快速傅里叶变换(FFT)

强颜欢笑 提交于 2019-12-27 18:18:50

数学——快速傅里叶变换(FFT)

Shan xizeng

1. 基础知识

快速傅里叶变换,用来求出两个多项式相乘,如果暴力相乘,时间复杂度为\(O(n^2 )\),使用快速傅里叶变换,可以优化到\(O(n \log n)\)

准备知识:

多项式:\(A(x)\)表示一个n次多项式,则\(A(x)=a_0x^0+a_1x^1+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}\)

多项式的表示方法:

一是用系数表示法,表示为\(\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i\),二是点值表示法,表示为对于几个具体的\(x\)对应的\(A(x)\)的值,最少需要\(n\)个不同的点就能表示唯一一个\(n-1\)次多项式。

多项式运算:

加法:

如果使用系数表示法,则将各个系数相加,复杂度为\(O(n)\)

如果使用点值表示法,则将横坐标相同点的纵坐标相加,复杂度相同。

乘法:

如果使用系数表示法,则设得到的多项式为\(\sum_{i=0}^nc_ix^i\),其中,\(c_i=\sum_{j+k=i,0\leq j,k\leq n}a_jb_k\),很显然,时间复杂度为\(O(n^2)\)

如果使用点值表示法,则将横坐标相同点的纵坐标相乘,复杂度仍不变,为\(O(n)\)

向量:

物理、几何学意义:同时具有大小和方向的量。向量相加满足平行四边形定则。

复数:

分为实部与虚部,形如\(a+bi\),详见

复数单位根:

将复数\(a+bi\)中a看做横坐标,b看做纵坐标,则复数单位根为到原点距离为1的点。这些点构成的集合为一个圆,称为单位圆。单位圆的n等分点称为n次单位根,将幅角为正且最小的数设为\(\omega_n\),则n次单位根分别为\(\omega_n^2,\omega_n^3,\dots,\omega_n^n\)\(\omega_n=\omega_n^n=1\)。根据欧拉公式\(e^{\theta i}=\cos \theta+i\ \sin \theta\)\(\omega_n^k=e^{\frac{2\pi k i}{n}}=\cos k \cdot \frac{2\pi}{n}+i\sin k \cdot \frac{2\pi}{n}\)

易知,\(\omega_n^{k+\frac{n}{2}}=-\omega_n^k,\omega_n^2=\omega_{\frac{n}{2}}\)。(可以画图试试)

2. 快速傅里叶变换

快速傅里叶变换的思想主要是分治。

进行快速傅里叶变换,就是将n个n次单位根分别对多项式求出对应的值。

对于多项式A(x),将其n次单位根带入,则可得到\(A(\omega_n^k)=\sum_{i=0}^na_i\omega_n^{ki}\)

我们将其按照奇偶性分组,得到:\(A(\omega_n^k)=\sum_{i=0}^{n/2-1}a_{2i}\omega_n^{2ki}+\omega_n^k\sum_{i=0}^{n/2-1}a_{2i+1}\omega_n^{2ki}\)

由上面的公式得:\(A(\omega_n^k)=\sum_{i=0}^{n/2-1}a_{2i}\omega_{n/2}^{ki}+\omega_n^k\sum_{i=0}^{n/2-1}a_{2i+1}\omega_{n/2}^{ki}\)

并且

\[\begin{eqnarray*} A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}}) &=& \sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}a_{2i}\omega_{\frac{n}{2}}^{ki}+\omega_n^{k+\frac{n}{2}}\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}a_{2i+1}\omega_{\frac{n}{2}}^{ki} \\ &=&\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}a_{2i}\omega_{\frac{n}{2}}^{ki}-\omega_n^k\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}a_{2i+1}\omega_{\frac{n}{2}}^{ki} \end{eqnarray*}\]

这样需要带入的值就减少了一半,时间复杂度为\(T(n)=2T(n/2)+O(n)=O(n\log n)\)

当然,我们还需要将点值表示转化为系数表示,具体实现就是傅里叶逆变换,就是把原来的傅里叶变换里的\(\omega_n^k\)变成\(-\omega_n^k\)带上然后把系数除以n就好了。证明:我不会。。

实现的快速方法:二进制优化,背板子就好了QAQ

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;

const int Maxn=1100000;
const double Pi=3.14159265358979323846;

int n,m,r[Maxn],limit=1,l;

struct complex {
    double x,y;
}a[Maxn],b[Maxn];

complex operator + (complex a,complex b) {
    return (complex) {a.x+b.x,a.y+b.y};
}

complex operator - (complex a,complex b) {
    return (complex) {a.x-b.x,a.y-b.y};
}

complex operator * (complex a,complex b) {
    return (complex) {a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x};
}

void fft(complex *a,int type) {
    for(int i=0;i<limit;i++) if(i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
    for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1) {
        complex Wn=(complex) {cos(Pi/mid),type*sin(Pi/mid)};
        for(int j=0,r=mid<<1;j<limit;j+=r) {
            complex w=(complex) {1,0};
            for(int k=0;k<mid;k++,w=w*Wn) {
                complex x=a[j+k],y=w*a[j+k+mid];
                a[j+k]=x+y;
                a[j+k+mid]=x-y;
            }
        }
    }
}

int main() {
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<=n;i++) scanf("%lf",&a[i].x);
    for(int i=0;i<=m;i++) scanf("%lf",&b[i].x);
    while(limit<=n+m) {
        limit<<=1;l++;
    }
    for(int i=0;i<limit;i++) r[i]=r[i>>1]>>1|((i&1)<<l-1);
    fft(a,1),fft(b,1);
    for(int i=0;i<limit;i++) a[i]=a[i]*b[i];
    fft(a,-1);
    for(int i=0;i<=n+m;i++) printf("%d",(int)(a[i].x/limit+0.5));
    return 0;
}
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