一.幂等矩阵的定义
若对于方阵A存在如下关系:AA=A,则称A为一个幂等矩阵
二.一些常见的幂等矩阵
1.单位矩阵I
2.某一行全为1,其余行全为0的矩阵A
(证明:设A的第m行全为1,其余行全为0。B=A∗A,可知bij=∑k=1naikakj,只有当i=m时,∑k=1naikakj=1,则bmj=1,否则为0,所以B矩阵第m行全为1,其余行全为0。所以B=A∗A=A)
3.用于计算离差的矩阵M0=(I−n1ii′).
其中I为单位阵,i为元素全为1的列向量,i′为元素全为1的行向量,M0x为向量x的离差形式。
(证明:M0∗M0∗=(I−n1ii′)∗(I−n1ii′)=I−2n1ii′+n21i(i′i)i′,因为i′i=n,所以M0∗M0=(I−n1ii′)∗(I−n1ii′)=I−2n1ii′+n1ii′=M0)
三.幂等矩阵性质
1.幂等矩阵的特征值只能为0和1。
(证明思路:因为为幂等矩阵所以推出λk=λ,所以λ只能为0,1)
2.幂等矩阵可对角化。
(证明思路:A为幂等矩阵,C为其特征向量矩阵,Λ为对角线为特征值的矩阵,则A的对角化为C′AC=C′CΛ=Λ)
3.幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩,即tr(A)=rank(A)。
(证明思路:将A对角化为Λ,因为λ只能为0,1,所以对于A有:tr(A)=tr(Λ)=对角线为1的元素和=不全为0的行=rank(Λ)=rank(A))
4.可逆的幂等矩阵为I
(证明思路,可逆一定满秩,满秩说明所有特征值为1,此时为单位阵I)
5.方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵
。。。
四.关于幂等矩阵的理解
幂等的思想在数学和工程中都是经常使用的思想。
将矩阵A作用于向量x上,相当于对x进行了一次变换。可以记为Ax=f(x)。此时所A为幂等矩阵,则AAx=Ax,进一步有f(f(x))=f(x),说明此时对x进行多次变换与进行一次变换的效果是一样的。
这样的思想在开发工程中也经常使用,工程中的幂等,说的是对用户的输入进行重复多次计算,仍与计算一次的结果是相同的,这避免了数据重复计算时带来的弊端,确保了工程的正确性与稳定性。