二项式定理

目录 1 题目 2 分析 2.1 方法1-二项式定理 2.2 方法2-按规律 3 实现 3.1 实现1-二项式定理 3.2 实现2-按规律 4 运行结果 1 题目 打印出杨辉三角形（要求打印出10行） 2 分析 杨辉三角结构如下所示： 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 2.1 方法1-二项式定理 第一眼看到杨辉三角很容易可以想到高中的数学知识–二项式定理 ( a + b ) n (a+b)^n ( a + b ) n ，当 n n n 从 0 0 0 开始，它的展开式每项的系数恰好对应杨辉三角的每一行。 那么，算出每一项的系数可以通过公式，递归计算阶层，见 实现1 2.2 方法2-按规律 根据杨辉三角的特点： 每行端点与结尾的数为1 每个数等于它上方两数之和 见 实现2 3 实现 3.1 实现1-二项式定理 # include <stdio.h> # define N 10 // 打印的行数 int fact ( int n ) { if ( n == 1 || n == 0 ) { return 1 ; } return n * fact ( n - 1 ) ; } int main ( ) { for ( int i = 0 ; i < N ; i ++ ) { for ( int j = 0 ; j <= i ; j ++ ) { /

1.过n个有标志顶点的树的数目等于n n-2 .（Cayley定理） 2.在n个不同元素中取r个作允许重复的组合，其组合数为C(n+r-1,r). 3.从A={1,2,…,n}中取r个作不相邻的组合，其组合数为C(n-r+1,r). 4.线性方程x 1 +x 2 +…+x n =b的非负整数解的个数是(n+b-1,b). 5.C(m+n,m)=C(m+n,n)=C(n,r)=C(n,n-r). 6.C(n,r)=C(n-1,r)+C(n-1,r-1)（杨辉三角、Pascal 三角） 牛顿二项式定理： 7.C(n+r+1,r)=C(n+r,r)+C(n+r-1,r-1)+C(n+r-2,r-2)+…+C(n+1,1),C(n,0). 8.C(n,l)*C(l,r)=C(n,r)*(n-r,l-r). 9..C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2 m . 10.C(n,0)-C(n,1)+C(n,2)+…±C(n,n)=0（由牛顿二项式定理代入可证） 11.C(m+n,r)=C(m,0)*C(n,r)+C(m,1)*C(n,r-1)+…+C(m,r)*C(n,0),r<=min(m,n). 12.（由上式可得）若m<=n,则有C(m+n,m)=C(m,m)*C(n,0)+C(m,m-1)*C(n,1)+…+C(m,0)*C(n,m)=C(m,0)*C(n,0)

QwQ LOJ #6485 题意 求题面中那个算式 题解 墙上暴利 设$ f(x)=(sx+1)^n$ 假设求出了生成函数$ f$的各项系数显然可以算出答案 因为模$ 4$的缘故只要对于每个余数算出次数模4为该余数的系数和即可 求系数和强上单位根反演即可 求模4余1相当于求模4余0之后平移一位即乘上$ x^{-1}$ 好像讲的非常不清楚啊... 代码 #include<ctime> #include<cmath> #include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> #include<queue> #include<vector> #define p 998244353 #define rt register int #define ll long long using namespace std; inline ll read(){ ll x=0;char zf=1;char ch=getchar(); while(ch!='-'&&!isdigit(ch))ch=getchar(); if(ch=='-')zf=-1,ch=getchar(); while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();return x*zf; } void write

Loj 6485. LJJ 学二项式定理 题目描述 LJJ 学完了二项式定理，发现这太简单了，于是他将二项式定理等号右边的式子修改了一下，代入了一定的值，并算出了答案。 但人口算毕竟会失误，他请来了你，让你求出这个答案来验证一下。 一共有 $ T $ 组数据，每组数据如下： 输入以下变量的值：$ n, s , a_0 , a_1 , a_2 , a_3$，求以下式子的值： \[\Large \left[ \sum_{i=0}^n \left( {n\choose i} \cdot s^{i} \cdot a_{i\bmod 4} \right) \right] \bmod 998244353 \] 其中 $ n\choose i $ 表示 $ \frac{n!}{i!(n-i)!} $。 输入格式 第一行一个整数 \(T\) ，之后 \(T\) 行，一行六个整数 \(n, s, a_0, a_1, a_2, a_3\) 。 输出格式 一共 \(T\) 行，每行一个整数表示答案。 样例 样例输入 6 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 1 3 4 5 6 1 2 4 5 6 1 2 3 5 6 1 2 3 4 6 1 2 3 4 5 样例输出 11 88 253 5576 31813 232 数据范围与提示 对于 $ 50% $ 的数据，$ T \times n \leq

普通的牛顿二项式定理在高中学习过的，当乘方为正整数的时候，但是有些时候需要用到不一定是正整数的情况（比如生成函数），需要用到分数或者负数等等，于是广义牛顿二项式定理就出来了。 首先我们引入牛顿二项式系数${r \choose n}$。 牛顿二项式系数定义: 设r为实数，n为整数，引入形式符号 $${r \choose n}= \begin{cases} 0， & n<0\\ 1， & n=0\\ \frac{r(r-1)\cdots (r-n+1)}{n!}， & n>0 \end{cases}$$ 广义牛顿二项式定理： 　　　　　　　　　　　　　　　　 $(x+y)^{\alpha}=\sum_{n=0}^\infty{\alpha \choose n}x^{n}y^{\alpha-n}$ 其中x，y，α为实数，且$\mid\frac{x}{y}\mid<1$ 证明： 证明需要用到数学分析的知识，没学过的话，应该看不懂2333。 令$z=\frac{x}{y}$则有： $(x+y)^{\alpha}=y^{\alpha}(1+z)^{\alpha}，\mid z\mid <1$ 设$f(z)=(1+z)^{\alpha}$，于是有： $f^{(n)}(z)=\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)(1+z)^{\alpha -n}$ 因此，当z

睡前娱乐 组合数打表还差点写挂 代码： #include <bits/stdc++.h> #define int long long #define sc(a) scanf("%lld",&a) #define scc(a,b) scanf("%lld %lld",&a,&b) #define sccc(a,b,c) scanf("%lld %lld %lld",&a,&b,&c) #define scs(a) scanf("%s",a) #define schar(a) scanf("%c",&a) #define pr(a) printf("%lld",a) #define fo(i,a,b) for(int i=a;i<b;++i) #define re(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i) #define rfo(i,a,b) for(int i=a;i>b;--i) #define rre(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i) #define prn() printf("\n") #define prs() printf(" ") #define mkp make_pair #define pii pair<int,int> #define pub(a) push_back(a) #define pob() pop_back()

来源： https://www.cnblogs.com/Hoyoak/p/11590276.html

https://hihocoder.com/problemset/problem/1430 思路： 要用前缀去推Sigma总公式，比较方便。 https://blog.csdn.net/weixin_37517391/article/details/83821752 1 #define IOS ios_base::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); 2 #include <cstdio>//sprintf islower isupper 3 #include <cstdlib>//malloc exit strcat itoa system("cls") 4 #include <iostream>//pair 5 #include <fstream>//freopen("C:\\Users\\13606\\Desktop\\草稿.txt","r",stdin); 6 #include <bitset> 7 //#include <map> 8 //#include<unordered_map> 9 #include <vector> 10 #include <stack> 11 #include <set> 12 #include <string.h>//strstr substr 13 #include <string> 14 #include

普通的牛顿二项式定理在高中学习过的，当乘方为正整数的时候，但是有些时候需要用到不一定是正整数的情况（比如生成函数），需要用到分数或者负数等等，于是广义牛顿二项式定理就出来了。 首先我们引入牛顿二项式系数${r \choose n}$。 牛顿二项式系数定义: 设r为实数，n为整数，引入形式符号 $${r \choose n}= \begin{cases} 0， & n<0\\ 1， & n=0\\ \frac{r(r-1)\cdots (r-n+1)}{n!}， & n>0 \end{cases}$$ 广义牛顿二项式定理： 　　　　　　　　　　　　　　　　 $(x+y)^{\alpha}=\sum_{n=0}^\infty{\alpha \choose n}x^{n}y^{\alpha-n}$ 其中x，y，α为实数，且$\mid\frac{x}{y}\mid<1$ 证明： 证明需要用到数学分析的知识，没学过的话，应该看不懂2333。 令$z=\frac{x}{y}$则有： $(x+y)^{\alpha}=y^{\alpha}(1+z)^{\alpha}，\mid z\mid <1$ 设$f(z)=(1+z)^{\alpha}$，于是有： $f^{(n)}(z)=\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)(1+z)^{\alpha -n}$ 因此，当z

题目描述 给定一个多项式 \((by+ax)^k\) ，请求出多项式展开后 \(x^n \times y^m\) 项的系数。 解析 一道水题，二项式定理搞定。注意递推组合数时对其取模。 参考代码 #include<cstdio> #include<iostream> #include<cmath> #include<cstring> #include<ctime> #include<cstdlib> #include<algorithm> #include<queue> #include<set> #include<map> #define ll long long #define N 1010 #define mod 10007 using namespace std; ll C[N][N],a,b,n,m,k; inline void init() { for(int i=1;i<=k;++i) C[i][i]=C[i][0]=1; for(int i=1;i<=k;++i) for(int j=i+1;j<=k;++j) C[j][i]=(C[j-1][i]%mod+C[j-1][i-1]%mod)%mod; } inline ll qp(ll a,ll b,ll p) { ll ans=1; for(;b;b>>=1){if(b&1) ans=(ans%p*a%p)%p;a