但是基于对称性可知，下图中两个绿框所包围的部分是相同的，也就是说以S[i]为中心的回文子串，其向右至少会扩张到mx的位置，也就是说 P[i] >= mx - i。至于mx之后的部分是否对称，就只能一个一个匹配了。

对于 mx <= i 的情况，无法对 P[i]做更多的假设，只能P[i] = 1，然后再去匹配了

下面给出原文，进一步解释算法为线性的原因

if(mx > i)
      p[i] = (p[2*id - i] < (mx - i) ? p[2*id - i] : (mx - i));
else
       p[i] = 1;

下面以hdu 3068 最长回文这道题为例给大家看下manachar算法的具体应用

最长回文

Time Limit: 4000/2000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)

Problem Description

给出一个只由小写英文字符a,b,c...y,z组成的字符串S,求S中最长回文串的长度.
回文就是正反读都是一样的字符串,如aba, abba等

Input

输入有多组case,不超过120组,每组输入为一行小写英文字符a,b,c...y,z组成的字符串S
两组case之间由空行隔开(该空行不用处理)
字符串长度len <= 110000

Output

每一行一个整数x,对应一组case,表示该组case的字符串中所包含的最长回文长度.

Sample Input

aaaa

abab

Sample Output

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <string.h>
 3 #include <algorithm>
 4 using namespace std;
 5 
 6 char s[110010],s1[220020];
 7 int p[220020];
 8 int manachar()
 9 {
10     int i,j = 0;
11     s1[j ++] = '@'; s1[j ++] = '#';
12     for (i = 0; s[i]; i ++)   // 预处理字符串 
13     {
14         s1[j ++] = s[i];
15         s1[j ++] = '#';
16     } s1[j] = '\0';
17     
18     int id = 0, mx = 0, len = 0;
19     for (i = 1; i < j; i ++)
20     {
21         if (i < mx) p[i] = min(mx-i,p[2*id-i]); 
22         else p[i] = 1;
23         while (s1[i+p[i]] == s1[i-p[i]]) p[i] ++;  // 更新p[i]的值（回文的长度） 
24         if (i+p[i] > mx){
25             id = i;     // 更新回文的中心点 
26             mx = id+p[i];
27         }
28         len = max(len,p[i]);   // 最长回文串的长度 
29     }
30     return len;
31 }
32 int main ()
33 {
34     while (~scanf("%s",s))
35     {
36         int len = manachar();
37         printf("%d\n",len-1);
38     }
39     return 0;
40 }

还有一种预处理的方法，可以直接在原串上处理，不用在重新申请一个数组

不过要注意的是定义数组的时候，数组的大小要是字符串长度的二倍。

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <string.h>
 3 #include <algorithm>
 4 using namespace std;
 5 
 6 char s[2000020];
 7 int p[2000020];
 8 int manachar()
 9 {
10     int len = strlen(s);
11     for (int i = len; i >= 0; i --)
12     {                             // 直接在原串上预处理 
13         s[i*2+2] = s[i];
14         s[i*2+1] = '#';
15     } s[0] = '@'; 
16     
17     int id = 0, mx = 0, ans = 0;
18     for (int i = 0; i < len*2+2; i ++)
19     {
20         p[i] = i<mx ? min(mx-i,p[id*2-i]) : 1;
21         while (s[i+p[i]] == s[i-p[i]]) p[i] ++;
22         if (i+p[i] > mx)
23         {
24             id = i;
25             mx = i + p[i];
26         }
27         ans = max(ans,p[i]);
28     }
29     return ans-1;
30 }
31 int main ()
32 {
33     while (~scanf("%s",s))
34     {
35         int ans = manachar();
36         printf("%d\n",ans);
37     }
38     return 0;
39 }

本文参考：http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/10/04/2711527.html

来源：https://www.cnblogs.com/yoke/p/6938193.html

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