Loj 6485. LJJ 学二项式定理

题目描述

LJJ 学完了二项式定理，发现这太简单了，于是他将二项式定理等号右边的式子修改了一下，代入了一定的值，并算出了答案。

但人口算毕竟会失误，他请来了你，让你求出这个答案来验证一下。

一共有 $ T $ 组数据，每组数据如下：

输入以下变量的值：$ n, s , a_0 , a_1 , a_2 , a_3$，求以下式子的值：
\[\Large \left[ \sum_{i=0}^n \left( {n\choose i} \cdot s^{i} \cdot a_{i\bmod 4} \right) \right] \bmod 998244353 \]

其中 $ n\choose i $ 表示 $ \frac{n!}{i!(n-i)!} $。

输入格式

第一行一个整数 $T$，之后 $T$ 行，一行六个整数 $n, s, a_0, a_1, a_2, a_3$。

输出格式

一共 $T$ 行，每行一个整数表示答案。

样例

样例输入

6
1 2 3 4 5 6
2 3 4 5 6 1
3 4 5 6 1 2
4 5 6 1 2 3
5 6 1 2 3 4
6 1 2 3 4 5

样例输出

数据范围与提示

对于 $ 50% $ 的数据，$ T \times n \leq 10^5 $；

对于 $ 100% $ 的数据，$ 1 \leq T \leq 10^5, 1 \leq n \leq 10 ^ {18}, 1 \leq s, a_0, a_1, a_2, a_3 \leq 10^{8} $。

$\\$

前置知识：单位根反演

我们考虑对每个$d=0...3$计算
\[ Ans_d=\left[ \sum_{i=0}^n[i\%4==d] \left( {n\choose i} \cdot s^{i} \cdot a_d \right) \right] \bmod 998244353 \]
答案就是
\[ Ans=\sum_{d=0}^3Ans_d \]

我们交换一下求和顺序：
\[ \begin{align} Ans_d=a_d\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}s^i[i\%4==d]\\ =a_d\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}s^i[4|(i-d)]\\ \end{align} \]
直接套单位根反演的套路：
\[ [k|n]=\sum_{i=0}^{k-1}(\omega_k^n)^i\\ \Longrightarrow [4|(i-d)]=\frac{1}{4}\sum_{j=0}^3 (\omega_4^{i-d})^j \]
再带回去：
\[ \begin{align} Ans_d&=a_d\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}s^i[4|(i-d)]\\ &=a_d\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}s^i\frac{1}{4}\sum_{j=0}^3(\omega _4^{i-d})^j\\ \end{align} \]
这里$i$直接从$0$开始枚举是没有问题的，因为即使$i-d$为负一样满足等比数列求和。

在根据套路交换求和符号：
\[ \begin{align} Ans_d&=a_d\frac{1}{4}\sum_{j=0}^3\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}s^i(\omega _4^{ij-dj})\\ &=a_d\frac{1}{4}\sum_{j=0}^3\frac{1}{\omega_4 ^{dj}} \sum_{i=0}^n\binom{n}{i}s^i(\omega _4^{j})^i\\ \end{align} \]
我们设:
\[ f_n(x)=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}s^ix^i\\ =(sx+1)^n \]
则:
\[ \begin{align} Ans_d&=a_d\frac{1}{4}\sum_{j=0}^3\frac{1}{\omega_4 ^{dj}} \sum_{i=0}^n \binom{n}{i}s^i(\omega _4^{j})^i\\ &=a_d\frac{1}{4}\sum_{j=0}^3\frac{1}{\omega_4 ^{dj}} f(\omega_4^j)\\ &=a_d\frac{1}{4}\sum_{j=0}^3\frac{1}{\omega_4 ^{dj}} (s\cdot\omega_4^j+1)^n\\ \end{align} \]
模质数$p$意义下$\omega_4^1$可以取$g^{\frac{p-1}{4}}$其中$g$是原根。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long

using namespace std;
inline ll Get() {ll x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

const ll mod=998244353,g=3;
ll ksm(ll t,ll x) {
    ll ans=1;
    for(;x;x>>=1,t=t*t%mod)
        if(x&1) ans=ans*t%mod;
    return ans;
}

ll n,s,a[4];
ll w;
const ll inv4=ksm(4,mod-2);
int main() {
    w=ksm(g,(mod-1)>>2);
    int T=Get();
    while(T--) {
        n=Get(),s=Get();
        for(int i=0;i<4;i++) a[i]=Get();
        ll ans=0;
        for(int d=0;d<4;d++) {
            ll now=0;
            for(int j=0;j<4;j++) {
                (now+=ksm(ksm(w,d*j),mod-2)*ksm((s*ksm(w,j)+1)%mod,n))%=mod;
            }
            (ans+=now*a[d])%=mod;
        }
        cout<<ans*inv4%mod<<"\n";
    }
    return 0;
}

来源：https://www.cnblogs.com/hchhch233/p/10696832.html

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二项式定理