幂等矩阵的理解
一.幂等矩阵的定义 若对于方阵A存在如下关系： A A = A AA=A A A = A ，则称A为一个幂等矩阵 二.一些常见的幂等矩阵 1.单位矩阵 I I I 2.某一行全为1，其余行全为0的矩阵 A A A (证明：设 A A A 的第 m m m 行全为1，其余行全为0。 B = A ∗ A B=A*A B = A ∗ A ，可知 b i j = ∑ k = 1 n a i k a k j b_{ij}={\textstyle\sum_{k=1}^n}a_{ik}a_{kj} b i j = ∑ k = 1 n a i k a k j ，只有当 i = m i=m i = m 时， ∑ k = 1 n a i k a k j = 1 {\textstyle\sum_{k=1}^n}a_{ik}a_{kj}=1 ∑ k = 1 n a i k a k j = 1 ,则 b m j = 1 b_{mj}=1 b m j = 1 ，否则为0,所以 B B B 矩阵第 m m m 行全为1，其余行全为0。所以 B = A ∗ A = A B=A*A=A B = A ∗ A = A ) 3.用于计算离差的矩阵 M 0 = ( I − 1 n i i ′ ) M_{0}=(I-\frac1nii') M 0 = ( I − n 1 i i ′ )