本栏目将定期更新一些数学、物理方面的小文章，由一些基础的问题深入某个理论。启蒙学生的理论素养。
正文
最近有一位已经工作的朋友跟我提到在他的大学阶段学过一门叫微积分(calculus)的课程，当时没有学好，学完了没什么印象。之前有过一次，参加过一次某重点高中的面试，有幸和校长先生面谈，先生坦言自己虽然是知名高校毕业的理学博士，但在当时学习微积分时也有很多不理解或理解不详细的概念，当时与我讨论了多元函数的可微和可导概念。我发现这门学科不光是对于外行和初学者来说比较生涩无聊。对于非数学专业的其他领域学者也有很多没有很好把握的地方。我将花几次介绍这门学问，旨在让学过和没学过的读者都能对这个学问产生思考，甚至让低年级中学生都能了解到微积分是一门非常直观容易掌握的科学。
微积分，作为一门课程，在很多大学又名为高等数学或数学分析。其实名字本身代表了微分和积分两个不同的理论，两者最重要的起源是来自17世纪英国物理学家牛顿(Isaac Newton)和德国数学家莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz)等人对天体物理中计算问题。当然这不是最早的起源，早在古希腊阿基米德计算出抛物线围成面积，以及中国数学家祖暅(祖冲之之子）提出了“祖暅原理”，都蕴含了微积分的思想。之所以牛顿莱布尼茨是最重要的起源，是因为他们提出并证明了著名的Newton-Leibniz定理，这个定理建立了不定积分和定积分（即微分和积分）之间的联系。从而让本来散在的学科变得完整统一，并首次集中用微积分的方法系统解释了力学原理、解决大量物理现实问题，参见牛顿的著作《自然哲学的数学原理》。然而微积分作为一个数学工具，由于当时诸如“无穷小”等概念的不严格表述，受到了英国哲学家贝克莱的批评。其严格化的叙述是在19世纪德国数学家魏尔斯特拉斯(Weistrass)、戴德金(Dedakind)、法国数学家柯西(Cauchy)等人经过漫长的过程建立起了极限论和实数体系，从而给了微积分一个严格的基础，并将极限论以及用极限论表述的微积分理论、级数理论统称为（标准）分析学。不得不提到不久后还发生了第三次数学危机（起源于1902年英国哲学家罗素提出的罗素悖论），整个理论数学的基础面临崩盘，因此危机的解决者、公理集合论的奠基人德国数学家格奥尔格·康托尔（Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845.3.3-1918.1.6）当然对微积分的的严格化是功不可没的，因为他对整个数学的严格化都居功至伟。至此，经过近三百年的努力，几代大数学家（上面所提到的），以及无数学者经过漫长的创造、探讨、修正，终于看到了我们现在所能学到的严格的理论——微积分(calculus)/分析学(analysis)。
出于对这些传奇数学家、思想家的尊重和缅怀，我们追溯了微积分的发展历史。下面开始我将从初等的问题中引入这个理论，
将那些瞥见这幢巍峨大厦的徘徊者(wanderer)正式进入微积分之门。
我们介绍一些大家所熟知的例子：
初中物理力学中有这样一个问题
容器内盛有深度为h的水，左侧挡板下方连一转动轴，问要施加一个多大的力F，才能让左侧挡板不发生转动（力矩平衡）？
分析：随着深度不同，水的压强也会变大，对于这种情况，没法直接用常用的力矩平衡去处理。中学物理有一种所谓的等效替代法，即把水看成一个整体，施加一个向左的压力，
向左施加一个压力，大小为一个平均化的压强产生的压力$N=\frac{\rho gh}{2}S=\frac{\rho gh}{2}ah$，而力的作用点在从底部向上的$d=\frac{h}{3}$位置，即压力的力臂是$\frac{h}{3}$。从而列出力矩平衡的方程$FH=Nd$，但是问题是这个作用点
为什么是取在$d=\frac{h}{3}$而不是一般学生猜想的的$\frac{h}{2}$位置，这就没办法用中学物理解释了。下面，我们就用数学的手段解释这个问题：
我们先去看在高度为x处的压强为$\rho g(h-x) $，从高度x到$x+\delta x$处的一片厚度为$\delta x$的“水片”产生的水压力矩就是
$\rho g(h-x) \delta S\cdot d=\rho g(h-x) a\delta x\cdot x=(\rho ghx a-\rho gx^2 a)\delta x$，
而我们要做的就是把水分割成很多非常薄的水片，在每一片上，水压几乎是不随深度改变的，力矩几乎就是水片下边的高度x，然后将所有的小水片产生的水压力矩加起来。
为了方便计算我们把整个等水分成n片厚度为$\frac{h}{n}$的水片，计算出总力矩，然后让n变大（即把水片厚度变薄），算出在n变到非常大后的“极限值”。
此时由下向上第i块水片产生的压力矩为$\rho g(h-x) \delta S \cdot d=\rho g\frac{n-i}{n}h a\frac{h}{n} \cdot \frac{ih}{n}
=\frac{\rho igh^2a}{n^2}-\frac{\rho i^2gh^2a}{n^3}$
所以总力矩$M=\sum_{i=1}^n \frac{\rho igh^2a}{n^2}-\sum_{i=1}^n\frac{\rho i^2gh^2a}{n^3}=(\sum_{i=1}^n i)\frac{\rho gh^2a}{n^2}-(\sum_{i=1}^n i^2)\frac{\rho gh^2a}{n^3}$。对于第一个求和式，即求1加到n，得到$\frac{n(n+1)}{2}$，
第二个求和即$1^2+2^2+\cdots + n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$，因此$M=\frac{\rho gh^2a(n+1)}{2n}-\frac{\rho gh^2a(n+1)(n+\frac{1}{2})}{3n^2}$
观察当n变得很大时$\frac{n+1}{n},\frac{n+\frac{1}{2}}{n}$几乎就是1，所以$M=\frac{\rho gh^2a}{2}-\frac{\rho gh^2a}{3}=\frac{\rho gh^2a}{6}$
反过来看$M= \frac{ \rho gha}{2} \cdot \frac{h}{3}$，
因此等效的作用点其实在力臂为$\frac{h}{3}$处，而不是在水深的中点，这不是一个能用初中物理解释的结论。
通过这个例子我们看到了一种对一个连续变化的量求和的办法，这其实就是“定积分”，本质上是一种对数列求和的推广。
而用几何的观点看，就是求如下二次曲线，在与坐标轴围成的面积。
在初中物理电学中我们可能见过这样一个问题，即有一个如下图的一个所谓的无穷电阻网络，我们要去计算电路的总电阻
这个问题的表述比较不严格，因为我们并没有说过无穷个电阻是什么意思，而且拿出“无穷”个电阻在现实世界中也是不可能实现的，
你可能听说过在$R=R_1=R_2=\cdots =R_n=\cdots$且$r=r_1=r_2=\cdots =r_n=\cdots$时的一个不严格的路端电阻计算方法。
下面我们把这个问题严格化地表述清楚：
即有这样的一列有限的电路，每一个电路对应的路端总电阻记为$Z_1,Z_2\cdots Z_n$
在这里我们以$r=R_1=R_2=\cdots =R_n=\cdots$且$r=r_1=r_2=\cdots =r_n=\cdots$为例，试说明这样一列总电阻$Z_n$的变化趋势：
在此特殊情况下，我们可以通过这个化简的串并联混合电阻：
得到数列$Z_n$的递推式：$Z_1=2r,Z_{n+1}=r+\frac{1}{\frac{1}{r}+\frac{1}{Z_n}}=\frac{2Z_nr+r^2}{Z_n+r}$
我们首先用数学归纳法容易去证明$Z_n<\frac{1+\sqrt{5}}{2}r$对任意$n>0$成立。
然后我们再用归纳法去证$Z_{n+1}>Z_n$对任意$n>0$成立，根据递推式，这相当于要证${Z_n}^2-rZ_n-R^2<0$，
也即$(Z_n-\frac{1+\sqrt{5}}{2}r)(Z_n+\frac{1+\sqrt{5}}{2}r)<0$，由前一个证明的结论即得
因此我们得到$Z_n$是一列单调递增的有界数列，上界为$\frac{1+\sqrt{5}}{2}r$，更进一步地，我们要证$Z_n$任意地接近这个上界$\lambda=\frac{1+\sqrt{5}}{2}r$。
$\lambda$满足$\lambda=2r-\frac{r^2}{\lambda+r}$
在递推式$Z_{n+1}=2r-\frac{r^2}{Z_n+r}$两边分别减去$\lambda$和$2r-\frac{r^2}{\lambda+r}$得
$\lambda-Z_{n+1}=r^2\frac{\lambda-Z_n}{(\lambda+r)(Z_n+r)}
<\frac{\lambda-Z_n}{1+\frac{\lambda}{r}}<\cdots<\frac{\lambda-Z_1}{(1+\frac{\lambda}{r})^n}$，当n足够大时$\lambda-Z_n$可以任意接近0，
用严格的数学语言来说，就是对任意一个正实数$\epsilon$，
可以找到一个自然数N(取成$[log_{(1+\frac{\lambda}{r})}\frac{\lambda-Z_1}{\epsilon}]+1$)，当$n>N$时$\lambda-Z_n<\epsilon$。
这就是极限论数列极限的一个例子，此时我们就称数列$Z_n$的极限是$\lambda$。
极限论作为分析学的基础，其严格表述了“逼近”这种现象，从而将直觉中的概念进行了形式化，而避免了使用“无穷小”等模糊的概念。
对于一般情况即图中的电阻$R_i,r_i$是任意地正实数，此时，
第n个总电阻$Z_n=R_1+\frac{1}{t_1+\frac{1}{R_2+\frac{1}{t_2+\cdots\frac{1}{R_n+\frac{1}{t_n}}}}}$，其中$t_i=\frac{1}{r_i}$，依然有办法得到和上述特殊情形的类似结论，
即数列$Z_n$会收敛到一个特定的正实数，但这里面要用到“连分数”的分析技术，连分数也是一个很有趣的问题，可以参考《连分数》[苏]A.Я.辛钦，
就能知道为什么这样的连分数是收敛的。感兴趣的朋友可以索要资源也欢迎探讨。
到这我们就引入了微积分的基础——极限论的概念，它是一种摒弃了“无穷小”概念的形式主义数学，上世纪六十年代美国的数理逻辑学家Abraham Robinson通过数理逻辑的理论建立了一种将“无穷小”概念严格地纳入分析学语言的另一门学科——非标准分析，可以参考《非标准分析》A.Robinson，
“无穷小”这个理念自从牛顿时期开始就已经是直觉主义者的思维指导工具，将其严格化是对直觉主义数学的有力支持，至于形式主义和直觉主义孰优孰劣，
这涉及更为哲学的探讨，有兴趣的读者可以参看更多的资料，以了解这两种数学理念的互相冲突和发展，也可以向本人索要资源和讨论。
来源：https://www.cnblogs.com/chern-mini-school/p/6034464.html