人工智能教程 - 数学基础课程1.7 - 最优化方法2-3 最优化思路第三步核心,控制问题,目标函数

最优化思路第三步

Steps: k=0, 1, 2,…

$F(\alpha) =f(x_k+\alpha.d_k)$
$x_k, d_k$ is fixed

$\therefore$其实就是一维问题，单变量的最优化问题。
我们要做的就是，告诉计算机两件事情：

1. $x_k$点的确定，方向在哪里
2. 什么地方停下来

不管有多少变量，多少问题。最优化问题都能很快解决

Golden-section search

1980年，发明了一种算法：来来回回移动，套住一个区间，停在这里.

In matlab, inexact line search 中的 inex_lsearch.m

Ex:

alpha = inex.lsearch(四个输入)
四个输入分别为

1. $x_k$
2. $d_k$
3. 函数程序 ftest.m
4. 梯度程序 gtest.m

$\rightarrow$小的interval

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控制问题

一维的控制
不仅拉直，而且用到的能量最小

$x(t)\begin{bmatrix} \Theta_1(t)\\ \Theta_2(t)\\ \overset{.}{\Theta_1'(t)}\\ \overset{.}{\Theta_2'(t)}\\ \end{bmatrix}$

矩阵前两个为偏角，后两个为角速度
$u(0), u(\Delta), u(2\Delta),..., u(n\Delta)$

平方和最小 <—> 控制最小，能量最小
约束条件 四维向量 = 0

$x_1^2+x_2=11$

$x_1+x_2^2=7$

$\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3\\ 2\\ \end{bmatrix}$

$x_2=11-x_1^2$

$x_1+(11-x_1^2)^2=7$

$x_1^4-22x_1^2+x_1+114=0$ 一元四次方程
根据高斯代数积分定理
MatLab: $x_1$=roots([1 0 -22 1 114])

$x_1=\begin{bmatrix} 3.5844\\ 3\\ -3.7793\\ -2.8051\\ \end{bmatrix}$

$x_2$=11-x^2 enter =$\begin{bmatrix} -1.8481\\ 2\\ -3.2832\\ 3.1313\\ \end{bmatrix}$

$f_1(x)=x_1^2+x_2-11$

$f_2(x)=x_1+x_2^2-7$
$f_1(x)=0;f_2(x)=0$

目标函数： $f(x)=(x_1^2+x_2-11)^2+(x_1+x_2^2-7)^2$ 求最小值

$\bigtriangledown f=\begin{bmatrix} 4(x_1^2+x_2-11)x_1+2(x_1+x_2^2-7)\\ 2(x_1^2+x_2-11)+4(x_1+x_2^2-7)x_2\\ \end{bmatrix}$

来源：CSDN

作者：KuFun人工智能

链接：https://blog.csdn.net/fsdaewrq/article/details/104391993