问题：两个已经排好序的数组，找出两个数组合并后的中位数（如果两个数组的元素数目是偶数，返回上中位数）。
设两个数组分别是vec1和vec2，元素数目分别是n1、n2。
算法1：最简单的办法就是把两个数组合并、排序，然后返回中位数即可，由于两个数组原本是有序的，因此可以用归并排序中的merge步骤合并两个数组。由于我们只需要返回中位数，因此并不需要真的合并两个数组，只需要模拟合并两个数组：每次选数组中较小的数，统计到第（n1+n2+1）/2个元素就是要找的中位数。算法复杂度为O(n1+n2)
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int findMedian_merge(vector<int> &vec1, vector<int> &vec2){ int N1 = vec1.size(), N2 = vec2.size(); int medean = (N1 + N2 + 1) / 2, i = 0, j = 0; for(int k = 1; k < medean; k++) { if(i < N1 && j < N2) { if(vec1[i] < vec2[j])i++; else j++; } else if(i >= N1)//数组vec1到达末尾 j++; else if(j >= N2)//数组vec2到达末尾 i++; } if(i < N1 && j < N2) return vec1[i] < vec2[j] ? vec1[i] : vec2[j]; else if(i >= N1) return vec2[j]; else if(j >= N2) return vec1[i];} |
讲下面的算法之前，先说2个结论1：某个数组中有一半的元素不超过数组的中位数，有一半的元素不小于中位数（如果数组中元素个数是偶数，那么这里的一半并不是严格意义的1/2）。结论2：如果我们去掉数组比中位数小的k个数，再去掉比中位数大的k个数，得到的子数组的中位数和原来的中位数相同。
算法2：利用折半查找的思想，假设两个数组的中位数分别是vec1[m1], vec2[m2] 本文地址
1、如果vec1[m1] = vec2[m2] ，那么刚好有一半元素不超过vec1[m1]，则vec1[m1]就是要找的中位数。
2、如果vec1[m1] < vec2[m2] 根据结论1很容易可以推理出，这个中位数只可能出现在vec1[m1+1,…,n1-1]或vec2[0,…,m2-1]中，那么vec1[m1+1,…,n1-1]和vec2[0,…,m2-1]的中位数是不是和原来两个数组的中位数相同呢？根据结论2，如果原数组长度相等，即n1=n2，那么中位数不变；如果长度不相等，vec2中去掉的大于中位数的数的个数 > vec1中去掉的小于中位数的数的个数 ，则中位数不一定不变。因此我们要在两个数组中去掉相同个数的元素。如下图所示，假设n1 < n2, 两个数组都去掉m1+1个元素，则子数组vec1[m1+1,…,n1-1]和vec2[0,…,n2-m1-2]的中位数和原来的中位数相同，图中红色方框里是去掉的元素。
3、如果vec1[m1] > vec2[m2] ，同上分析，中位数只可能出现在vec1的前半段或vec2的后半段。如下图所示，两个数组分别去掉n1-m1-1个元素后，子数组vec1[0,…,m1-1]和vec2[n1-m1-1,…,n2-1]的中位数和原来的中位数相同
子数字递归求解，即可求出中位数，算法复杂度为O(log(n1+n2)).注意一下递归结束调节和边界处理
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int findMedian_logn(int vec1[], int n1, int vec2[], int n2){ int m1 = (n1-1) / 2, m2 = (n2-1) / 2; if(n1 == 1) {//递归结束条件 if(n2 == 1) return vec1[0] < vec2[0] ? vec1[0] : vec2[0]; if(n2 % 2 == 0) { if(vec1[0] >= vec2[m2+1]) return vec2[m2+1]; else if(vec1[0] <= vec2[m2]) return vec2[m2]; else return vec1[0]; } else { if(vec1[0] >= vec2[m2]) return vec2[m2]; else if(vec1[0] <= vec2[m2-1]) return vec2[m2-1]; else return vec1[0]; } } else if(n2 == 1) {//递归结束条件 if(n1 % 2 == 0) { if(vec2[0] >= vec1[m1+1]) return vec1[m1+1]; else if(vec2[0] <= vec1[m1]) return vec1[m1]; else return vec2[0]; } else { if(vec2[0] >= vec1[m1]) return vec1[m1]; else if(vec2[0] <= vec1[m1-1]) return vec1[m1-1]; else return vec2[0]; } } else { int cutLen = (m1 > m2 ? m2 : m1) + 1; if(vec1[m1] == vec2[m2])return vec1[m1]; else if(vec1[m1] < vec2[m2]) return findMedian_logn(&vec1[cutLen], n1-cutLen, vec2, n2-cutLen); else return findMedian_logn(vec1, n1-cutLen, &vec2[cutLen], n2-cutLen); }} |
算法3：该算法本质上和算法2一样，只是从另一个角度来看。这里我们把问题扩展一下，求两个有序数组的第k小的元素。我们假设这个第k小的元素是X，若X在数组vec1的第i个位置，如果把X放到vec2中，那么X在排数组vec2中的第（k-i+1）个位置，则X >= vec2中第k-i个元素 且 X <= vec2中第k-i+1个元素。
因此我们可以首先假设元素X在数组vec1中，对vec1中的元素进二分查找。
选取vec1中的元素vec1[idx1]（idx1 = n1/(n1+n2)*(k-1), 即第idx1+1个元素，由于不是中位数，因此不是选取中间元素），看vec2中的元素vec2[idx2]（idx2 = k-idx1-2, 即第k-idx1-1个元素）：
1、如果vec1[idx1] >= vec2[idx2] 且 vec1[idx1] <= vec2[idx2+1] 则vec1[idx1]为所求
2、如果vec1[idx1] < vec2[idx2], 到vec1[idx1+1,…,n1-1]中寻找
3、如果vec1[idx1] > vec2[idx2+1], 到vec1[0,…,idx1-1]中寻找
4、如果vec1寻找完且没有找到，则到vec2中寻找
同理注意边界处理
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//找到两个有序数组中第k小的数int findKthSmallest(int vec1[], int n1, int vec2[], int n2, int k){ if(k == 1)return vec1[0] < vec2[0] ? vec1[0] : vec2[0]; int idx1 = n1*1.0 / (n1 + n2) * (k - 1); int idx2 = k - idx1 - 2; if(vec1[idx1] >= vec2[idx2] && ( idx2 == n2-1 || vec1[idx1] <= vec2[idx2+1])) return vec1[idx1]; else if(vec1[idx1] < vec2[idx2]) { if(idx1 == n1-1)return findKthSmallest(vec2, n2, vec1, n1, k);//vec1中没找到，到vec2中寻找 return findKthSmallest(&vec1[idx1+1], n1-idx1-1, vec2, n2, k-idx1-1); } else { if(idx1 == 0)return findKthSmallest(vec2, n2, vec1, n1, k);//vec1中没找到，到vec2中寻找 return findKthSmallest(vec1, idx1, vec2, n2, k); }} |
参考资料：
kenby：http://blog.csdn.net/kenby/article/details/6833407
David Luo：http://www.cnblogs.com/davidluo/articles/k-smallest-element-of-two-sorted-array.html
Hackbuteer1: http://blog.csdn.net/hackbuteer1/article/details/7584838
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