普通高中课程标准实验教科书(选修)数学2-2_学习笔记

1、导数及其应用

函数 $y=f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的瞬时变化率是:

$\lim_{Δx \to 0}\frac{Δy}{Δx}=\lim_{Δx \to 0}\frac{f(x_0+Δx)-f(x_0)}{Δx}$

称它为函数 $y=f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的导数(derivative),记作 $f'(x_0)$ 或 $y'|_{x=x_0}$.

1.1、基本初等函数的导数公式

常数的导数是0;

$x^a$ 导数为 $ax^{a-1}$;

$\sin{x}$ 导数为 $\cos{x}$;

$\cos{x}$ 导数为 $-\sin{x}$;

$a^x$ 导数为 $a^x\ln{a}$;

$e^x$ 导数为 $e^x$;

$\log_{a}{x}$ 导数为 $\frac{1}{x\ln{a}}$;

$\ln{x}$ 导数为 $\frac{1}{x}$;

1.2、函数的单调性与导数

在某个区间内(a,b)内,如果 $f'(x)>0$,那么函数 $y=f(x)$ 在这个区间内单调递增;如果 $f'(x)<0$,那么函数 $y=f(x)$ 在这个区间内单调递减;

1.2.1、极值

求函数 $y=f(x)$ 的极值的方法:解方程 $f'(x)=0$.当 $f'(x_0)=0$ 时:

• 如果在 $x_0$ 附近的左侧 $f'(x)>0$,右侧 $f'(x)<0$,那么 $f(x_0)$ 是极大值;
• 如果在 $x_0$ 附近的左侧 $f'(x)<0$,右侧 $f'(x)>0$,那么 $f(x_0)$ 是极小值.

极大值和极小值统称为极值(extreme value).

1.2.2、最值

求函数 $y=f(x)$ 在 [a,b] 上的最大值和最小值的方法:

(1) 求函数 $y=f(x)$ 在(a,b) 内的极值;
(2) 将函数 $y=f(x)$ 的各极值与端点处的函数值 $f(a)$,$f(b)$ 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

1.3、定积分

$\int_a^bf(x)dx$,上式表示 $f(x)$ 以 a 到 b 的定积分(definite integral),a 是积分下限,b 是积分上限,区间 [a,b] 叫积分区间,函数 $f(x)$ 叫被积函数,x 叫积分变量, $f(x)dx$ 叫被积式.

定积分的几何意义是,表示由直线 x=a,x=b,y=0 和曲线 $y=f(x)$ 所围成的曲边梯形的面积.

1.4、微积分基本定理

$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)|_a^b$,其中$F'(x)=f(x)$

2、参考资料

普通高中课程标准实验教科书——数学2-2（选修）[ISBN 978-7-107-20255-1]

来源：CSDN

作者：blackeagleoht

链接：https://blog.csdn.net/blackeagleoht/article/details/103913694