快速傅里叶变换

实数FFT可以利用变换的对称性或快速哈特莱变换来减少乘法运算，理论上乘法运算量可以减少约一半，然而在目前的计算机上实际运算时间确更长。 1、测试代码 （1）利用FFT直接计算实数FFT变换 void FFT1(Complex Xn[], int R2N, double data[], int N) { //赋值 for (int i = 0; i < N; i++) { Xn[i] = data[i]; } //补零 memset(Xn + N, 0, (R2N - N) * sizeof(Complex)); FFT(Xn, R2N); } （2）利用哈特莱变换换算FFT void FFT2(Complex Xn[], int R2N, double data[], int N) { double *Yn = reinterpret_cast<double*>(Xn); int N2 = R2N >> 1; //赋值 memcpy(Yn, data, N * sizeof(double)); memset(Yn + N, 0, (R2N - N) * sizeof(double)); //哈特莱变换 FHT(Yn, R2N); //后半部分 for (int i = 1; i < N2; i++) { Xn[R2N - i]._Val[0] = (Yn[i] + Yn[R2N -

che dan环节： 概述 快速傅里叶变换(Fast Fourier Transformation)，简称 \(FFT\) ，它可以在 \(O(n \ log \ n)\) 的时间内算两个多项式的乘积的所有系数。 是一个听起来逼格很高，实际逼格更高的算法。 一些定义 下面我们来交代一些奇怪的东西。 一个 \(n\) 项 \(n-1\) 次多项式， \(F(x) = a_0x^0 + a_1x^1 + \dots + a_{n-1}x^{n-1}\) 则多项式 \(F(x)\) 可以用 __系数表示法__表示成 \(F(x) = \{ a_0,a_1,\dots,a_{n-1} \}\) 方便的，我们可以把 \(F\) 看成一个数组，用 \(F[k]\) 表示多项式 \(F\) 的 \(k\) 次项系数，即 \(F[k] = a_k\) ，如果 \(F\) 不存在 \(k\) 次项的话系数就是零即 \(F[k] = 0\) 。 那么多项式 \(F\) ( \(n\) 次)， \(G\) ( \(m\) 次)的乘积会得到一个 \(n + m\) 次多项式 \(H\) 就满足 \(H[k] = \sum\limits_{i = 0}^{k} F[i]G[k-i]\) ，按这样算多项式乘法就是 \(O(n^2)\) 的。 如果您是个明白人的话会发现多项式乘法就是一个加法卷积

1.傅里叶变换 傅里叶变换是一个很重要的变换方法。大部分人对傅里叶变换的理解就是，它实现了信号从时域到频域的转换，而从数学的角度来看，傅里叶变换其实就是一种基底变换（通俗地说就是改变原来的坐标系）。然而，不论从什么角度来理解傅里叶变换，我们只要记住，它的本质就是一个序列 \(f\) 到另一个序列的 \(F\) 转换（连续或离散）。 傅里叶变换的研究和应用都非常多，因此本文不再赘述相关的内容，如果想通俗且深入地理解傅里叶变换，我推荐 马同学 的博客。 一般的傅里叶变换通常指以下的公式： \[F(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt\] 为了和 离散傅里叶变换 区别，我们称其为 连续傅里叶变换 。 2.离散傅里叶变换DFT 由前文可知， 连续傅里叶变换 的公式如下： \[F(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt\] 现实中，我们一般无法得到连续的观察序列 \(f(t)\) ，只能通过采样的方式得到离散的子序列 \(f[k]\) 。比较严谨的定义是： 从连续的时间序列 \(f(t)\) 中按给定周期 \(T\) 采样 \(N\) 个点， \(f[0],f[1],\dots,f[N-1]\) ，这 \(N\) 个点组成了 \(f(t)\) 的一个离散子序列

一、功能 计算复序列的分裂基快速傅里叶变换。 二、方法简介 序列 \(x(n)(n=0,1,...,N-1)\) 的离散傅里叶变换定义为 \[ X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_{N}^{nk}, \qquad k=0,1,...,N-1 \] 其中 \(W_{N}^{nk}=e^{-j\frac{2\pi nk}{N}}\) ，将 \(X(k)\) 按序号 \(k\) 的奇偶分成两组。当 \(k\) 为偶数时，进行基2频率抽取分解， \(X(k)\) 可表示为 \[ X(2k)=\sum_{n=0}^{N/2-1}[x(n)+x(n+\frac{N}{2})]W_{N}^{2nk} \ , \ k=0,1,...,\frac{N}{2}-1 \] 当 \(k\) 为奇数时进行基4 频率抽取分解，$ X(k)$可表示为 \[ \left\{\begin{matrix}X(4k+1)=\sum_{n=0}^{N/4-1}{[x(n)-x(n+\frac{N}{2})]-j[x(n+\frac{N}{4})-x(n+\frac{3N}{4})]}W_{N}^{n}W_{N}^{4nk}\\ X(4k+3)=\sum_{n=0}^{N/4-1}{[x(n)-x(n+\frac{N}{2})]+j[x(n+\frac{N}{4})-x(n+\frac{3N}{4})]

一、功能 计算复序列的快速傅里叶变换。 二、方法简介 序列 \(x(n)(n=0,1,...,N-1)\) 的离散傅里叶变换定义为 \[ X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_{N}^{nk}, \qquad k=0,1,...,N-1 \] 其中 \(W_{N}^{nk}=e^{-j\frac{2\pi nk}{N}}\) ，将序列 \(x(n)\) 按序号 \(n\) 的奇偶分成两组，即 \[ \left.\begin{matrix}\begin{align*}x_{1}(n)=&x(2n)\\ x_{2}(n)=&x(2n+1)\end{align*}\end{matrix}\right\} \qquad n=0,1,...,\frac{N}{2}-1 \] 因此， \(x(n)\) 的傅里叶变换可写成 \[ \begin{align*}X(k) &= \sum_{n=0}^{N/2-1}x(2n)W^{2nk}_{N} + \sum_{n=0}^{N/2-1}x(2n+1)W^{(2n+1)k}_{N}\\&= \sum_{n=0}^{N/2-1}x_{1}(n)W^{nk}_{N/2} + W_{N}^{k}\sum_{n=0}^{N/2-1}x_{2}(n)W^{nk}_{N/2}\end{align*} \] 由此可得 \(X(k)=X_{1}(k)

数学——快速傅里叶变换(FFT) Shan xizeng 1. 基础知识 快速傅里叶变换，用来求出两个多项式相乘，如果暴力相乘，时间复杂度为 \(O(n^2 )\) ，使用快速傅里叶变换，可以优化到 \(O(n \log n)\) 。 准备知识： 多项式： 设 \(A(x)\) 表示一个n次多项式，则 \(A(x)=a_0x^0+a_1x^1+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}\) 多项式的表示方法： 一是用系数表示法，表示为 \(\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i\) ，二是点值表示法，表示为对于几个具体的 \(x\) 对应的 \(A(x)\) 的值，最少需要 \(n\) 个不同的点就能表示唯一一个 \(n-1\) 次多项式。 多项式运算： 加法： 如果使用系数表示法，则将各个系数相加，复杂度为 \(O(n)\) ； 如果使用点值表示法，则将横坐标相同点的纵坐标相加，复杂度相同。 乘法： 如果使用系数表示法，则设得到的多项式为 \(\sum_{i=0}^nc_ix^i\) ，其中， \(c_i=\sum_{j+k=i,0\leq j,k\leq n}a_jb_k\) ，很显然，时间复杂度为 \(O(n^2)\) ； 如果使用点值表示法，则将横坐标相同点的纵坐标相乘，复杂度仍不变，为 \(O(n)\) 。 向量： 物理、几何学意义：同时具有大小和方向的量

快速傅里叶变换 & 快速数论变换 [update 3.29.2017] 前言 2月10日初学，记得那时好像是正月十五放假那一天 当时写了 手写版的笔记 过去近50天差不多忘光了 ，于是复习一下，具体请看手写版笔记 参考文献： picks miskcoo menci 阮一峰 Fast Fourier Transform 单位复数根 虚数 复数 \(i\) ，表示逆时针旋转90度 \(a+bi\) ，对应复平面上的向量 复数加法 同向量 复数乘法 “模长相乘，幅角相加”， \((a+bi)*(c+di)=ac-bd+adi+bci\) 共轭复数 实部相等，虚部互为相反数. 单位根的倒数等于共轭复数 欧拉公式 \(e^{iu}=cos(u)+isin(u)\) 单位复数根 n次单位复数根 ：满足 \(\omega^n=1\) 的复数 \(\omega, \omega_n^k = e^{\frac{2\pi i}{n}k}\) 主n次单位根 \(\omega_n = e^{\frac{2\pi i}{n}}\) 消去引理，折半引理，求和引理 \(n\) 个 \(n\) 次单位复数根在乘法意义下形成一个群，与 \((Z_n,+)\) 有相同的结构，因为 \(w(n,0)=w(n,n)=1\ \rightarrow\ w(n,j)*w(n,k)=w(n,(j+k) mod n)\) FFT

视频来源： https://www.bilibili.com/video/av51932171?t=628 。 博文来源：https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/fft.html?searchHighlight=fft&s_tid=doc_srchtitle 视频来源很好的解释了： 1 .傅里叶变换过程，经过傅里叶变化得到了，频率w，振幅a0，相位角φ； 2. 傅里叶变换 主要应用领域： 声音， 图像处理； 博文则很好的解释了： 1. 傅里叶变换在matlab软件中怎样应用 2.. 傅里叶变换的作用效果的展示，从时域到频域的变化，时域难以解决的问题到频域中却很清晰。 语法 Y = fft(X) Y = fft(X,n) Y = fft(X,n,dim) 说明 示例 Y = fft( X ) 用快速傅里叶变换 ( FFT) 算法计算 X 的 离散傅里叶变换 (DFT)。 如果 X 是向量，则 fft(X) 返回该向量的傅里叶变换。 如果 X 是矩阵，则 fft(X) 将 X 的各列视为向量，并返回每列的傅里叶变换。 如果 X 是一个多维数组，则 fft(X) 将沿大小不等于 1 的第一个数组维度的值视为向量，并返回每个向量的傅里叶变换。 示例 Y = fft( X , n ) 返回 n 点 DFT。如果未指定任何值，则 Y 的大小与 X 相同

什么是傅里叶变换？ 法国科学家傅里叶提出，任何一条周期曲线，无论多么跳跃或不规则，都能表示成一组光滑正弦曲线叠加之和。 傅里叶变换的目的是可将时域（即时间域）上的信号转变为频域（即频率域）上的信号，随着域的不同，对同一个事物的了解角度也就随之改变，因此在时域中某些不好处理的地方，在频域就可以较为简单的处理。这就可以大量减少处理信号存储量。 例如：弹钢琴 假设有一时间域函数： y = f(x) ，根据傅里叶的理论它可以被分解为一系列正弦函数的叠加，他们的振幅A，频率 所以傅里叶变换可以把一个比较复杂的函数转换为多个简单函数的叠加，看问题的角度也从时间域转到了频率域，有些的问题处理起来就会比较简单。 傅里叶变换相关函数 导入快速傅里叶变换所需模块 import numpy . fft as nf 通过采样数与采样周期求得傅里叶变换分解所得曲线的 频率序列 freqs = np . fft . fftfreq (采样数量, 采样周期) 通过原函数值的序列j经过快速傅里叶变换得到一个 复数数组 ，复数的模代表的是 振幅 ，复数的辐角代表 初相位 np . fft . fft (原函数值序列) -> 目标函数值序列(复数) 通过一个复数数组（复数的模代表的是振幅，复数的辐角代表初相位）经过逆向傅里叶变换得到 合成的函数值数组 np . fft . ifft (目标函数值序列(复数))-

#include <cstdio> #include <cmath> #define Maxn 5000 #define Pi 3.1415926535898 using namespace std; int n,m; struct complex {complex (double xx=0,double yy=0){x=xx,y=yy;} double x,y;}; complex operator + (complex a,complex b){ return complex(a.x+b.x,a.y+b.y); }complex operator - (complex a,complex b){ return complex(a.x-b.x,a.y-b.y); }complex operator * (complex a,complex b){ return complex(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x); }complex w[Maxn],b[Maxn],c[Maxn]; void fft(complex *f,int len,short op) { if (!len)return ; complex fl[len+1],fr[len+1]; for (int k=0;k<len;k++) {fl[k]=f[k<<1];fr[k]=f[k<